Формула по которой можно найти площадь треугольника. Площадь треугольника – формулы и примеры решения задач

Площадь треугольника — формулы и калькулятор онлайн

Формула по которой можно найти площадь треугольника. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}, где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}, где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}, где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}, где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что {\dfrac{a + b + c}{2}} — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = {r \cdot p}, где p — полупериметр треугольника.

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}
{\gamma = 180 – (\alpha + \beta)}

Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}, где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

{\gamma = 180 — (\alpha + \beta)}

Площадь треугольника по формуле Герона

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}, где a, b — стороны треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}, где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}, где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S= r \cdot (r + c)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

{S= r \cdot (r+c)}, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S= c_{1} \cdot c_{2}}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

{S= c_{1} \cdot c_{2}}, где c1 и c2 — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S= (p-a) \cdot (p-b)}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

{S= (p-a) \cdot (p-b)}, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}, где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}, где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}, где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через сторону:

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}, где a — сторона треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}

Формула площади равностороннего треугольника через высоту:

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}, где h — высота треугольника.

Просмотров страницы: 168707

Источник: https://mnogoformul.ru/ploshhad-treugolnika-formuly-i-kalkulator-online

Площадь треугольника

Формула по которой можно найти площадь треугольника. Площадь треугольника - формулы и примеры решения задач

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Площади

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

ФигураРисунокФормула площадиОбозначения
Произвольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – сторона

Посмотреть вывод формулы

h – высота

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
= hactg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b = 2R sin B ,    
c = 2R  sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

      Доказательство.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.

  2. Рис. 11

    В силу утверждения 2

  3. Рассмотрим рисунок 12.

  4. Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

  5. Рассмотрим рисунок 13.

  6. Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

  7. Рассмотрим рисунок 14.

  8. Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

          Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqt.htm

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий