Две прямые пересекают параллельные плоскости. Параллельность плоскостей: признак, условие

Параллельные плоскости и их свойства

Две прямые пересекают параллельные плоскости. Параллельность плоскостей: признак, условие

Параллельность плоскостей.

С параллельными плоскостями мы встречаемся в жизни каждый день. Наиболее наглядный пример – это плоскости потолка и пола (если не брать в расчёт дизайнерские фантазии); это полки в шкафу; это плоскости ступеней (на которые мы наступаем), ну и т.д., и т.п.

Определение. Две плоскости в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек.

На чертежах параллельные плоскости изображаются в виде одинаковых параллелограммов, которые смещены друг относительно друга, причём, если они расположены близко друг к другу, то не забывайте о невидимых линиях!

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Предположим, что . Тогда одна из двух пересекающихся прямых или , лежащие в плоскости , пересекает прямую , которая также лежит в плоскости .

Но, прямая , в то же время, лежит в плоскости , значит, одна из двух прямых или пересекает плоскость . Однако, по условию теоремы, , значит, (по признаку параллельности прямой и плоскости). Аналогично, , значит, .

Мы пришли к противоречию с признаком параллельности прямой и плоскости вследствие того, что сделали изначально неверное предположение. Значит, , ч.т.д.

  1. Свойства параллельных плоскостей.

ТЕОРЕМА 1 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Поскольку , тогда прямые и либо пересекаются, либо параллельны. Но, кроме того, они лежат в параллельных плоскостях, т.е. не могут иметь общих точек. Значит, , ч.т.д.

ТЕОРЕМА 2 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

1. В данной плоскости проведём две пересекающиеся прямые (рисунок слева). Через данную точку проведём прямые и (это возможно сделать по аксиоме планиметрии: «через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и, притом, только одну»). Через две пересекающиеся прямые и проведём плоскость . По признаку параллельности плоскостей, .

2. Докажем единственность существования такой плоскости. Предположим, что через точку проходит ещё одна плоскость , параллельная плоскости (рисунок справа). В плоскости проведём произвольную прямую через точку , а в плоскости отметим произвольную точку . Через прямую и, не лежащую на ней точку , можно провести плоскость , и, притом, только одну. Тогда .

Так как (по построению) и (по предположению), то прямые и не пересекают прямую , т.е. и . Мы получили, что через точку в плоскости проходят две прямые и , параллельные одной и той же прямой . Это противоречит аксиоме планиметрии о параллельных прямых. Противоречие возникло вследствие неверного предположения.

Значит, через точку вне плоскости можно провести только одну плоскость, параллельную данной, ч.т.д.

ТЕОРЕМА 3 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Так как прямые и параллельны, то через них можно провести плоскость . Тогда . Согласно теореме 1, . Значит, – параллелограмм. Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то , ч.т.д.

ТЕОРЕМА 4 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если две различные плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Предположим, что . Тогда , т.е. эти плоскости имеют общую точку. Значит, через одну точку проходят две плоскости и , параллельные одной и той же плоскости . А это противоречит теореме 2 о существовании и единственности плоскости, параллельной данной. Противоречие возникло вследствие неверного предположения, значит, , ч.т.д.

  1. Через вершины и параллелограмма проведены параллельные прямые и , не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите:

  1. Параллельные прямые и пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках и , а другую – точках и соответственно.

  1. Основания трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что боковые стороны трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните.

  1. Боковые стороны трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что основания трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните.

  1. Параллелограммы и не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей и .

  1. Параллелограммы и не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей и .

  1. Точки и лежат в плоскости , а точки и – в плоскости , причём, отрезки и пересекаются, .

  1. Найдите углы четырёхугольника , если один из этих углов равен .

  1. Точка не лежит в плоскости . Докажите, что все прямые, проходящие через точку и параллельные плоскости , лежат в одной плоскости.

  1. Плоскости и параллельны. Прямая лежит в плоскости . Через точку, не лежащую в плоскости , проведена прямая , параллельная . Докажите, что прямая лежит в плоскости .

  1. Каждая из двух прямых параллельна плоскостям и . При каком взаимном расположении этих прямых можно гарантированно утверждать, что ? Ответ объясните.

  1. Прямая лежит в плоскости и параллельна плоскости . Прямая параллельна плоскостям и . При каком взаимном расположении этих прямых можно гарантированно утверждать, что? Ответ объясните.

  1. Концы двух равных пересекающихся отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях.

  1. При каком дополнительном условии пересечения отрезков, – прямоугольник?

  2. Докажите, что если не является прямоугольником, то – равнобедренная трапеция.

  1. Концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях.

  1. При каком дополнительном условии пересечения отрезков, – ромб?

  2. Докажите, что если не является ромбом, то – трапеция, в которой высота равна средней линии.

  1. Две скрещивающиеся прямые пересекают три параллельные плоскости в точках и .

  1. Найдите и , если

  2. Найдите и , если

  1. На рисунке . Докажите параллельность плоскостей и .

  1. На рисунке и – параллелограммы. Докажите параллельность плоскостей и .

  1. Дан куб . – диагонали граней соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

  1. – пространственный четырёхугольник. – середины сторон соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

  1. Точка лежат вне плоскости параллелограмма . Точки и – середины сторон и соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

  1. На рисунке – пространственный четырёхугольник. Точки лежат на сторонах и соответственно так, что . Докажите параллельность плоскостей и .

  1. Параллельные прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

  1. Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

  1. Параллельные прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

  1. Параллельные прямые и пересекают плоскость в точках и . Параллельные прямые и пересекают эту же плоскость в точках и . Причём, прямые и пересекаются в точке , а прямые и – в точке . Доказать, что прямые и параллельны.

  1. Скрещивающиеся прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что прямые и скрещивающиеся.

  1. Прямые и пересекаются в точке и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Найдите и , если .

  1. Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Найти и , если и .

  1. Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что треугольник подобен треугольнику .

  1. Точки и лежат в плоскости и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки и расположены по одну сторону от плоскости . Докажите, что плоскости и параллельны.

  1. Точка не лежит в плоскости треугольника , точки и – середины отрезков и соответственно.

  1. Докажите, что плоскости и параллельны.

  2. Найдите площадь , если площадь равна см2.

  1. Три отрезка и , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости и параллельны.

  1. Прямая пересекает параллельные плоскости и соответственно в точках и , причём, . Прямая пересекает плоскости и соответственно в точках и , причём, . Найдите длину отрезка .

  1. Плоскости и попарно параллельны, прямые и скрещиваются. Прямая пересекает плоскости и соответственно в точках и ; прямая – соответственно в точках и . Докажите, что .

  1. Скрещивающиеся прямые и параллельны плоскости . Через произвольную точку плоскости проведена прямая , пересекающая прямые и соответственно в точках и . Докажите, что отношение не зависит от выбора точки в плоскости .

  1. Параллельные плоскости и пересекают сторону угла соответственно в точках и , а сторону этого угла – в точках и . Найдите:

  1. Плоскости и пересекаются по прямой . Через точки и , расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости и параллельные между собой прямые и , а также параллельно плоскости и параллельные между собой прямые и . Докажите, что:

  1. плоскости и параллельны;

  2. плоскости и пересекают плоскости и по параллельным прямым.

  1. На трёх попарно параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, выбраны три равных отрезка и так, что точки и оказались по одну сторону от плоскости . Докажите, что:

  1. плоскость параллельна плоскости ;

  2. ;

  3. прямая пересечения плоскостей и параллельна плоскостям и ;

  4. прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников и , параллельна прямым и .

  1. На трёх лучах, исходящих из точки , и, не лежащих в одной плоскости, взяты отрезки и такие, что . Докажите, что:

  1. плоскость параллельна плоскости ;

  2. ;

  3. прямая пересечения плоскостей и параллельна плоскостям и ;

  4. прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников и , содержит точку .

  1. В кубе точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – точка пересечения диагоналей квадрата . Определить взаимное расположение плоскостей (параллельны, пересекаются, совпадают, невозможно определить):

  1. и

  2. и

  3. и

  4. и

  5. и

  6. и

  7. и

  8. и

  9. и

  10. и

  11. и

  12. и .

  1. Через точку , расположенную между параллельными плоскостями и , проведены две прямые, которые пересекают плоскости в точках и и .

  1. Определить, как расположены прямые и . Ответ объяснить.

  2. Вычислить длину отрезка , если .

  1. Два луча, с началом в точке пересекают одну из параллельных плоскостей в точках , а другую – в точках .

  1. Определить, как расположены прямые и . Ответ объяснить.

  2. Вычислить , если .

  1. Плоскости и параллельны. Через точки и плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и .

  1. Определить вид четырёхугольника .

  2. Вычислить периметр четырёхугольника , если .

  1. Через точки и стороны равностороннего треугольника проведены плоскости и , параллельные прямой .

  1. Определить, на какие фигуры делится треугольник плоскостями и .

  2. Вычислить периметры этих фигур, если .

  1. Плоскость параллельна плоскости равностороннего треугольника . Через его вершины проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках . Вычислить периметр и площадь треугольника , если .

  1. Точки и не лежат в одной плоскости. Точки – середины отрезков соответственно.

  1. Докажите, что плоскости и параллельны.

  2. Вычислите периметр треугольника , если .

  1. Плоскости и параллельны. Верно ли, что любая прямая плоскости параллельна плоскости ? Ответ объясните.

  1. Верно ли, что две плоскости, параллельные одной прямой, параллельны? Ответ объясните.

Источник: https://infourok.ru/parallelnie-ploskosti-i-ih-svoystva-3695796.html

Урок 6. параллельность плоскостей – Геометрия – 10 класс – Российская электронная школа

Две прямые пересекают параллельные плоскости. Параллельность плоскостей: признак, условие

Геометрия, 10 класс

Урок №6. Параллельность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Определение параллельных плоскостей;
  2. Свойства параллельных плоскостей;
  3. Признак параллельности плоскостей.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Основная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.

Дополнительная литература:

Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.

Изображение:

Пример 1.

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях – пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β – данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β. 

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

 Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны

Теорема доказана.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство. 

Пусть α и β – параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.  

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b. 

Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Доказательство.

Пусть α и β – параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость – эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD. 

По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Доказательство.

Пусть α||β, a пересекает α в точке А.

Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.

Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны.

Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости.

Теорема доказана.

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Доказательство.

Пусть α||β, α и γ пересекаются.

Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.

Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана. 

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.

Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана. 

Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.

Пример 2.

Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.

Доказательство.

Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.

Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b(по теореме 5) .

Пример 3.

Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Доказательство.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

Доказательство.

Докажем параллельность А1В1 и А2В2.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Верное решение:

Докажем параллельность А1В1 и А2В2.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

№2.

Тип задания: выделение цветом

Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.

Решение:

Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.

Ответ:

1) они параллельны

2) скрещиваются

3) пересекаются

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6129/conspect/

§ 11. Параллельность плоскостей

Две прямые пересекают параллельные плоскости. Параллельность плоскостей: признак, условие

11.1 Параллельность плоскостей, перпендикулярных одной прямой

Напомним, что две плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными. Из теоремы о плоскости, перпендикулярной прямой (п. 9.

2), следует, что две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны (рис. 99). Действительно, такие плоскости не имеют общей точки.

В противном случае через одну точку проходили бы две плоскости, перпендикулярные одной прямой, что невозможно по указанной теореме.

Рис. 99

Вспомните, что аналогичный признак параллельности прямых был доказан в планиметрии.

Доказанный нами простой признак параллельности плоскостей позволяет построить такие плоскости. Для этого достаточно взять какую-нибудь прямую и построить две перпендикулярные ей плоскости (п. 9.2).

11.2 Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям

Зависимость между параллельностью плоскостей и перпендикулярностью прямой и плоскости аналогична зависимости между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости (теорема 9), рассмотренной в § 8. А именно наряду с доказанным в 11.1 признаком параллельности плоскостей имеет место и следующее обратное ему утверждение:

Теорема 12 (о прямой, перпендикулярной параллельным плоско стям). Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Эта теорема является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости. При её доказательстве используются две простые леммы:

Лемма 1 (о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью). Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекают третью плоскость, параллельны.

Доказательство. Пусть параллельные плоскости α и β пересекают плоскость γ по прямым а и b соответственно (рис. 100). Прямые а и b лежат в одной плоскости γ. Они не имеют общих точек, так как плоскости α и β не имеют общих точек. Поэтому прямые а и b параллельны.

Рис. 100

Лемма 2 (о прямой, пересекающей параллельные плоскости). Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую из них.

Доказательство. Пусть плоскости α и β параллельны и прямая с пересекает плоскость α в точке А (рис. 101).

Рис. 101

Возьмём в плоскости β любую точку М и проведём через прямую с и точку М плоскость γ. Она пересечёт плоскости α и β по параллельным прямым а и b.

Прямая с лежит в плоскости γ и пересекает прямую а в точке А. Поэтому прямая с пересечёт и прямую b, параллельную прямой а и лежащую в плоскости γ, в некоторой точке В. Точка В и является точкой пересечения прямой с и плоскости β, так как лежать в плоскости р прямая с не может (объясните!).

Теперь докажем теорему 12. Доказательство теоремы 12. Пусть плоскости α и β параллельны и прямая с перпендикулярна плоскости α (рис. 102).

Рис. 102

Прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А. Поэтому по лемме 2 прямая с пересекает и плоскость β в некоторой точке В. Проведём через точку В в плоскости β любую прямую b и покажем, что с ⊥ b.

Пусть γ — плоскость, проходящая через прямые b и с. Она пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и b (по лемме 1). Так как с ⊥ α, то с ⊥ a. А поскольку b||а и все прямые а, Ь, с лежат в плоскости γ, то с ⊥ b. Следовательно, с ⊥ β (по определению перпендикулярности прямой и плоскости)

11.3 Основная теорема о параллельных плоскостях

Теорема 13. Через каждую точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны плоскость α и не лежащая в ней точка А (рис. 103). Проведём через точку А прямую а, перпендикулярную плоскости α (см. п. 9.1). Через точку А проведём плоскость β, перпендикулярную прямой а (см. п. 9.2). Плоскости α и β параллельны, так как они перпендикулярны прямой а. Мы доказали существование плоскости β, проходящей через точку А и параллельной плоскости α.

Рис. 103

Докажем единственность такой плоскости. Пусть γ — плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости α. Так как γ||α и а ⊥ α, то а ⊥ γ (по теореме 12). А поскольку через точку А проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная прямой а (п. 9.2), то плоскости β и γ совпадают. Поэтому β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости α.

Следствие (о двух плоскостях, параллельных третьей). Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.

Доказательство. Если две плоскости α и β параллельны плоскости γ, то они не имеют общей точки: в противном случае через эту точку проходят две плоскости, параллельные γ.

Замечание. Обратите внимание на аналогию с параллельными прямыми на плоскости: начиная с определения всем доказанным здесь предложениям о параллельных плоскостях соответствуют такие же предложения о параллельных прямых на плоскости. Сформулируйте их.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете признаки параллельности плоскостей?
  2. Какие теоремы о параллельных плоскостях аналогичны теоремам о параллельных прямых?
  3. Две плоскости параллельны. Как может быть расположена относительно них третья плоскость?

Источник: http://tepka.ru/geometriya_10-11/15.html

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

Две прямые пересекают параллельные плоскости. Параллельность плоскостей: признак, условие
Прямая, плоскость, их уравнения

Эта статья посвящена параллельным плоскостям и параллельности плоскостей. Сначала дано определение параллельных плоскостей, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации.

Далее приведен признак параллельности плоскостей и теоремы, позволяющие доказывать параллельность плоскостей.

В заключении рассмотрены необходимые и достаточные условия параллельности плоскостей, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, а также подробно разобраны решения примеров.

Параллельные плоскости – основные сведения

Дадим определение параллельных плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «». Таким образом, если плоскости и параллельны, то можно кратко записать .

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.

Отметим, что если плоскости и параллельны, то также можно сказать, что плоскость параллельна плоскости , или плоскость параллельна плоскости .

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

К началу страницы

При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

С доказательством этого признака параллельности плоскостей Вы можете ознакомиться на страницах учебника геометрии за 10-11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

На практике для доказательства параллельности плоскостей также часто используются две следующие теоремы.

Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней.

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основании приведенных теорем и признака параллельности плоскостей доказывается параллельность любых двух плоскостей.

Теперь подробно остановимся на необходимом и достаточном условии параллельности двух плоскостей и , которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида , а плоскости – вида . (Если плоскости заданы уравнениями плоскостей в отрезках, то от них легко перейти к общим уравнениям плоскостей.)

Для параллельности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений (была несовместна).

Если плоскости и параллельны, то по определению они не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям плоскостей. Поэтому, система уравнений не имеет решений.

Если система линейных уравнений не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, координаты которой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям системы. Следовательно, плоскости и не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

Рассмотрим применение необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Параллельны ли плоскости и ?

Составим систему уравнений из заданных уравнений плоскостей. Она имеет вид . Выясним, имеет ли эта система линейных уравнений решения (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Ранг матрицы равен одному, так как все миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы равен двум, так как минор отличен от нуля. Итак, ранг основной матрицы системы уравнений меньше ранга расширенной матрицы системы. При этом из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений не имеет решений. Этим доказано, что плоскости и параллельны.

Заметим, что использование метода Гаусса для решения системы линейных уравнений привело бы нас к этому же результату.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей можно сформулировать иначе.

Для параллельности двух несовпадающих плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.

Доказательство этого условия основано на определении нормального вектора плоскости.

Пусть и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Условие коллинеарности векторов и записывается как , где t – некоторое действительное число.

Таким образом, для параллельности несовпадающих плоскостей и , нормальными векторами которых являются векторы и соответственно, необходимо и достаточно, чтобы существовало действительное число t, для которого справедливо равенство .

Известно, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость проходит через три точки , а плоскость определяется уравнением . Докажите параллельность плоскостей и .

Сначала убедимся, что плоскости и не совпадают. Это действительно так, так как координаты точки А не удовлетворяют уравнению плоскости .

Теперь найдем координаты нормальных векторов и плоскостей и и проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .

В качестве вектора можно взять векторное произведение векторов и . Векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца). Тогда .

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости приведем ее уравнение к общему уравнению плоскости: . Теперь видно, что .

Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и .

Так как , то векторы и связаны равенством , то есть, они коллинеарны.

Итак, плоскости и не совпадают, а их нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости и параллельны.

Замечание: разобранное необходимое и достаточное условие не очень удобно для доказательства параллельности плоскостей, так как отдельно приходится доказывать, что плоскости не совпадают.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/parallel_planes.html

Параллельные плоскости. урок. Геометрия 10 Класс

Две прямые пересекают параллельные плоскости. Параллельность плоскостей: признак, условие

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей. Далее мы докажем теорему – признак параллельности плоскостей и, опираясь на нее, решим несколько задач на параллельность плоскостей.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные плоскости

На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

Рис. 1.

Существуют ли параллельные плоскости?

Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис. 2.).

Рис. 2.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство

Проведем в плоскости  две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости  пересекающиеся прямые а1 и b1, причем прямая а1 параллельна прямой а, а прямая b1 параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости  и параллельны.

Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости , прямая а1 принадлежит плоскости , а прямая а параллельна прямой а1. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости.  Аналогично, прямая b параллельна прямой b1 из плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .

Предположим, что плоскости  и  не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

Рис. 4.

Плоскость  проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость  проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с.

Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным.

Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Плоскости  и  параллельны, прямая m лежит в плоскости .

Докажите, что прямая m параллельна плоскости .

Доказательство

Предположим, что прямая mпересекается с плоскостью  в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда точка М принадлежит и плоскости , и плоскости  (так как точка М лежит на прямой m, а прямаяmпринадлежит плоскости). Но это невозможно, так как плоскости  и  по условию параллельны. Значит, прямая mпараллельна плоскости .

Рис. 5.

Докажите, что плоскости  и  параллельны, если прямые m и nплоскости  параллельны плоскости .

Доказательство

Предположим, что плоскости  и  пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость  проходит через прямую m, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит, прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость  проходит через прямую n, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с.

Согласно опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным.

Значит, плоскости  и  не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Рис. 6.

Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости .

Доказательство

Дан треугольник АВС и плоскость. Стороны АВ и АС параллельны плоскости  (Рис. 7.). Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости .

Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскость и притом только одна. Плоскость  параллельна плоскости , так как прямые АС и АВ параллельны плоскости  (из задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости , а значит ВС параллельна плоскости  (из задачи 1).

Рис. 7.

Итак, мы рассмотрели определение и признак параллельных плоскостей. На следующем уроке мы рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей “Открытый урок” (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Шпаргалки (Источник)

Рекомендованное домашнее задание

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Могут ли быть параллельными плоскости, проходящие через непараллельные прямые?

3. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5 стр. 29

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnye-ploskosti

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий