Египетские треугольники все примеры. Египетский треугольник и обратная теорема пифагора

Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора

Египетские треугольники все примеры. Египетский треугольник и обратная теорема пифагора

Теорема Пифагора — пожалуй, самая известная из математических теорем.

Сколько существует оригинальных доказательств! Сколько применений она находит в технике! Сколькими благами цивилизации мы обязаны этой великой теореме! Однако, совсем недавно, я открыл для себя совершенно новую, ранее неизвестную грань этой теоремы, которая значительно расширяет область ее применения.

Именно этим открытием я и хочу поделиться с вами, уважаемые читатели Geektimes. Пожалуйста, не судите строго, если описанные с статье факты, вам известны. Это скроее развлекательная история с научно-популярным элементом, чем строгая математика.

Геометрическое доказательство теоремы Пифагора

История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах.

Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в Википедии.

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна , а во втором — площадь незакрашенной области равна . Таким образом, . Теорема доказана!

Зарождение идеи

В этой статье я хочу не только рассказать что-то новое и познавательное о теореме Пифагора, но и поделиться своей историей о том, как в моей голове зародилась интересная идея, которую я сумел сформулировать, доказать и даже предположил возможность обобщения на более высокую размерность. Но обо всем по порядку.

Египетские треугольники

С давних времен науке известны так называемые египетские треугольники. Это такие прямоугольные треугольники, у которых катеты и гипотенуза выражаются целыми числами.

Можно сказать и иначе: египетские треугольники — это такие тройки натуральных чисел , которые образуют прямоугольный треугольник. Мы все, наверняка, хоть раз встречались с ними в школе на уроках геометрии.

Для примера привожу несколько таких троек:
Во-первых, это красивые математические объекты. А во-вторых, с ними очень удобно решать задачи! Нет никаких квадратных корней и иррациональных чисел в ответе.

Загадочные четверки

И вот, году этак в 2004 — 2005, в пору подготовки к ЕГЭ, когда я сутками напролет решал просто какую-то бесконечную прорву хитро-вычурных задач из части С, мне то и дело стали попадаться не тройки, а уже четверки чисел, которые обладали похожими свойствами: а именно, сумма квадратов трех из них давала полный квадрат четвертого.

Этот факт заинтриговал меня настолько, что я до сих пор наизусть помню некоторые из них. На самом деле, таких четверок бесконечно много и только в пределах чисел до 1000 их существует около 84 000. А вот, к примеру, пять таких четверок, из тех, что компьютер нашел перебором, пока я писал эту статью:
Заметив такое удивительное совпадение, я стал думать.

Вопрос, который меня занимал в связи с этим загадочным обстоятельством, наличием не только троек, но и четверок, обнаруживающих свойства египетского треугольника, был таков: “А что бы это все могло значить?” Я перебирал варианты, какие только приходили в голову. В фантазии себя никак не ограничивал.

Много раз садился за стол, выписывал известные мне наборы четверок и вдумчиво на них смотрел… часами… без перерыва… и… ничего не происходило. У меня был школьный товарищ Саня, с которым я как-то поделился своими идеями. Но его больше интересовали гуманитарные науки. Он стал юристом и сейчас служит в звании майора милиции.

Саня сказал мне примерно следующее:«Вот странный ты человек. Делать тебе больше нечего. Мало тебе задают домашек? Хватит думать о всякой ерунде!». А, надо сказать, думал я, не переставая, и думал много лет, время от времени возвращаясь к этой загадке.

Еще будучи школьником, я сделал вывод, что это, вероятнее всего, имеет отношение к великой теореме Ферма (на которую я тоже много раз подолгу смотрел). Шли годы. Ничего не получалось. Озарение не приходило. И я понял, что, вероятно, дальше чем «что-то связанное с теоремой Ферма» я никуда уже не продвинусь. Но не тут то было

Шерлок нашел зацепку

Итак, в 2014 году ехал я в автобусе по Новосибирску. А может быть это было метро. Дорога не близкая. Заняться нечем. И в очередной раз решил я подумать о моей школьной загадке. И вот что я подумал.

Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник.

И тут! Как гром среди ясного неба

Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!

Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так! Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.

Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!

О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо.

Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект.

Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла — прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.

Новая теорема

Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые грани-катеты и секущая грань-гипотенуза. Пришло время нарисовать еще одну картинку.

Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку).

Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , у которой площади граней-катетов равны — , и площадь грани-гипотенузы — .

Тогда

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.
Выразим площади через длины векторов .

где .

Площадь представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и

Как известно, векторное произведение двух векторов — это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Поэтому Таким образом,
Что и требовалось доказать!

ЭВРИКА!

Моему восторгу не было границ! Я буквально прыгал от счастья. Конечно, это не бог весть какая сложная теорема, и доказательство очень простое, но ведь сам. И до меня — никто! Я был в этом искренне убежден в течение около года. Попытки найти хоть какие-то свидетельства о том, что это уже известно и доказано терпели неудачу одна за другой, и я думал, что совершил открытие.

Это непредаваемое чувство! Я хотел поделиться этой теоремой со всем миром. Говорил о ней друзьям, знакомым математикам, просто знакомым с техническим/математическим образованием и без. Никто не разделял моего восторга и энтузиазма. Всем было попросту безразлично. Будто бы я не придумал и доказал теорему, а просто в магазин за хлебом сходил.

Ну и что тут такого? Вот уж действительно… Как говорится, «Как скучно мы живём! В нас пропал дух авантюризма, мы перестали лазить в окна к любимым женщинам, мы перестали делать большие хорошие глупости.» (из фильма «Ирония судьбы»). Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз.

Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства — до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира.

Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.

Послесловие

В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее.

Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году! Вот ссылка на статью:

Amir-Moéz, Ali R., Robert E. Byerly, and Robert R. Byerly. «Pythagorean theorem in unitary spaces.» Publikacije Elektrotehničkog fakulteta. Serija Matematika (1996): 85-89.

издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, — просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить! Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!

Египетский треугольник

Египетские треугольники все примеры. Египетский треугольник и обратная теорема пифагора

В математике есть определенные каноны, которые явились, так сказать, фундаментом или основанием всего последующего развития современной математики. Одним из этих канонов, по праву можно считать теорему Пифагора. Кому еще со школьных времен не известна смешная формулировка теоремы Пифагора: “Пифагоровы штаны во все стороны равны”.

Ну да, правильно это звучит так: “квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов “, но про штаны гораздо лучше запоминается.

Нагляднее всего это видно на треугольнике со сторонами 3-4-5.

Но если изучить внимательно использование такого треугольника в древней истории, то можно заметить одну занимательную вещь и называется она ни как по другому, как Египетский треугольник.

Этот самый философ и математик Пифагор Самосский из Греции, именем которого и названа эта теорема, жил примерно 2,5 тысяч лет тому назад. Ну конечно дошедшая до нашего времени биография Пифагора не совсем достоверна, но, тем не менее, известно что Пифагор много путешествовал по странам Востока. В том числе он был и Египте и Вавилоне. В Южной Италии Пифагор основал свою знаменитую “Пифагорову школу”, которая сыграла очень даже важную роль, как в научной, так и политической жизни древней Греции. С тех времен по преданиям Плутарха, Прокла и других известных математиков того времени, считалось, что эта теорема до Пифагора известна не была и именно по этому её назвали его именем. Но история говорит что это не так. Обратимся туда, где бывал Пифагор и что видел, прежде чем сформулировать свою теорему. Африка, Египет. Бесконечный и однообразный океан песка, почти ни какой растительности. Редкие кустики растений, едва заметные верблюжьи следы. Раскаленная пустыня. Солнце и то кажется тусклым, как будто покрытым этим вездесущим мелким песком. И вдруг, как мираж, как видение, на горизонте возникают строгие очертания пирамид, изумительных по своим идеальным геометрическим формам, устремленным к палящему солнцу. Своими огромными размерами, и совершенством своих форм они изумляют. Скорее всего, Пифагор их видел в ином виде, нежели как они выглядят сейчас. Это были сияющие полированные громады с четкими гранями на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с величественными царскими пирамидами стояли пирамиды поменьше: жен и родичей фараонов. Власть фараонов Древнего Египта была непререкаемой. Фараонов считали божеством и отдавали им божественные почести. Фараон-бог был вершителем судьбы народа и его покровителем. Даже после смерти культ фараона имел преогромное значение. Умершего фараона сохраняли веками, и для сохранения тела фараона сооружали гигантские пирамиды. Величие, архитектура и размеры этих пирамид поражают и сейчас. Недаром эти сооружения относили к одному из семи чудес света. Изначально назначение пирамид было не только как усыпальниц фараонов. Считают что они сооружались как атрибуты могущества, величия, и богатства Египта. Это памятники культуры того времени, хранилища истории страны и сведений о жизни фараона и его народа, собрание предметов быта того времени. Кроме того однозначно, что пирамиды имели определенное “научное содержание”. Их ориентирование на местности, их форма, размеры и каждая деталь, каждый элемент настолько тщательно продумывались, что должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Очевидно что они строились на тысячелетия, “навечно”. И недаром арабская пословица гласит: “Все на свете страшится времени, а время страшится пирамид”. Своим аналитическим умом Пифагор не мог не заметить определенную закономерность в формах и геометрических размерах пирамид. Скорее всего, это и натолкнуло Пифагора на анализ этих размеров, что впоследствии и было им выражено своей знаменитой теоремой, от которой ныне и отталкивается современная геометия. Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два треугольника с внутренним углом равным 51°50'.                  Сейчас пирамида является усеченной, но это разрушения времени, а если геометрически восстановить её в первоначальном виде, то получается что стороны этих треугольников равны: основание СВ = 116, 58 м, высота АС = 148,28 м.                        Отношение катетов у/х = 148,28/116,58 = 1,272. А это величина тангеса угла 51град 50 мин. Получается, что в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC/CB = 1,272. Такой прямоугольный треугольник называется “золотым” прямоугольным треугольником. Получается что основной “геометрической идеей” пирамиды Хеопса является “золотой” прямоугольный треугольник. Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такой треугольник называют “священным” или “египетским” треугольником. По мнению многих известных историков, “египетскому” треугольнику в древности придавали особый магический смысл. Так Плутарх писал, что египтяне сопоставляли природу Вселенной со “священным” треугольником: символически они уподобляли вертикальный катет мужу, основание – жене, а гипотенузу – тому, что рождается от обоих. Для египетского треугольника со сторонами 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, а это и есть знаменитая теорема Пифагора. По неволе напрашивается вопрос: не это ли соотношение хотели увековечить египетские жрецы, построив пирамиду в основе которой лежит треугольник 3:4:5. Пирамида Хефрена наглядное подтверждение того что знаменитая теорема была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором. Неизвестно как это попало к древним египтянам, то ли это заслуга их ученых, то ли это дар из вне, не исключается и то, что это дар внеземной цивилизации, но использование такого треугольника давало египетским строителям очень существенную и к тому же простую возможность при возведении таких огромных сооружений соблюдать точные геометрические размеры. Ведь свойства этого треугольника таковы, что его угол между катетами является равный 90 градусов. То есть использование такого элемента позволяет обеспечить точную перпендикулярность сопрягаемых элементов и естественно всей конструкции, что и подтверждает архитектура древнего Египта. Получить прямой угол без необходимых инструментов не просто. Но если воспользоваться этим треугольником, оказывается все достаточно просто. Нужно взять обычную веревку, разделить её на 12 равных частей, и из них сложить треугольник, стороны которого будут равны 3, 4 и 5 частям. Угол между сторонами длиной 3 и 4 части оказывается и есть прямой. Вот это и есть Египетский треугольник Пифагора.   Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства “египетского треугольника” были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне. Знаменитая древнеегипетская пословица “Делай, как делается”, дошедшая до наших дней, наталкивает на мысль что сами египтяне, возводившие эти строительные шедевры, были простыми исполнителями и особыми знаниями не обладали, а все секреты были скрыты от непосвященных. Ведь работами на строительстве руководили жрецы – члены особой привилегированной замкнутой касты. Они были хранителями древних знаний, которые держались в секрете. Но пытливый ум великого мыслителя Пифагора сумел разгадать один их этих секретов.

Умы людей всегда будоражат разнообразные загадки, и это, вероятно, будет всегда. Египетский треугольник, хоть и известен человечеству с незапамятных времён, все-таки одна из не полностью разгаданных тайн.

Ведь, что не говори, а форма египетского треугольника и проста, и в то же время гармонична, по своему он даже красив. И с ним достаточно легко работать. Для этого можно использовать самые простые инструменты – линейку и циркуль. Использую этот незатейливый элемент и его симметричные отображения, можно получить красивые, гармоничные фигуры. Это и мальтийский крест, и серединное сечение пирамиды Хефрена, и фрактальный ряд убывающих – возрастающих, по размерам египетских треугольников в соответствии с правилом золотого сечения. Это удивительное богатство гармоничных пропорций.

До сих пор в мире есть много пытливые люди, которые как безумцы изобретают вечный двигатель, ищут квадратуру круга, философский камень и книгу мёртвых. Скорее всего, усилия их тщетны, но даже в случае с Египетским треугольником, ясно что “простых тайн” на земле еще много.

Источник: http://dasinok.ru/interesnoe/egipetskii-treugolnik.html

Урок по геометрии

Египетские треугольники все примеры. Египетский треугольник и обратная теорема пифагора

  1. Ронжина Екатерина Петровна

  2. ФГКОУ «СОШ № 154»

  3. Учитель информатики, математики.

Урок геометрии в 8 классе.

Тема урока: Теорема Пифагора. Египетский треугольник.

Класс: 8

Цель урока: Формирование умения применять теорему Пифагора и соотношения сторон Египетского треугольника аналитически и практически.

Задачи урока:

  1. Ввести, объяснить и доказать теорему Пифагора.

  2. Ввести понятие Египетского треугольника.

  3. Научить применять знания в жизни.

Средства обучения: мультимедийный проектор, экран, презентация, раздаточный материал для классной и самостоятельной работы, набор прямоугольных треугольников, веревка, карточки, бланки ответов.

Методы обучения: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный, проблемного изложения, частично-поисковый; беседа, рассказ, эксперимент, работа с учебником, работа с карточками, использование ТСО, наблюдение, решение задач.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности.

Технологическая карта урока. Проверяет готовность класса к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей), настраивает класс на продуктивную деятельность.

(слайд 1)

Готовятся к работе, организуют рабочее место.

Регулятивные: уметь настраиваться на занятие; уметь слушать в соответствии с целевой установкой.

Коммуникативные: взаимодействовать с учителем.

Познавательные: выявлять существенную информацию из слов учителя.

Актуализация знаний.

Организует самостоятельную работу учащихся в парах, в ходе которой учащиеся вспоминают свойства прямоугольного треугольника (слайд 2) Организует проверку.

Задает вопросы по ранее изученному материалу. (слайд 3)

  • Найдите площадь прямоугольника.
  • Найдите площадь прямоугольного треугольника.
  • Дайте определение прямоугольного треугольника?
  • Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Создание проблемной ситуации. Предлагает решить задачу. (слайд 4)

Итак, в чём дело? Что-то не получается? В каком месте возникло затруднение?

– Почему возникло затруднение. Да, верно, мы не можем найти гипотенузу.

Организует выявление места затруднения.

Организует фиксирование во внешней речи причины затруднения.

Диалог, направленный на формулирование проблемы.

– Смотрите, той информацией, которой мы обладаем недостаточно, чтобы решить задачу.

– Значит перед нами встаёт цель. Какая?

Проблема: как найти неизвестную сторону в прямоугольном треугольнике, если известны две другие стороны. (записать в тетрадь) (слайд 5)

Работают в парах по карточкам, сверяют ответы.

Отвечают на вопросы учителя.

Работают в парах.

Выявляют место затруднения.

Проговаривают причину.

-ответы учащихся: научиться находить стороны прямоугольного треугольника.

Записывают проблему в тетрадь.

Регулятивные: уметь слушать в соответствии с целевой установкой; уточнять и дополнять высказывания учащихся; проговаривать последовательность действий на уроке.

Коммуникативные: взаимодействовать с учителем и одноклассниками; оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

Познавательные: осуществлять актуализацию личного жизненного опыта; самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель;определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя

постановка и формулирование проблемы; самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Личностные: ответственно относиться к учению, осуществлять контроль над своей деятельностью.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Предлагает практическую работу. (на листах изображены треугольники и дана таблица, измерив стороны прямоугольного треугольника необходимо занести данные в таблицу) (слайд 6)

– Определите закономерность между длинами катетов и гипотенузы?

– Эту зависимость, в геометрии называют теоремой Пифагора. Сообщает обучающимся тему и цели урока, а также формы организации последующей деятельности. (слайд 7)

Гипотеза: если я буду знать теорему Пифагора, то смогу найти неизвестную сторону в прямоугольном треугольнике.

А теперь давайте попытаемся доказать этот факт.

– Достроим треугольник до квадрата…

– Как можно выразить площадь этого квадрата? Доказательство… (слайд 8 видео)

Комментирует доказательство.

– Исторический материал (Слайд 9)

Выполняют задание.

(сверяют с ответами на слайде)

Ответы учащихся.

Обучающиеся в тетрадях записывают число и тему урока.

Выдвигают гипотезу и записывают её в тетрадь.

Предлагают варианты доказательства.

Записывают доказательство в тетрадь.

Сообщение учащегося.

Регулятивные: уметь ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

разрешение конфликтов— выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

управление поведением партнера контроль, коррекция, оценка его действий;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мыслив соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Познавательные: общеучебные (самостоятельно выделять – формулировать познавательную цель); логические (формулировать проблему).

Личностные: ответственно относиться к учению, осуществлять контроль над своей деятельностью.

Динамическая пауза

(слайд 10)

Учащиеся выполняют.

Применение знаний и умений в новой ситуации.

Возвращаемся к нашей задаче. (слайд 11)

Теперь мы можем ее решить?

Раньше при строительстве получали прямой угол с помощью веревки, разделенной на

12 равных частей. У вас на столе лежат такие веревочки. Подумайте, как можно использовать эту веревку для построения прямого угла.

Слушает варианты ответов, выбирает наиболее близкий к правильному. (слайд 12)

Решение задач с проверкой результатов. (слайд 13)

В прямоугольном треугольнике известен катет a=9 см и гипотенуза c=41 см, найдите второй катет.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм использования теоремы Пифагора.

  • Рассмотреть прямоугольный треугольник;
  • Выяснить, что нужно найти, и что нам для этого дано;
  • Применить нужную формулу. (слайд 14)

Тест на закрепление (карточки).

Решают задачу. Отвечают на вопросы учителя.

Решают задачу, сообщают ответ.

Выполняют задание учителя.

Выдвигают свои варианты решений.

Решают старинные задачи.

Выполняют задание, сдают.

Познавательные: уметь извлекать из различных видов информации необходимую.

Личностные: проявлять инициативу при выполнении заданий; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, видеть математическую задачу в окружающей жизни, исправлять и дополнять ответы других учащихся, осуществлять контроль своей деятельности по эталону, строить логические рассуждения.

Регулятивные: уметь сличать (сопоставлять) способы действия и его результата с заданным эталоном, с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; сохранять самообладание при появлении затруднений в работе.

Личностные: ответственно относиться к учению; усилить мотивацию к обучению; проявлять инициативу при выполнении заданий.

Подведение итогов урока.

Давайте подведём итог нашей работы на уроке.

– Вспомним, какую цель мы с вами ставили?

– Достигли цели?

Все ли задачи мы выполнили?

– Какова была тема урока?

Отвечают на вопросы учителя.

Регулятивные: уметь слушать; принимать и сохранять учебную цель и задачи; дополнять ответы обучающихся; осуществлять контроль и взаимоконтроль. Коммуникативные: участвовать в обсуждении ответов во фронтальном режиме; принимать на слух ответы обучающихся; уметь формулировать собственное мнение и позицию.

Домашнее задание. Инструктаж по его выполнению.

(слайд 15) п. 63, 64 теоретический материал по учебнику, №7 (для всех);

по выбору

  • мини-сочинение на тему «Зачем нужна теорема Пифагора?»;
  • найти ещё одно доказательство теоремы Пифагора;
  • фронтон Большого театра в Москве имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (размеры приближены). Вычислите площадь фронтона;
  • даны отрезки a и b, а = 5 см, b = 7 см. Постройте отрезок

Записывают домашнее задание

Познавательные: выявлять существенную информацию из слов учителя.

Рефлексия. Подведение итогов.

У вас на столе лежат карточки, представьте, что это вы и закончите рисунок

1. Иду на урок

2. На уроке

3. После урока

Регулятивные: уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; констатировать необходимость продолжения действий; саморегуляция эмоциональных и функциональных состояний.

Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

ОТЗЫВ об уроке

Дата: 2018г. Класс: 8 Предмет: геометрия

Ф.И.О. преподавателя: Ронжина Екатерина Петровна

Тема: Теорема Пифагора. Египетский треугольник.

Форма урока: Формирование умения применять теорему Пифагора и соотношения сторон Египетского треугольника аналитически и практически.

Методическое обеспечение урока и средства обучения: мультимедийный проектор, экран, презентация, раздаточный материал для классной и самостоятельной работы, набор прямоугольных треугольников, веревка, карточки, бланки ответов.

Какие приемы используют преподаватель для формирования УУД: – личностные: самооценка, рефлексия (самоопределение); применение знаний о прямоугольном треугольнике в реальной ситуации (смыслообразование); – регулятивные: целеполагание (постановка учебной задачи); сличение результата деятельности с эталоном (контроль и коррекция); выдвижение гипотезы (прогнозирование); – познавательные: анализ объектов (логические); работа с текстом (поиск и выделение информации); – коммуникативные: учебная проблема (умение давать аргументированный ответ).

РЕЙТИНГ – АНАЛИЗ УРОКА

п/п

Критерии

Баллы

1

Целеполагание и мотивация обучающихся на предстоящую деятельность

3

2

Дидактическая цель урока реализована

4

3

изучаемого материала оптимально (научно, доступно)

4

4

Проблемный/исследовательский характер изложения учебного материала

2

5

Обучающиеся имели возможность выбора форм и средств работы, вариантов представления результатов

3

6

Были созданы условия для актуализации опыта обучающихся, их личностного общения

4

7

Занятие способствовало формированию ключевых компетенций:

в предметной области: умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать.

4

в области информационных технологий: умение самостоятельно искать, анализировать и отбирать необходимую информацию (работа с учебником, анализ видеозаписей)

4

в проектно-аналитической деятельности: умение ставить цель, задачи, анализировать степень достижения (целеполагание, самооценка, рефлексия)

3

в исследовательской деятельности: умение делать выводы из наблюдений и опытов (фронтальный опыт, демонстрационный опыт)

2

в плане продолжения образования и эффективного самообразования: коммуникативная компетенция (работа в парах, высказывание собственного мнения), формировании культуры мышления и поведения (частично-поисковый метод в ходе эвристической беседы)

4

8

Занятие способствовало развитию качеств личности:

коммуникативность, способность к эффективному общению, регулированию конфликтов

4

критическое мышление

3

креативность, установка на творчество

3

самостоятельность и ответственность

3

рефлексивность, способность к самооценке и самоанализу

3

толерантность, уважение к межкультурным и прочим различиям

2

9

Занятие способствовало расширению общекультурного кругозора

3

10

Занятие помогло обучающимся в ценностно-смысловом самоопределении

4

11

Обучающиеся получили помощь в решении значимых для них проблем

4

12

Педагог сумел заинтересовать обучающихся, владел аудиторией

4

13

Комфортность образовательной среды: интенсивность урока была оптимальной с учётом физических и психологических особенностей восьмиклассников.

4

14

Качество методического обеспечения (пособия, раздаточные материалы, материалы на электронных носителях и пр.) методы обучения и контроля адекватны возможностям обучающихся

4

15

Психологическая комфортность: благоприятный климат (доброжелательность, личностно-гуманное отношение к обучающимся)

4

Всего баллов:

82

Эксперт: Гусева О. Н., заместитель директора по учебной работе ФГКОУ «СОШ №154» ___________________

Директор ФГКОУ «СОШ №154» ____________Сорокина И. В.

Источник: https://infourok.ru/urok-po-geometrii-teorema-pifagora-egipetskiy-treugolnik-klass-3493577.html

Теорема, обратная теореме Пифагора. урок. Геометрия 8 Класс

Египетские треугольники все примеры. Египетский треугольник и обратная теорема пифагора

На данном уроке мы поговорим об истории изучения свойств прямоугольных треугольников и о возникновении такого понятия, как пифагоровы тройки. Затем будет сформулирована и доказана теорема, обратная теореме Пифагора, и рассмотрены примеры на ее применение.

Сперва вспомним саму теорему Пифагора.

Есть прямоугольный треугольник, угол  – прямой,  – гипотенуза,  и  – катеты (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Угол 90 градусов – наибольший в данном треугольнике. Наибольшая сторона – .

Квадрат длины наибольшей стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Перед нами иная ситуация. Мы не знаем, прямой угол  или нет. Но оказалось, что . Чему равен угол ? Что вообще мы можем сказать про такой треугольник?

Мы можем сказать, что сторона  – наибольшая. , .

Значит, угол  – наибольший. .

Если бы было иначе, то сумма всех углов была бы меньше 180 градусов. Но оказывается, угол  в точности равен 90 градусам. В этом смысл теоремы, обратной теореме Пифагора.

Формулировка теоремы: если квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Докажем эту теорему.

Дано:.

Доказать:.

Доказательство

Рис. 2. Доказательство теоремы

Построим прямоугольный треугольник  с катетами  и . Угол  – прямой (см. Рис. 2). ( ; ; ).

Такой треугольник существует. В этом прямоугольном треугольнике действует прямая теорема Пифагора, то есть: .

Но по условию: .

Отсюда следует, что . Значит, .

Выясняется, что треугольники равны друг другу по трем сторонам: .

Теорема доказана.

Примечание: мы сконструировали треугольник , в котором искомое свойство присутствует, и доказали, что треугольники равны, а значит, углы .

Дано: стороны треугольника  (см. Рис. 3).

Доказать: – прямоугольный.

Рис. 3. Треугольник

a) ; ;

;

 – прямой по обратной теореме Пифагора.

Это всем нам известный «египетский треугольник».

b) ; ;

; ;

Данный треугольник также является прямоугольным.

Мы привели примеры так называемых «пифагоровых треугольников». Это такие прямоугольные треугольники, у которых длины сторон являются натуральными числами.

Проверьте, что следующие треугольники к ним относятся: ;  – это частные примеры «пифагоровых треугольников».

А можно ли их описать в общем виде? Можно. Упомянем следующий факт:

,  – гипотенуза.

Пусть , ,  – натуральные числа, где .

По ним вычислили:

Как оказывается, треугольник с такими сторонами прямоугольный и он является «пифагоровым».

Приведем примеры.

1. ; ;

Получили известный нам «египетский треугольник»

2. ; ;

Получили тоже известный нам прямоугольный треугольник .

Прямую и обратную теорему Пифагора можно объединить в одну теорему. Она звучит так: треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4. Прямоугольный треугольник

Далее перейдем к задачам.

Дано:; ;  (см. Рис. 5).

Доказать: – прямоугольный.

Найти: его прямой угол.

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник прямоугольный.

Мы знаем, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. А если угол равен 90 градусов, то он наибольший, значит:

В   – высота (см. Рис. 6);

, , .

Найти: a) ; b) ; c) .

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

a)  – по прямой теореме Пифагора

b)  – по прямой теореме Пифагора

c) Проверим, является ли угол прямым, используя обратную теорему Пифагора

Значит, , лежащий против наибольшей из сторон равен 90 градусов.

В этой задаче использованы и прямая, и обратная теоремы Пифагора.

Итак, на этом уроке мы доказали обратную теорему Пифагора, закрепили ее решением задач.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9 классы – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт (Источник)

2. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «Помощь в математике» (Источник)

Домашнее задание

1. Диагонали параллелограмма равны 16 и 30 см, а сторона – 17 см. Докажите, что данный параллелограмм является ромбом.

2. Стороны треугольника равны 15, 20 и 25 см. Найдите медиану и высоту, проведенную к наибольшей стороне.

3. Найдите высоты треугольника, если его стороны равны 7, 24 и 25 см.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/ploschad/teorema-obratnaya-teoreme-pifagora

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий