Геометрический и физический смысл производной примеры. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

10.3. Производная и ее геометрический смысл

Геометрический и физический смысл производной примеры. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх.

Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты.

Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х0+Δх) — f (x0).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое  –4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01.

Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) – f (x0).

  Так как у нас функция y=x2,  то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2×0 · Δx+(Δx)2— (х0)2=2×0 · Δx+(Δx)2=

=2 · · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1  → α = 45°,   так как  tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=xn.

Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же,  как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.

Вот эти формулы.     

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой “у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/10-klass-algebra/10-3-proizvodnaya-i-ee-geometritcheskiy-smsl.html

Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного

Геометрический и физический смысл производной примеры. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

  • сформировать понятия производной функции; рассмотреть физический и геометрический смысл производной; алгоритм нахождения производной; научить вычислять производную функции, используя данный алгоритм; познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, формировать умения применять полученные знания
  • развить умение логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение;
  • воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, повышать интерес к математике.

Литература

  • Ш.А.Алимов, Ю.М.Колянин, М.В.Ткачева, НЕ Федорова, М.И.Шабунин. Математика: алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов и др./-3-е изд.-М:Просвещение, 2016. -463с. (Глава VIII, §44, 46)
  • Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.-В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.Мордкович. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.- 400с. (Глава 5, §27, 28)
  • Н. И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук .Алгебра и начала анализа :учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений/Шкиль Н.И и др.;Пер. с укр.-К: Зодіак-еко, 2003 .-400с. (Глава 1 §9-10, 12)

СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Организационная часть Приветствие, проверка отсутствующих, задание дежурным, настрой группы на плодотворную работу. Проверка домашнего задания

Актуализация опорных знаний и мотивация научной деятельности

путем фронтальной беседы повторить понятие

  • Предел функции
  • Приращение аргумента
  • Приращение функции

Вопрос занятия

  1. Задачи, которые приводят к понятию производной

  2. Производная, ее геометрический и физический смысл

  3. Производная суммы/разности

  4. Производная произведения/частного

Подведение итогов: обобщение материала

Выдача задачи для самостоятельной работы студентов

Лекция № 3 (занятие №3)

Определение производной, ее геометрический и физический смысл

Геометрический и физический смысл производной примеры. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Вопросы занятия:

·     познакомиться с понятием производной;

·     познакомиться с геометрическим и физическим смыслом производной.

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Упражнение.

Давайте рассмотрим одну физическую задачу. Пусть ёжик движется по дорожке из домика. Домик будем считать точкой отсчёта и обозначим её точкой O. Единицей измерения выберем метр, и укажем направление движения ёжика.

Закон движения ёжика задан формулой S = s(t), где t – время (в секундах), S(t) – положение ёжика на дорожке (говоря математическим языком – координата движущегося ёжика) в момент времени t по отношению к началу отсчёта.

Давайте найдём скорость движения ёжика в момент времени t. Скорость будем измерять в м/с. В данном случае ёжика будем рассматривать как материальную точку.

Предположим, что в момент времени t ёжик находился в точке M, тогда OM= S(t).

Дадим аргументу t приращение и рассмотрим, где же окажется ёжик в момент времени t + Δt. Очевидно, что ёжик переместиться из точки M, например, в точку P.

Тогда отрезок OP равен S (t + Δt).

Значит, если за Δt секунд ёжик переместился из точки M в точку P, то отрезок MP равен OPOM, то есть разности S (t + Δt)S(t), то есть отрезок MP = ΔS метров, причём перемещение из точки M в точку P произошло за Δ t секунд. Давайте вычислим среднюю скорость движения ёжика за промежуток времени от t до t + Δt.

Прежде чем сформулировать вторую задачу, давайте определим такое понятие как «касательная к плоской кривой». При изучении функций в курсе алгебры базовой школы, мы уже встречались с термином касательная.

Например, мы говорили, что график функции y = x2 касается оси Ox в точке x = 0, то есть ось Ox является касательной к параболе в точке x = 0.

Однако возникает вопрос, что такое касательная? Казалось бы, все очень просто: касательная к графику функции – это такая прямая, которая имеет с графиком функции одну общую точку. Тогда почему нельзя назвать касательной ось Oy? Ведь с параболой эта ось тоже имеет только одну общую точку.

Давайте посмотрим, как же определить касательную.

Пусть дана кривая L, на ней выбрана точка M. Возьмём на ней ещё одну точку P, проведём секущую MP. Теперь давайте будем приближать точку P к точке M по кривой L.

Секущая MP будет менять своё положение, как бы поворачиваясь вокруг точки M.

Продолжая приближать точку P к точке M, мы достигнем такого положения прямой MP, которое будет предельным, эту прямую, которая является предельным положением секущей и называют касательной к кривой L в точке M.

Учитывая только что сформулированное определение, нетрудно доказать, что касательной к графику функции y = x2 в точке о будет ось Ox.

Теперь давайте рассмотрим задачу.

Пусть дан график функции y = f(x). На нем выбрана точка M(a; f(a)) и в этой точке к графику функции проведена касательная. Давайте найдём угловой коэффициент касательной.

Давайте дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку P с абсциссой a + Δx. Тогда ордината точки P равна f(a + Δx).

На прошлых уроках, мы говорили, что отношение приращения функции к приращению аргумента – это угловой коэффициент прямой, то есть угловой коэффициент секущей MP равен отношению Δy к Δx. Еcли же Δx стремиться к нулю, то точка P начнёт приближаться к точке M по графику функции.

Поскольку предельное положение секущей – это касательная, то получим, что угловой коэффициент касательной к графику функции равен пределу углового коэффициента секущей при Δx стремящемся к нулю.

Подставляя вместо углового коэффициента секущей формулу, получим, что угловой коэффициент касательной равен пределу отношения Δy к Δx, при Δx стремящемся к нулю.

Однако, стоит заметить, что не все касательные имеют угловой коэффициент. Например, если касательной к графику функции в точке является прямая x = a, то угловой коэффициент этой касательной не существует.

Итак, сегодня мы рассмотрели две задачи, в результате решения которых получили оду и туже формулу – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Мы рассмотрели всего две задачи, однако при решении задач из других областей науки, например, экономики, химии, приходят к этой же формуле.

Определение.

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку x0. Дадим аргументу приращение Δx такое, чтобы не выйти из этого интервала.

Найдём соответствующее приращение функции Δy, при переходе от точки x0 к точке x + x0 и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функцииy = f(x) в точке x0 и обозначают f'(x0).

Для обозначения производной часто используют символ y'.

Отметим, что y' = f'(x) – это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определённая во всех точках x, в которой существует указанный выше предел.

Эту функцию называют производная функции y = f(x).

На предыдущих уроках мы нашли производные некоторых функций.

Учитывая, введённые понятия и определение можно сказать, что рассмотренные нами задачи показывают физический и геометрический смысл производной.

Физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Давайте сформулируем алгоритм нахождения производной функции

y = f(x).

Давайте рассмотрим данный алгоритм на примере.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Если функция y = f(x) имеет производную в точке x, то её называют дифференцируемой в точке x. Процедуру нахождения производной функции y = f(x) называют дифференцированием функции y = f(x).

Давайте теперь попробуем найти связь между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции в точке.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x.

Тогда, пользуясь геометрическим смыслом производной, в точке M (x; f(x)) можно провести касательную, причём, угловой коэффициент этой касательной равен f'(x). То есть в точке Mне может быть разрыва, то есть функция y = f(x) непрерывна в точке икс.

Сформулируем это более строго. Если функция y = f(x)дифференцируемав точке x, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение не верно. Примером этого может служить функция y = │x. Эта функция непрерывна везде, в том числе и в точке x = 0, но касательной в точке x = 0 существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

А теперь давайте попробуем ответить на вопрос: можно ли по графику функции сделать вывод по её дифференцируемости?

Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функциянедефференцируема.

Например.

Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решений задач на проведение касательных к кривым, на вычисление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Ряд задач дифференциального исчисления был решён ещё в древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной.

Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя.

Аполлоний – к эллипсу, гиперболе и параболе.

Но общего метода, пригодного для построения касательной к любой кривой плоскости в произвольной её точке найдено не было.

Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном. Ньютон пришёл к понятию производной исходя из вопросов механики.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования.

Термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста. Этим термином стал пользоваться Лагранж, который и ввёл обозначения y' и f'(x).

Источник: https://videouroki.net/video/38-opriedielieniie-proizvodnoi-ieie-ghieomietrichieskii-i-fizichieskii-smysl.html

Производная функции. Геометрический смысл производной

Геометрический и физический смысл производной примеры. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку  с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке  равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

.

Величина  в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке  функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол  с положительным направлением оси . Значит, в точке  производная положительна.

В точке  наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол  с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке  производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках  (точка максимума) и  (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка  — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке  с «плюса» на «минус».

В точке  — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастаетточка максимумаубываетточка минимумавозрастает
+00+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке  касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки  функция возрастала — и после точки  продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/proizvodnaya-funkcii-geometricheskij-smysl-proizvodnoj/

Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной. урок. Алгебра 10 Класс

Геометрический и физический смысл производной примеры. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

На уроке изучается тема «Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной». На этом занятии вы узнаете, что представляет собой производная и какое место она занимает в геометрии и физике. На  примерах разбирается алгоритм нахождения производной.

Тема: Производная

Урок: Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую  (см. рис.1), где

 независимая переменная или аргумент (время),

 – зависимая переменная или функция (расстояние),

 – закон или правило, по которому каждому значению  ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени  (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону  , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние –  . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться  – это  .

Рис. 2. Секущая к графику функции .

 – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) – . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси   под углом .

 – секущая,  – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник  (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол –  угол  наклона секущей. Один из катетов – это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина  называется  – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

.

Рассмотрим отношение  , где  – приращение функции,  – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения  .

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения   .

С другой стороны отношение катета  к катету  – это тангенс угла  – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения   – это тангенс угла наклона секущей  .

Пусть . Понятно, что и . Точка  будет стремиться к точке , а положение секущей  будет стремиться занять положение касательной в точке  к кривой   (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную,  – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение   зависит только от величины .

Если отношение    при  стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции  в точке  и обозначается .

Определение. Производной функции  в точке  называется число, к которому стремится разностное соотношение    при .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при  разностного отношения  , если он существует, называется производной функции в точке  и обозначается .

, где  – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где  – угол наклона касательной к кривой  в точке с абсциссой .

Для того чтобы найти  нужно:

1) Задать приращение  – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции  или .

2) Найти разностное соотношение  , упростить его и сократить на  .

3) Если отношение   при  стремится к какому-то числу, то это число будет .

Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия: приращение аргумента и приращение функции.

Также были рассмотрены события, когда приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение   имеет смысл физический – это средняя скорость за время  и геометрический смысл – это тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят, когда .

Если , тогда и  , и секущая стремится занять положение касательной. Если разностное отношение    при  стремится к некоторому числу, то это число называется производной функции  в точке .

Физический смысл производной в момент  – это мгновенная скорость в момент , а геометрический  – это тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой . Рассмотрен алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую точку .

Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции. Надо разделить   на  и упростить это отношение так, чтобы сократился , и то, что получится при стремлении к нулю будет называться производной функции в конкретной точке . Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на следующем уроке.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).  

Сделай дома

№ 39.40 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/proizvodnaya/opredelenie-proizvodnoy-eyo-fizicheskiy-i-geometricheskiy-smysl-algoritm-nahozhdeniya-proizvodnoy

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий