Чему равна площадь трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

Площадь трапеции

Чему равна площадь трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

Язык:

Площадь трапеции, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн и сводная таблица с формулами площади трапеции. Приведены формулы для всех типов трапеций и частные случаи для равнобедренных трапеций.

Таблица с формулами площади трапеции ((в конце страницы))

Площадь трапеции по высоте и двум основаниям

… подготовка …

a – основание

b – основание

h – высота

2

… подготовка …

m – средняя линия

h – высота

3

… подготовка …

a – основание

b – основание

c – сторона

d – сторона

4

… подготовка …

d1 – диагональ

d2 – диагональ

α° – угол между диагоналями

5

… подготовка …

a – основание

b – основание

α° – угол при основании

β° – угол при основании

6

… подготовка …

a – сторона

b – сторона

c – сторона

7

… подготовка …

a – основание

c – сторона

α° – угол при основании

8

… подготовка …

b – основание

c – сторона

α° – угол при основании

9

… подготовка …

a – основание

b – основание

α° – угол при основании

10

… подготовка …

d – диагональ

α° – угол между диагоналями

11

… подготовка …

m – средняя линия

c – сторона

α° – угол между сторонами

12

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

r – радиус вписанной окружности

α° – угол между сторонами

13

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

r – радиус вписанной окружности

14

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

α° – угол при основании

15

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

c – сторона

16

Данная формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

a – основание

b – основание

m – средняя линия

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

Определения

Площадь трапеции – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), два из которых параллельны друг другу

Трапеция – это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), два из которых параллельны друг другу.

https://www.youtube.com/watch?v=vewUBFFPoRg

Основания трапеции – это параллельные стороны трапеции. Трапеция имеет большое и малое основание.

Средняя линия трапеции – это отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции и при этом всегда параллельный основаниям трапеции.

Высота трапеции – это отрезок проведенный между основаниями трапеции под углом 90 градусов к каждому из снований.

Сумма углов трапеции равна 360 градусов.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Источник: https://doza.pro/art/math/geometry/area-trapezium

Площадь трапеции — формулы и калькулятор онлайн

Чему равна площадь трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства
Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади.

Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ.

Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций — обычная, равнобедренная (равнобокая), прямоугольная.

Площадь трапеции через высоту и основания

{S= \dfrac{1}{2} (a+b) \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через высоту и основания: {S= \dfrac{1}{2} (a+b) \cdot h}, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S= m \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через высоту и среднюю линию: {S= m \cdot h}, где m — средняя линия трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через 4 стороны

формула ниже

Формула для нахождения площади трапеции через четыре стороны: {S=\dfrac{a+b}{2}\sqrt{c2-\Big(\dfrac{(a-b)2+c2-d2}{2 (a-b)}\Big)2}}, где a, b — основания трапеции, c, d — боковые стороны трапеции.

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\alpha)}

{S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\beta)}

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними: {S= \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} \cdot sin(\alpha)}, где d1, d2 — диагонали трапеции, α — угол между диагоналями. Вместо угла α можно использовать угол β в соответствии с тем, что углы смежные и по формуле приведения для смежных уголов {sin(\alpha) = sin(180\degree — \alpha) = sin(\beta)}

Площадь трапеции через основания и углы при основании

формула ниже

Формула для нахождения площади трапеции через основания и углы при основании: {S=\dfrac{(b2-a2)}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\alpha+\beta)}}, где a, b — основания трапеции, α, β — углы при основании трапеции.

Площадь трапеции через площади треугольников

{S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})2}

Формула для нахождения площади трапеции через площади треугольников: {S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})2}, где S1, S2 — площади треугольников.

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S=\dfrac{\sqrt{d_22-h2}+\sqrt{d_12-h2}}{2} \cdot h}

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и высоту: {S=\dfrac{\sqrt{d_22-h2}+\sqrt{d_12-h2}}{2} \cdot h}, где d1, d2 — диагонали трапеции, h — высота трапеции.

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S= (a+b) \cdot r}

Формула для нахождения площади трапеции через радиус вписанной окружности и основания: {S=(a+b)\cdot r}, где a, b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности.

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S= \dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2}

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: {S=\dfrac{1}{2}d_1 \cdot d_2}, где d1, d2 — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и высоту

{S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и высоту: {S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h}, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции через 3 ее стороны (формула Брахмагупты)

{S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)2}}

{p=\dfrac{a+b+2c}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты): {S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)2}}, где a, b — основания трапеции, c — боковая сторона, p — полупериметр трапеции. {p=\dfrac{a+b+2c}{2}}

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S= c \cdot sin\alpha \cdot (a+c\cdot cos\alpha)}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании: {S= c \cdot sin\alpha \cdot (a+c\cdot cos\alpha)}, где a — верхнее основание трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S= c \cdot sin\alpha \cdot (b-c\cdot cos\alpha)}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании: {S= c \cdot sin\alpha \cdot (b-c\cdot cos\alpha)}, где b — нижнее основание трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S= \dfrac{1}{2} (b2-a2) \cdot tg\alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол: {S= \dfrac{1}{2} (b2-a2) \cdot tg\alpha}, где a, b — основания трапеции, α — угол при нижнем основании.

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} d2 \cdot sin\alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями: {S= \dfrac{1}{2} d2 \cdot sin\alpha}, где d — диагональ трапеции, α — угол между диагоналями.

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании

{S= m\cdot c\cdot sin \alpha}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через боковую сторону, среднюю линию и угол при основании: {S= m \cdot c \cdot sin\alpha}, где m — средняя линия трапеции, c — боковая сторона трапеции, α — угол при основании.

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S= \dfrac{4r2}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании: {S= \dfrac{4r2}{sin\alpha}}, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.

{S= \dfrac{h2}{sin\alpha}}

{S= \dfrac{D2}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании:

{S= \dfrac{h2}{sin\alpha}}, где h — высота трапеции, α — угол при основании.

{S= \dfrac{D2}{sin\alpha}}, где D — диаметр вписанной окружности, α — угол при основании.

{S= \dfrac{ab}{sin\alpha}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и угол при основании: {S= \dfrac{ab}{sin\alpha}}, где a, b — основания трапеции, α — угол при основании.

{S= r(a+b)}

{r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через основания и радиус вписанной окружности:

{S= r(a+b)}

{r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}},

где a, b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности.

{S= \sqrt{ab}\cdot \dfrac{a+b}{2}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания: {S= \sqrt{ab}\cdot \dfrac{a+b}{2}}, где a, b — основания трапеции.

{S= c \cdot \sqrt{ab}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и боковую сторону: {S= c \cdot \sqrt{ab}}, где a, b — основания трапеции, c — боковая сторона трапеции.

{S= m \cdot \sqrt{ab}}

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и среднюю линию: {S= m \cdot \sqrt{ab}}, где a, b — основания трапеции, m — средняя линия трапеции.

Просмотров страницы: 40052

Источник: https://mnogoformul.ru/ploshhad-trapecii-formuly-i-kalkulyator-online

Трапеция

Чему равна площадь трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180\circ\).

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

1) Т.к. \(AD\parallel BC\), то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\), следовательно, \(\angleBAD+\angle ABC=180\circ\).

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angleBDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdotAD=S_{\triangle ACD}\).

Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangleCOD}\]

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN'\parallel AD\) (\(N'\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN'\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N'\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N'\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB'\perp AD, CC'\perp AD\). Пусть \(BB'\cap MN=M', CC'\capMN=N'\).

Тогда по теореме Фалеса \(M'\) и \(N'\) — середины отрезков \(BB'\) и \(CC'\) соответственно. Значит, \(MM'\) – средняя линия \(\triangleABB'\), \(NN'\) — средняя линия \(\triangle DCC'\). Поэтому: \[MM'=\dfrac12 AB', \quad NN'=\dfrac12 DC'\]

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB', CC'\perp AD\), то \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B'M'=M'B\). Значит, \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M'N'=B'C'=BC\).

Таким образом:

\[MN=MM'+M'N'+N'N=\dfrac12 AB'+B'C'+\dfrac12 C'D=\] \[=\dfrac12 \left(AB'+B'C'+BC+C'D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angleODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE= ED\).

Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\).

Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =\angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).

В итоге \(AB = AE – BE = DE – CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).

Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.

}}\] Определения Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельC”,”word_count”:847,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://shkolkovo.net/theory/58

Спецприемы репетитора по математике

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать.

Для остальных рассказываю дальше.

Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то  — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.

3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.

4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции

6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.

7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.

9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения.

Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4.

Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/ploshhad-trapecii/

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Чему равна площадь трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции – параллельные стороны
  • Боковые стороны – две другие стороны
  • Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Рис.1Рис.2

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m – b

b = 2m – a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Определение.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. 1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
2m2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 – 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 – 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 = d 2 + ab – a(d 2 – c2)
a – b
d2 = c2 + ab – a(c2 – d 2)
a – b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a – h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a – h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab – d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab – d12

1. Формула площади через основания и высоту: 2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S = a + bc2 –((a – b)2 + c2 – d 2)2
22(a – b)

5. Формула Герона для трапеции

S = a + b√(p – a)(p – b)(p – a – c)(p – a – d)
|a – b|

где

p = a + b + c + d  – полупериметр трапеции.
2

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d1
4√p(p – a)(p – c)(p – d1)

где a – большее основание
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL = b   KN = ML = a   TO = OQ = a · b
22a + b

© 2011-2020 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/

Формула площади трапеции

Чему равна площадь трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

  • Справочник
  • Геометрия
  • Формулы площади
  • Формула площади трапеции

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Площадь трапеции S равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h)

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований a и b на высоту h

 \[ S = \frac{ a + b }{2} \cdot h \]    

Площадь трапеции через четыре стороны

 \[ S = \frac{ a + b }{2} \cdot \sqrt{ c{2} – \left( \frac{ (b-a){2} + c{2} -d{2}}{2(a-b)} \right) {2} } \]    

Площадь трапеции через основания и два угла

 \[ S = \frac{1}{2} \left( b{2} – a{2} \right) \frac{ sin(\alpha) \cdot sin(\beta) }{sin(\alpha + \beta)} \]    

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
  • Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • У равнобокой трапеции углы при основании равны.
  • У равнобокой трапеции диагонали равны.
  • Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

Формулы площадиПлощадь Формулы Геометрия

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то AD = BC + AM + ND Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты – равны.

Таким образом, AD = BC + AM * 2 AM = (AD – BC) / 2 AM = ( 20 – 8 ) / 2 = 6 см Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза.

Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора: BM2 = AB2 – AM2 BM2  = 102 – 62 BM = 8 см Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции – 12 см, то коэффициент подобия будет равен k = 12 / 8 = 1,5 Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия: Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k )

Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см2 

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.

Пусть \( ABCD \) — трапеция, \( AC \) — диагональ трапеции и биссектриса острого угла \( \angle A \), т.е. \( \angle BAC=\angle CAD \). \( EF \) — средняя линия трапеции. \( EO=15 \) см, \( OF=33 \) см (\( AC \) пересекает \( EF \) в точке \( O \)). Опустим высоты на \( AD \) из \( B \) и \( C \) (\( BM\perp AD \), \( CK\perp AD \)).

\( S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM \)

\( EF=EO+OF=15+33=48 \) см

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) для которых \( EO \) и \( OF \) являются соответственно средними линиями. Значит \( BC=2\cdot EO=30 \) см, \( AD=2\cdot OF=66 \) см.

\( \angle CAD=\angle BCA \) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \( BC\parallel AD \) и секущей \( AC \), но по условию \( \angle CAD = \angle BAC \), следовательно \( \angle BCA = \angle BAC \) и треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, т.е. \( AB=BC=30 \) см.

Рассмотрим \( \triangle ABM \): \( \angle M=90{\circ} \), \( AB=30 \) см, \( AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18 \) см. По теореме Пифагора найдем \( BM=\sqrt{AB2-AM2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24 \) см.

Тогда площадь трапеции равна \( S_{ABCD}=48\cdot24=1152 \) см2.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

  • Формула площади прямоугольного треугольникаПлощадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника
  • Формула площади равнобедренного треугольникаПлощадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания треугольника на его высоту
  • Формула площади равностороннего треугольникаПлощадь равностороннего треугольника – половина произведения его основания на высоту
  • Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи, или половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.
  • Формула площади параллелограммаПлощадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h)
  • Формула площади прямоугольникаПлощадь прямоугольника равна произведению его сторон
  • Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h), или половине произведения его диагоналей.
  • Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
  • Сколько километров в узле?Один морской узел равен одной тысяче восемьсот пятьдесят двум метрам или одному километру восемьсот пятьдесят двум метрам
  • 1 Ампер это сила тока, при которой через проводник проходит заряд 1 Кл за 1 сек.
  • В «современном» латинском алфавите 26 букв.
  • Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.

Источник: https://calcsbox.com/post/formula-plosadi-trapecii.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий