Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры. Оптимизационные задачи линейного программирования

Тренировочная работа №134 А. Ларина

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры. Оптимизационные задачи линейного программирования

Елена Репина 2015-12-10 2017-11-07

Разбор заданий 13-18 Тренировочной работы

13. Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку

Решение: + показать

а)

Так как и , то равенство возможно только в случае .

Откуда

Итак,

б) Произведем отбор корней.

{}.

 Тогда на указанном отрезке располагаются следующие корни:

при

при

при

при

при

при

Ответ: 

а) 

б)

14. Все рёбра куба  равны .
а) Постройте сечение куба, проходящее через середины рёбер , , .

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение: + показать

a) Пусть – середины и соответственно.

Пусть прямая пересекается с прямыми в точках и .

Пусть пересекается с в точке .

Пусть пересекается с в точке .

Пусть пересекается с в точке .

Наконец, пусть пересекается с в точке .

Шестиугольник – искомое сечение.

б)

, где – площадь проекции шестиугольника на плоскость основания,   угол между плоскостями сечения и основания.

Несложно заметить (по построению), что точки и – середины ребер соответственно.

Точка проекция на плоскость также середина ребра . Тогда, очевидно, . По теореме о трех перпендикулярах и . Итак, – угол между плоскостями сечения и основания.

Далее,

Наконец,

Ответ: б)

15. Решите неравенство

Решение: + показать

Ответ:

16. Даны треугольники и . Прямые пересекаются в одной точке. Прямые и пересекаются в точке Прямые и пересекаются в точке . Прямые и пересекаются в точке .

а) Докажите, что точки лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника , если высоты треугольника равны , а высоты треугольника равны

Решение: + показать

а)  По теореме Менелая  для треугольника и прямой

 (1)

По теореме Менелая  для треугольника и прямой

 (2)

По теореме Менелая  для треугольника  и прямой

 (3)

Разделим (1) на (2) и  на (3):

По теореме Менелая из последнего равенства следует, что точки лежат на одной прямой.

б) Пусть

Пусть .

Тогда

Получаем тогда

Далее, по формуле Герона

И

Итак,

Ответ: б)

17. Баржа грузоподъёмностью тонны перевозит контейнеры типов A и B. Количество загруженных на баржу типа B не менее чем на 25% превосходит загруженных контейнеров типа A.

Вес и стоимость одного контейнера типа A составляет тонны и млн. руб., контейнера типа B – тонн и млн. руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.

) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Решение: + показать

Пусть количество загруженных на баржу типа А контейнеров – штук.

Пусть количество загруженных на баржу типа B контейнеров – штук.

Суммарная  стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей тогда составит .

Откуда

 (1)

Так как грузоподъемность баржи тонны, то

;

С учетом (1) имеем:

 (2)

Заметим, согласно условию,  

Тогда

 (3)

Учитывая (2) и (3), получаем

Если , то или Так как – натуральное, то решений в этом случае нет.

Если , то или Так как – натуральное, то решений в этом случае нет.

Если , то или Так как – натуральное, то решений в этом случае нет.

Если , то или Так как – натуральное, то 

Итак, если имеется контейнеров типа В и типа А, то суммарная стоимость всех контейнеров, перевозимых баржей, составит млн. рублей.

Ответ:

Аналогичная задача здесь

18. Найдите все значения , при каждом из которых неравенство

Тогда будем искать все значения , при каждом из которых неравенство

В зависимости от параметра корни   могут по-разному располагаться на оси.

Для варианта а) потребуем, чтобы входил бы в .

Для варианта б) потребуем, чтобы входил бы в .

Источник: https://egemaximum.ru/trenirovochnaya-rabota-134-a-larina/

Задачи оптимизации

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры. Оптимизационные задачи линейного программирования

Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений.

Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед.

Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение:

1.  Введем переменные:

– количество обычных наборов;

– количество улучшенных наборов.

2.  Зададим целевую функцию. Задача на минимизацию затрат. Запишем уравнение, описывающее затраты

3.  Ограничения:

Найдем решение сформированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим область допустимых решений. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств, и найдем соответствующие прямые:

Выразим через

Для построения прямой достаточно двух точек, найдем их координаты:

Эти прямые изображены на рисунке 1. Условие неотрицательности показывает, что искомая область располагается в первой четверти.

Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет.

Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству.

Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость.

Рисунок 1. Графический метод решения

На рисунке 1, область допустимых решений не ограничена и отмечена штрихом. Координаты любой точки, принадлежащей этой области, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных.

Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую области допустимых решений, в которой целевая функция принимает минимальное значение.

Чтобы найти указанную точку, построим вектор и линию уровня, которая перпендикулярна этому вектору.

Так как задача на минимум, то линию уровня будем двигать по направлению вектора. Первая точка касания и будет оптимальным решением. Координаты этой точки и определяют оптимальные количества обычных и улучшенных наборов удобрений, при которых затраты являются минимальными.

В данном примере это точка пересечения прямых I и Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых

Следовательно, если фирма купит 2 обычных и 2 улучшенных набора удобрений, то минимальные затраты составят

Если данную задачу решать на максимум, то линия уровня будет сдвигаться вправо до бесконечности (так область решений не ограничена). Таким образом, конечного решения не будет.

Задача № 2. Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.

Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей зольных примесей не более 3,25%. Завод закупает три сорта угля , , с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты , , чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену? примесей и цена исходных продуктов приведены в таблице

Решение:

Введем следующие обозначения: – содержание угля в смеси; – содержание угля в смеси; – содержание угля в смеси. Тогда ограничения примут вид:

Целевая функция задачи:

Таким образом, ЭММ задачи имеет вид:

Решим данную задачу симплекс-методом. Преобразуем исходную модель. В ограничения типа добавим дополнительные переменные . В равенство добавим искусственную переменную Модель задачи будет выглядеть так:

При условиях:

Заполним первую симплекс-таблицу.

В среди оценок есть положительные значения, следовательно, план не является оптимальным. Среди значений находим наибольшее , столбец выбираем в качестве ведущего.

Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений – ведущая строка. Элемент 1 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – разрешающий элемент.

После перехода к следующей симплексной таблице, в базисном плане отсутствует искусственная переменная.

В среди оценок есть положительные значения, следовательно, план не является оптимальным. Среди значений находим наибольшее , столбец выбираем в качестве ведущего.

Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений – ведущая строка. Элемент 1 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – разрешающий элемент.

Переходим к следующей симплексной таблице.

В среди оценок есть положительное значение, следовательно, план не является оптимальным. Столбец выбираем в качестве ведущего.

Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений – ведущая строка. Элемент 0,06 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – разрешающий элемент.

При переходе к следующей симплексной таблице, получаем оптимальное решение.

В среди оценок нет отрицательных, следовательно, план является оптимальным.

Полученное оптимальное решение означает, что для получения 1 т угля необходимо взять т первого компонента, т второго, т третьего. При этом его цена будет минимальной и составит Руб.

Задача № 3. Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования.

Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог.

Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ.

Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у. е.) на перевозку 1тонны песка с карьеров на ремонтные участки.

Числовые данные для решения содержатся ниже в Матрице планирования. Требуется:

1) Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

2) Что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ?; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами?

Матрица планирования:

Участки работКарьерыПредложение
4234160
2435690
65462140
Потребности4030908050290290

Решение:

Суммарные объемы предложений по карьерам равны суммарным объемам потребностей по участкам работ, т. е. выполняется условие общего баланса Следовательно, данная задача закрытого типа.

Построим начальный базисный план Методом минимальной стоимости. Назначение перевозок начинаем с клетки (1,5), имеющей минимальную стоимость перевозки (1). В клетку (1,5) записываем наименьшее из значений и и исключаем из дальнейшего рассмотрения пятый участок. Корректируем предложение первого карьера на величину

Следующая поставка осуществляется от первого карьера второму участку. В клетку (1,2) назначаем перевозку исключаем из дальнейшего рассмотрения первый карьер. Корректируем потребности второго участка С оставшейся матрицей поступаем аналогично предыдущему:

План перевозок, построенный методом минимальной стоимости:

Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число назначенных перевозок равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Определим оптимальность полученного плана. С помощью Метода потенциалов вычислим потенциалы строк и столбцов по стоимости перевозок в загруженных клетках. Если известен , то если известен , то Положим, например, Тогда будут вычислены и остальные потенциалы строк и столбцов.

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка .

От клетки строим замкнутый контур: Начиная с клетки разметим вершины контура попеременно знаками плюс «+», минус «-», обходя замкнутый контур в любом направлении.

Из клеток, помеченных знаком «-», выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 20 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».

Определим полную стоимость перевозок по новому плану

Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 30 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».

Определим полную стоимость перевозок по новому плану

Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:

Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален.

Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ. В этом случае, будем считать, что транспортные затраты на перевозку от первого карьера до второго участка работ бесконечно большая . Составим начальный план методом минимальной стоимости в столбце.

Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число назначенных перевозок равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 60 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».

Определим полную стоимость перевозок по новому плану

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при запрете на перевозку с первого карьера на второй участок, транспортные расходы вырастут на

Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если перевозка от первого карьера до второго участка работ будет ограничена объемом 3 тонны. Составим начальный план произвольным образом, учитывая данное ограничение.

Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число базисных клеток (без ограничений на перевозку) равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при ограничении на перевозку с первого карьера на второй участок тремя тоннами, транспортные расходы вырастут на

Задача № 4. Рассчитать характеристики системы массового обслуживания. Поток требований является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону.

Поток клиентов, прибывающих в банк, имеет интенсивность 9 клиентов в час. Продолжительность обслуживания одного клиента в среднем длится 8 мин. Сколько операционистов должно обслуживать клиентуру, чтобы среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, не превышало 3?

Решение:

Данная задача относится к многоканальным СМО с ограниченной длиной очереди.

Имеем

Тогда интенсивность обслуживания равна

Интенсивность нагрузки равна

Пусть количество операционистов тогда вероятность состояния :

Пусть количество операционистов тогда вероятность состояния :

Вычислим среднее число клиентов в очереди:

Таким образом, чтобы среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, не превышало 3, достаточно двух операционистов.

Задача № 5. Построить диаграмму Ганта и найти критический путь задачи управления проектом организации выступления хора.

Решение:

Построим диаграмму Ганта с помощью Project Office и найдем его критический путь.

Таким образом, критический путь состоит из следующих работ:

Продолжительность пути составляет

Источник: http://matica.org.ua/primery/primery/zadachi-optimizatcii

Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры. Оптимизационные задачи линейного программирования

Сумма и срок ипотечного кредита http://youtu.be/UUTr2GGLE4I Как решить задачу по математике Уроки подготовки к ВПР ОГЭ ЕГЭ SAT GMAT GRE ISEE IGCSE IB-math A-level SSAT http://uk.pinterest.com/pin/401172279287038344/ При каких значениях параметра вершина параболы лежит на прямой. Таким образом, возможно снижение максимальной суммы кредита.

Обратите внимание, у банков есть свои требования к ипотечному жилью. Оценщик же стоимость квартиры определил в 500 000 рублей.Методические рекомендации по порядку расчета начальной стоимости. Для расчета начальной (максимальной) цены товара необходимо определить методы Султанова. Чем меньше размер аванса, тем больше цена контракта по сравнению с ценой уроков онлайн репетитора.

Расчет средней стоимости моделей (видов) товаров и начальной (максимальной) цены занятий с преподавателем МФТИ,определите наибольшую высоту бетонной колонны, которая может разрушиться. Задачи по Экономике. Сумма налогового сбора. Определить общую сумму налогового сбора. Функция предложения: При какой ставке налога (в ден. ед.

на единицу товара) общая сумма налогового сбора окажется максимальной, определите наибольшую высоту, с которой слышно пение жаворонка. Поиск решений. Вот задача / возможную суммарную стоимость перевозки math.Определите наибольшую возможную суммарную стоимость перевозки джипов и грузовиков при данных условиях. Анализ сайта тренировочный вариант.

Анализ внешних и внутренних ссылок – Инструменты и тренировочный вариант.На первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с цветными. Количество коробок простых карандашей составляет 1417 от числа коробок цветных карандашей.

Когда со складов продали 38 коробок простых карандашей и 59 цветных, то на первом складе осталось менее 3000 коробок, а на втором – не менее 2000 коробок. Сколько коробок было первоначально на каждом складе Website SEO Review. Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений.

Определите наибольшую возможную суммарную стоимость всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях. Зоопарк ежедневно распределяет 111 кг мяса между лисами, леопардами и львами. Страховая стоимость. школа/колледжНа первом складе находятся коробки с простыми карандашами, а на втором – с цветными.

Два человека, у которых имеется один велосипед, должны попасть из пункта A в пункт.В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата такВасилий хочет взять кредит на сумму 1325535 рублей на 5 лет под 20% годовых. Банк пВасилий кладёт в банк 1000000 рублей под 10% годовых на 4 года, проценты начисляются.Баржа грузоподъёмностью тонн перевозит контейнеры типов. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость.

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А.

Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.

) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Ре-ше-ние.

Пусть x – ко-ли-че-ство пе-ре-во-зи-мых кон-тей-не-ров типа А, y – ко-ли-че-ство кон-тей-не-ров типа В, Тогда вес кон-тей-не-ров типа А со-ста-вит т, типа В – 5у т. В со-от-вет-ствии с усло-ви-ем за-да-чи Кроме того, долж-но вы-пол-нять-ся усло-вие:

Пусть S – сум-мар-ная сто-и-мость всех кон-тей-не-ров. Тогда S = 5x + 7y. Нам пред-сто-ит ис-сле-до-вать функ-цию S(x, y) на наи-боль-шее зна-че-ние при за-дан-ных усло-ви-ях.

Имеем: зна-чит,

Най-дем, при каком зна-че-нии у вы-пол-ня-ет-ся ра-вен-ство

По-сколь-ку x, y, а также сто-и-мо-сти кон-тей-не-ров – числа на-ту-раль-ные, то Зна-чит,

Если то На-ту-раль-ных ре-ше-ний нет.

Если то На-ту-раль-ных ре-ше-ний нет.

Если то На-ту-раль-ное ре-ше-ние:

Вы-чис-лим зна-че-ние x при

Итак, ис-ко-мое зна-че-ние 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

При-ведём ариф-ме-ти-че-ское ре-ше-ние.

За-ме-тим, что кон-тей-нер типа А при-но-сит 2,5 млн руб. за тонну, а кон-тей-нер типа В – 1,4 млн руб. за тонну, по-это-му кон-тей-не-ров типа А долж-но быть как можно боль-ше, а кон-тей-не-ров типа В как можно мень-ше.

По усло-вию, на каж-дые 4 кон-тей-не-ра типа А долж-но при-хо-дить-ся не менее 5 кон-тей-не-ров типа B. Пусть кон-тей-не-ров типа А будет 4x, а кон-тей-не-ров типа B – 5x, их общий вес со-ста-вит 8x + 25x = 33x тонн.

Гру-зо-подъёмность баржи 134 тонны, по-это-му наи-боль-шее воз-мож-ное целое зна-че-ние x = 4.

Если x = 4, то на баржу можно за-гру-зить 16 кон-тей-не-ров типа А и 20 кон-тей-не-ров типа B, их сто-и-мость со-ста-вит 80 + 140 = 220 млн руб. При этом баржа будет не-до-гру-же-на на 2 тонны.

За-ме-ним два кон-тей-не-ра типа А одним кон-тей-не-ром типа В. Сто-и-мость 14 кон-тей-не-ров типа А и 21 кон-тей-не-ра типа В со-став-ля-ет 70 + 147 = 217 млн руб., при этом баржа не-до-гру-же-на на 1 тонну.

Можно было бы за-гру-зить баржу пол-но-стью, за-ме-нив ещё два кон-тей-не-ра типа А одним кон-тей-не-ром типа В, но при этом общая сто-и-мость кон-тей-не-ров снова бы сни-зи-лась на 3 млн руб.

Из этого сле-ду-ет, что оп-ти-маль-но не за-гру-жать баржу пол-но-стью, а за-гру-зить на неё 16 кон-тей-не-ров типа А и 20 кон-тей-не-ров типа В общей сто-и-мо-стью 220 млн руб.

При-ме-ча-ние.

Про-ве-рять из-ме-не-ние сто-и-мо-сти при до-за-груз-ке не пол-но-стью на-гру-жен-ной баржи – обя-за-тель-ная часть ре-ше-ния. На-при-мер, если бы кон-тей-нер типа В стоил 11 млн руб.

, а дру-гие дан-ные за-да-чи не по-ме-ня-лись бы, то сто-и-мость 16 кон-тей-не-ров типа А и 20 кон-тей-не-ров типа B со-ста-ви-ла бы 80 + 220 = 300 млн руб.

(не-до-гру-же-но 2 тонны), сто-и-мость 14 кон-тей-не-ров типа А и 21 кон-тей-не-ра типа В со-ста-ви-ла бы 70 + 231 = 301 млн руб.

(не-до-гру-же-на 1 тонна), а сто-и-мость 12 кон-тей-не-ров типа А и 22 кон-тей-не-ров типа В со-ста-ви-ла бы 302 млн руб. – баржа за-гру-же-на пол-но-стью, при-быль мак-си-маль-на, даль-ней-шая за-ме-на кон-тей-не-ров типа А на кон-тей-не-ры типа В при-во-дит к умень-ше-нию при-бы-ли.

См. так же ре-ше-ние за-да-ния .

Оптимизационные задачи линейного программирования

Оптимизационной задачей называется задача нахождения экстремума (максимума или минимума) целевой функции при наличии некоторой системы линейных или нелинейных ограничений. Часто оптимизационные задачи задаются в виде текстовых задач, когда перед решением нужно сначала составить систему уравнений и неравенств. Такие задачи постоянно встречаются в ЕГЭ и на ДВИ.

Начнем рассмотрение темы со случаев, когда и целевая функция, и система ограничений заданы линейно.

В общем виде задача выглядит так:

Здесь числаа и с – произвольные числа. Задача может быть направлена как на максимум, так и на минимум. При этом ограничения могут быть как меньше или равны нулю, так и больше или равны нулю.

Пример 1. Оптимизационная задача с использованием понятия градиента

Найти наибольшее и наименьшее значение параметра а, при котором выполняется следующая система:

Важные термины:

Линии уровня – линии, которые может задавать уравнение целевой функции с учетом значений параметра.

Градиент (от лат.gradiens, род.падеж gradientis – шагающий, растущий) – вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Градиент является вектором нормали, перпендикулярным линиям уровня – линии уровня будут двигаться вдоль этого вектора. Как мы знаем из лекции 2, если уравнение прямой задано в общем виде , то нормальный вектор задается как .

Целочисленные оптимизационные задачи

Некоторая специфика появляется, когда дана текстовая задача с такими условиями, что неизвестные являются целочисленными.

Пример 2. Целочисленная оптимизационная задача

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А.

Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.

) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Задачи, которые сводятся к нахождению максимума/минимума квадратичной функции

В таких задачах необходимо использовать уже знакомые принципы нахождения максимального (или минимального) значения квадратичной функции: оно может достигаться в вершине параболы или в граничных точках ограничения, если оно есть.

И снова необходимо помнить, что если речь идет о текстовой задаче, на переменные могут быть дополнительные условия, связанные со смыслом – например, их неотрицательность, целочисленность.

Пример 3. Задача на максимум/минимум квадратичной функции

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t 2 у. е.

Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е.

в этом случае придется заплатить рабочим?

Источник: https://diwalini.ru/barzha-gruzopodemnostyu-134-tonny-perevozit-konteinery-optimizacionnye-zadachi-lineinogo-programmiro.html

Задачи на оптимальный выбор | Виктор Осипов

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры. Оптимизационные задачи линейного программирования

(C5) Финансовая математика

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес изделия составляют 400 тыс.руб. и 12 кг для первого типа, 500 тыс.руб.

и 16 кг для второго типа, 600 тыс.руб. и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг.

Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.

Завод закупает станки двух типов, на приобретение которых выделено 34 млн. рублей. Станок первого типа занимает площадь 7 м2 (с учетом проходов), производит за смену 5000 единиц продукции и стоит 4 млн. рублей.

Станок второго типа занимает площадь 4 м2 (с учетом проходов), производит за смену 3000 единиц продукции и стоит 3 млн. рублей. Станки должны быть размещены на площади, не превышающей 50 м2.

Сколько станков каждого типа нужно приобрести, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции?

Для перевозки 500 маленьких и 26 больших блоков был выделен автомобиль грузоподъемностью 9,75 т. По техническим условиям он может перевозить не более 38 маленьких блоков.

Согласно габаритам блоков, перевозка одного большого блока приравнивается к перевозке 18 маленьких. Большой блок весит 3,5 т, а маленький 0,25 т.

Какое минимальное количество перевозок потребуется для перемещения всех блоков?

В двух об­ла­стях есть по 160 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля.

В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля.

Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x2 че­ло­ве­ко-часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся у2 че­ло­ве­ко-часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую массу ме­тал­лов можно за сутки сум­мар­но до­быть в двух об­ла­стях?

У фер­ме­ра есть два поля, каж­дое пло­ща­дью 10 гек­та­ров. На каж­дом поле можно вы­ра­щи­вать кар­то­фель и свёклу, поля можно де­лить между этими куль­ту­ра­ми в любой про­пор­ции. Уро­жай­ность кар­то­фе­ля на пер­вом поле со­став­ля­ет 400 ц/га, а на вто­ром — 300 ц/га. Уро­жай­ность свёклы на пер­вом поле со­став­ля­ет 300 ц/га, а на вто­ром — 400 ц/га.

Фер­мер может про­да­вать кар­то­фель по цене 10 000 руб. за цент­нер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за цент­нер. Какой наи­боль­ший доход может по­лу­чить фер­мер?

Лео­нид яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые при­бо­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние.

В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 4t3 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t при­бо­ров; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t3 часов в не­де­лю, они про­из­во­дят t при­бо­ров.  

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Лео­нид пла­тит ра­бо­че­му 1 ты­ся­чу руб­лей. Не­об­хо­ди­мо, чтобы за не­де­лю сум­мар­но про­из­во­ди­лось 20 при­бо­ров. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить вла­дель­цу за­во­дов еже­не­дель­но на  опла­ту труда ра­бо­чих?

Баржа гру­зо­подъ­ем­но­стью 134 тонны пе­ре­во­зит кон­тей­не­ры типов А и В. Ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных на баржу кон­тей­не­ров типа В не менее чем на 25% пре­вос­хо­дит ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных кон­тей­не­ров типа А.

Вес и сто­и­мость од­но­го кон­тей­не­ра типа А со­став­ля­ет 2 тонны и 5 млн. руб., кон­тей­не­ра типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.со­от­вет­ствен­но. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость (в млн. руб.

) всех кон­тей­не­ров, пе­ре­во­зи­мых бар­жей при дан­ных усло­ви­ях.

Са­до­вод при­вез на рынок 91 кг яблок, ко­то­рые после транс­пор­ти­ров­ки раз­де­лил на три сорта. Яб­ло­ки пер­во­го сорта он про­да­вал по 40 руб., вто­ро­го сорта – по 30 руб., тре­тье­го сорта – по 20 руб. за ки­ло­грамм.

Вы­руч­ка от про­да­жи всех яблок со­ста­ви­ла 2170 руб. Из­вест­но, что масса яблок 2-го сорта мень­ше массы яблок 3-го сорта на столь­ко же про­цен­тов, на сколь­ко про­цен­тов масса яблок 1-го сорта мень­ше массы яблок 2-го сорта.

Сколь­ко ки­ло­грам­мов яблок вто­ро­го сорта про­дал са­до­вод?

В бас­сейн про­ве­де­ны три трубы. Пер­вая труба на­ли­ва­ет 30 м3 воды в час. Вто­рая труба на­ли­ва­ет в час на 3V м3 мень­ше, чем пер­вая (0 

Источник: https://mathlesson.ru/node/8052

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий