График функции 1 cos x. Свойства функции y=cos(x). Ее график

Свойства функции y=cos(x). Ее график

График функции 1 cos x. Свойства функции y=cos(x). Ее график

y

x

0

– π

π

– 2 π

2 π

Автор работы:

учитель математики и информатики

МБОУ СОШ №48 ст. Черноерковской

Кармазин Андрей Андреевич

Свойства функции

  • 1.D(y)
  • 2.E(y)
  • 3. Четность функции
  • 4. Периодичность функции
  • 5.Нули функции
  • 6. Наибольшее значение
  • 7. Наименьшее значение
  • 8. Положительные значения
  • 9. Отрицательные значения
  • 10. Возрастание функции
  • 11. Убывание функции

y

y = cos x

1

D (y)

x Є R

x

0

– 1

– 3 π / 2

– π / 2

2 π

3 π / 2

π

π / 2

x

– π

0

3

y

y = cos x

1

[ -1; 1]

E (y)

0

x

y

– 1

1

– 3 π / 2

3 π / 2

– π

2 π

x

0

π / 2

π

– π / 2

– 1

3

y = sin x

y

1

Четность функции

Функция четная , т.к. cos (-x)=cos x,

график симметричен относительно оси Oy

0

x

– 1

y

1

π

– 3 π / 2

– π

3 π / 2

x

0

π / 2

2 π

– π / 2

– 1

y

y = cos x

1

Периодичность функции

0

x

Период функции Т=2 π ,

cos (x+ 2 π )=cos x

– 1

y

1

– π / 2

– π

– 3 π / 2

3 π / 2

π

π / 2

0

x

2 π

– 1

y

y = cos x

1

Нули функцииcos x = 0

0

x

при x = π /2 + π k

y

– 1

1

π / 2

– 3 π / 2

π

– π / 2

x

0

2 π

3 π / 2

– π

– 1

y

y = cos x

1

– 1

Наибольшее значениеcos x =1

0

x

при х= 2 π k

y

1

– 3 π / 2

– π / 2

x

2 π

3 π / 2

π / 2

0

π

– π

– 1

y = cos x

y

– 1

1

Наименьшее значениеcosx =-1

x

0

при х= π +2 π k

y

х= 3 π /2

1

– π / 2

– π

– 3 π / 2

2 π

3 π / 2

π / 2

0

x

π

– 1

Построение графика функции

y

y = cosна отрезке

cos(0 )=1

x

cos( π/4)  0,7

y

cos( π/3)  0,5

1

– 3 π / 2

π / 2

π

3 π / 2

2 π

x

0

– π

– π / 2

– 1

10

График функции на отрезке

y

у= cos x

x

y

x

– 3 π / 2

0

3 π / 2

– π

– π / 2

π / 2

π

10

y

y = cos x

x

y

1

x

π / 2

– 3 π / 2

2 π

π

– π

– π / 2

0

3 π / 2

– 1

10

Y=cos x

y = cos x

График функцииy=cos xназывается синусоида

y

1

2 π

x

0

π / 2

3 π / 2

5 π / 2

π

-2 π

– 3 π / 2

– π

– π / 2

– 1

0 x + на отрезке (- π /2+2 π k; π /2+2 π k) , k y 1 2 π 3 π / 2 π – π / 2 – π – 3 π / 2 π / 2 x 0 – 1 ” width=”640″

Промежутки знакопостоянства

y

y = cos x

+

Положительные значенияcos x0

x

+

на отрезке (- π /2+2 π k; π /2+2 π k) ,

k

y

1

2 π

3 π / 2

π

– π / 2

– π

– 3 π / 2

π / 2

x

0

– 1

y

Промежутки знакопостоянства

.

y = cos x

Отрицательные значенияcos x

x

k

на отрезке ( π /2+2 π k; 3 π /2+2 π k) .

y

1

2 π

3 π / 2

π

– π / 2

– π

– 3 π / 2

π / 2

x

0

– 1

Промежутки возрастания

y

y = cos x

Функция возрастает

x

на отрезке [- π +2 π k; 2 π k]

y

1

π

– π

x

– 3 π / 2

– π / 2

0

2 π

π / 2

3 π / 2

– 1

Промежутки убывания

y

y = cos x

x

Функция убывает

на отрезке [ 2 π k; π +2 π k]

y

1

– π / 2

– 3 π / 2

– π

2 π

3 π / 2

x

π / 2

0

π

– 1

cos 3 . ” width=”640″

Задача

Сравнить числаcos 2иcos 3

Так как = 3,14, , то

  • Так как = 3,14, , то
  • Так как = 3,14, , то

Из графика видно, что на отрезке функция у= cos х убывает.

Ответ: cos 2 cos 3 .

Упражнения

Пользуясь свойствами функции у = cos x , сравните числа:

cos 100 0 и cos 130 0

Расположить в порядке возрастания числаcos 1.9;cos 3;cos(-1);cos(-1.5).

Числа cos 1.9 и cos 3 положительны , так как точки Р(1,9) и Р(3) находятся в1четверти . Функция у= cos х в 1 четверти убывает. cos 3

Числа cos(-1) и cos(-1.5) отрицательны , так как точка Р(-1) и Р(-1,5) находятся в 3четверти .

Функция у= cos х в 3 четверти возрастает.

cos(-1) cos(-1.5)

Ответ:

Таким образом, в порядке возрастания эти чила располагаются так:

cos(-1.5);cos(-1);sin 3;cos 1.9.

Преобразование графика

Сдвиг вдоль оси ординат

y = cos x

y = cos x+ 3

Построить график функции у= cos х+ 3

3

y = cos x

+

вверх

y = cos x

Построить график функции у= sin х-3

y = cosx– 3

-3

вниз

Сдвиг вдоль оси абсцисс

Построить график функции у= cos (х – )

y = cosx

+

Сдвиг влево

y = cos(x– )

Построить график функции у= cos (х+ )

y = cos(x+ )

y = cos x

Сдвиг вправо

1 растяжение y = cos x Построить график функции у= 1/ 3 cos х у = 1/3 cos x 0 сжатие ” width=”640″

Сжатие и растяжение к оси абсцисс

Построить график функции у= 3 cos х

y= 3cos x

y = cos x

K 1

растяжение

y = cos x

Построить график функции у= 1/ 3 cos х

у = 1/3cos x

0

сжатие

1 сжатие y = cos x Построить график функции у = cos y = cos 0 растяжение ” width=”640″

Сжатие и растяжение к оси ординат

Построить график функции

у = cos 2 х

y=cos

K 1

сжатие

y = cos x

Построить график функции

у = cos

y=cos

0

растяжение

У

y = cos x

х

  • При каких значениях х функция у= cos x принимает значение, равное 0? 1? -1?
  • Может ли функция у= cos x принимать значение больше 1, меньше -1?
  • При каких значениях х функция у= cos x принимает наибольшее (наименьшее) значение?
  • Каково множество значений функции у= cos x?

Список используемых источников

  • Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 классов, общеобразовательных учреждений. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, и др…, «Просвещение», М.: 2010 год.

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/svoystva-funktsii-ycosx-ee-grafik.html

Функция у=cos x, ее свойства и график

График функции 1 cos x. Свойства функции y=cos(x). Ее график

МБОУ СОШ № 129

Тел ОУ: 8-(987) 477-12-24

Тема: «Функция у = cos x, ее свойства и график»

Чугаева Олеся Алексеевна

Должность: учитель математики

Домашний адрес: г. Уфа, ул Ушакова 90/1, (8347) 263-04-95

Уфа – 2016

Тема урока: Функция у = cos x, ее свойства и график.

Математика (10 класс)

Учебник: алгебра и начала анализа 10-11 А. Г. Мордкович

Учитель: Чугаева Олеся Алексеевна, МБОУ Школа № 129.

Тип урока: “открытие” нового знания.

Основные цели: формировать способность построения нового понятия и нового алгоритма, на примере функции у= sin x; повторить формулы приведения значения тригонометрических функций, повторить свойства и график функции у=sin x, познакомить учащихся с функцией y = cos x, рассмотреть график функции y = cos x и сформулировать ее свойства. Развивать умения, анализировать, применять имеющие знания у учащихся в изменённой ситуации.

Ход урока.

  1. Самоопределение к деятельности (орг. момент).

Цель: включение учащихся в деятельность на личностно- значимом уровне.

«Хочу, потому что могу».

Время 1-2 минуты:

– Здравствуйте, ребята! Вспомните, какие темы были на прошлых уроках? (Мы рассматривали формулы приведения, изучили функцию у=sin x, рассмотрели ее свойства и график.)

– Как называется, глава, в которую входят названные темы? (Тригонометрия. Тригонометрические функции.)

– Что изучает тригонометрия ( раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их применение к решению задач)

– Хорошо! Сегодня мы продолжим заниматься изучением тригонометрических функций, познакомимся с функцией y = cos x, рассмотрим график функции y = cos x и сформулируем ее свойства.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

Время 4-5 минут;

  1. Расставьте в порядке возрастания: cos , tg , sin . (Через некоторое время, один из учащихся приглашается к доске, записывает решение и ответ)

Решение:

cos = cos () = cos =

tg = tg () = – ctg = –

sin = sin ( ) = – sin = –

Ответ: tg , sin , cos .

Вопросы классу:

-Ребята, что помогло нам, решить эту задачу?

-Использование формул приведения.

-А, могли бы мы, решить задачу не используя формулы приведения?

-Да, ноформулы приведения тригонометрических функций упрощают вид формул и помогают совершать преобразования, приводящие к более простым выражениям.

Или Формулы приведения, дают возможность находить численные значения тригонометрических функций углов, превышающих 90°.

-Ребята, а помните ли вы, с графиком какой функции мы познакомились с вами на прошлом уроке?

С графиком функции у=sin х.

Как называют линию, которая служит графиком функции y=sin х?

Линию которая служит графиком y=sin x, называют синусоидой.
Синусоида – плоская прямая, изображающая изменения синуса в зависимости от изменения угла.

А знаете ли вы что, если взять свечку, и обернуть её несколько раз листом бумаги, а затем перерезать её наклонно ножом, то разняв обе половины свечи и развернув бумагу, получим кривую линию которую называют – СИНУСОИДОЙ. Наиболее часто синусоида встречается в графиках(колебание груза на пружине, колебание маятника, колебание переменного тока)

Давайте посмотрим, ролик который называется «Колбасная синусоида»(на мультимедийном проекторе)
А теперь, я предлагаю вам записать свойства функции y=sin x и самим построить её график используя ее свойства.

Ученик записывает свойства и строит график.

  1. D (f) = (- ; + )

  2. y=sin x-нечётная функция так как y(-x)=sin(-x)=-sin x=-y(x)

  3. Функция y=sin x возрастает на любом отрезке

4. Функция y=sin x ограничена сверху и снизу -1 5. y наименьшее = -1, y наибольшее=16. y=sin x – непрерывная функция

7. Е(y) = [ – 1;1]


Скажите ребята, как вы думаете, какой из русских пословиц наиболее соответствует график функции y=sin x и почему?1.Чем дальше в лес, тем больше дров.2.Дальше кумы, меньше греха.3.Кашу маслом не испортишь.4.Выше меры конь не скачет.5.Пересев хуже недосева.

ОТВЕТ ученика: №4, у графика функции у=sin x, тоже есть своя мера, выше которой волна синусоиды не поднимется. В этом одно из 2-х свойств точной верхней грани – 1. Но есть у значения Sin x и точная нижняя грань – минус 1.

  1. Постановка учебной задачи.

  • Ребята, а сейчас я предлагаю вам построить график функции у=соs x.

Предложенное задание может у многих учащихся вызвать затруднение, т.к. раньше они не сталкивались с подобными задачами.

– Почему задача вызвала затруднение у многих ребят? (Мы раньше не решали такие задачи).

– На прошлых уроках мы уже строили график одной из тригонометрических функций, чем эта задача отличается от тех, которые мы решали раньше? (В этой задачи появились новая функция соs x.).

– Сформулируйте цель урока? (Научиться строить график функции у= соs x).

– Какова тема урока? (Функция y= cos x, ее свойства и график).

  1. «Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения).

Как вы думаете, а как изменится график функции y = sin x, если функция задана в виде: y = sin (x+ П/2) ?

Ученик. Нужно построить график функции y = sin x и сдвинуть на П/2 относительно оси Х влево.

Ученик. А если, воспользоваться формулой приведения, то мы получим график функции у=cosx !!!

Молодцы, ребята. Я предлагаю вам, построить график функции y=cos x и по графику записать свойства графика этой функции.

V. Первичное закрепление во внешней речи.

Ученик у доски выполняет построение проговаривая решение.

Другой ученик и записывает свойства функции используя график.

1.D(f) = (- ; + )2. y = cos x – четная функция, так как y(-x)=cos(-x)=cos x=y(x)3. y=cos x убывает [1;П], возрастает [П;2П]4. функция ограничена сверху и снизу -1 5. y наименьшее = -1, y наибольшее = 1 6. y = cos x – непрерывная функция

7. E(y) = [ – 1 ; 1 ]

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Самоанализ и

самоконтроль.

Цель: каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.

Время 4-5 минут;

Я предлагаю вам выполнить самостоятельно, по вариантам следующие примеры:

1 вариант: 2 вариант:

VII. Включение нового знания в систему знаний и повторение.

Пример: Решить графически уравнения а) sin x – x = 0

Х = 0

Ответ: 0.

б) cos x – 2 x = 1.

Первое уравнение решает ученик, второе уравнение помогает выполнить учитель.

VIII. Рефлексия деятельности (итог урока).

Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса.

Время 2-3 минуты;

– С какой функцией мы познакомились сегодня на уроке? (Сегодня на нашем уроке мы познакомились с функцией у = соs x, ее графиком и свойствами).

– Что помогло нам при построении графика функции у= соs x? (Формулы приведения).

– Что мы повторили сегодня? (обобщили и закрепили ваши знания, умения и навыки в работе с формулами приведения; тригонометрическими функциями y= cos x, y = sin x; повторили свойства функции у= sin x; строили графики функций; решали уравнение графическим способом).

– Проанализируйте свою работу на уроке.

Д/з: Придумать два тригонометрических уравнения и решить их графическим способом.

Используемая литература:

  1. Учебник по алгебре и началам анализа 10-11 А. Г. Мордкович 2009 г.

  2. http://images.yandex.ru/yandsearch (рисунки графиков)

  3. Пословицы http://www.konokrad.ru/poslovica/pro-konei/26-vishe-meri-i-kon-ne-skachet.

  4. http://pikabu.ru/story/kolbasnaya_sinusoida_305798 ролик «Колбасная синусоида»

Источник: https://multiurok.ru/files/funktsiia-u-cos-x-ieie-svoistva-i-ghrafik-1.html

Функция y = cos x. Ее свойства и график – презентация, доклад, проект

График функции 1 cos x. Свойства функции y=cos(x). Ее график
Слайд 1
Описание слайда:

Функция y = cos x Ее свойства и график

Слайд 2
Описание слайда:

Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.

Слайд 3
Описание слайда:

Построение графика Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок -1; 1. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.

Слайд 4
Описание слайда:

Как использовать периодичность и четность при построении Так как функция периодическая с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2, например на отрезке -  х  ; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2n, nZ, график будет таким – же.

Слайд 5
Описание слайда:

Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0;  и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY.

Слайд 6
Описание слайда:

Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2, 4 и т.д. вправо, на -2, -4 и т.д. влево, т.е. вообще на 2n, nZ.

Слайд 7
Описание слайда:

Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке 0; .

Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке 0; .

Например, функция y = cos x возрастает на отрезке -; 0, так как она убывает на отрезке 0;  и является четной. Перечислим основные свойства функции y = cos x.

Слайд 8
Описание слайда:

Для этого нужно вспомнить Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций; Какие функции называются периодическими и как найти период функции; Какие функции называются четными (нечетными); Когда функция возрастает (убывает); Как найти нули функции; Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения; Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.

Слайд 9
Описание слайда:

Область определения Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки 1; 0 на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x.

Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x.

Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Слайд 10
Описание слайда:

Множество значений Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е.

установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a|  1, и не имеет корней, если |a| > 1.

Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1  у  1.

Слайд 11
Описание слайда:

Периодичность Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число Т  0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом функции.

Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2)=sin x, cos(x + 2)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2.

Такие функции называются периодическими с периодом 2.

Слайд 12
Описание слайда:

Четность, нечетность Функция y = f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ординат. Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат.

Слайд 13
Описание слайда:

Возрастание, убывание Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е.

если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2 (x1 < x2). Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е.

если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2 (x1 > x2).

Слайд 14
Описание слайда:

Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольшее значения. Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные: нулю; положительные; отрицательные; наименьшее; наибольшее,

Слайд 15
Описание слайда:

Свойства функции y = cos x Область определения: D(f): х  R; Множество значений: у  [-1;1]; Периодичность: Т = 2; Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат; Функция возрастает при: +2n  x  2(n+1), nZ; Функция убывает при: n  x   + 2n, n  Z.

Слайд 16
Описание слайда:

Свойства функции y = cos x (продолжение) Функция принимает значения: Равные нулю при х=/2+n, nZ; Положительные при -/2+2n  x  /2+2n, nZ; Отрицательные при /2+2n  x  3/2+2n, nZ; Наибольшее, равное 1, при x = 2n, n  Z; Наименьшее, равное –1, при x =  + 2n, n  Z.

Слайд 17
Описание слайда:

Преобразование графика функции y = cos x Изменение функции y = cos x + A y = k · cos x y = – cos x y = cos x 

Слайд 18
Описание слайда:

y = cos x + A Параллельный перенос графика функции у = соs x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А > 0 и на А  единиц вниз, если А < 0. Например: y = cos x + 2; y = cos x – 1.

Слайд 19
Описание слайда:

y = cos x + A (свойства) Изменяются множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos x + 2. E (f): cos x + 2 = a  cos x = a – 2, т.к. – 1  y  1, то –1  а – 2  1  1  а  3, т.е. y  1; 3.

Нули функции: cos x + 2 = 0  cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2|  1  график данной функции не пересекает ось абсцисс. f (x) > 0: при любом значении х. f (x) < 0: нет. y (наиб) = 3, при: x = 2n, n  Z (т.к. cos x + 2 = 3  cos x = 1  x = 2n, n Z). y (наим) = 1, при: x =  + 2n, n Z (т.к.

cos x + 2 = 1  cos x = – 1  x =  + 2n, n  Z).

Слайд 20
Описание слайда:

y = k · cos x Растяжение графика функции у = соs x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k > 0 и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1. Например: y = 3 • cos x; y = 0,5 • cos x.

Слайд 21
Описание слайда:

y = k · cos x (свойства) Изменяется множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения. Например: y = 3 • cos x E (f): 3•cos x = a  cos x = a/3, т.к. – 1  y  1, то – 1  a/3  1  – 3  a  3, т.е. y  -3; 3.

Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x = 2n, n  Z (т.к. 3cos x = 3  cos x = 1  x = 2n, n  Z). Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x =  + 2n, n  Z (т.к.

3cos x = – 3  cos x = – 1  x =  + 2n, n  Z).

Слайд 22
Описание слайда:

y = – cos x Симметричное отражение графика функции y = cos x относительно оси абсцисс.

Слайд 23
Описание слайда:

y = – cos x (свойства) Изменяются промежутки возрастания (убывания); промежутки положительных (отрицательных) значений.

Функция возрастает на отрезке 0;  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Функция убывает на отрезке ; 2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Функция принимает положительные значения на интервале (/2; 3/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n = 1, 2… Функция принимает отрицательные значения на интервале (- /2; /2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n = 1, 2…

Слайд 24
Описание слайда:

y = | cos x | Часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

Слайд 25
Описание слайда:

y = |cos x| (свойства) Изменяются: множество значений функции; период; промежутки возрастания (убывания); наибольшее (наименьшее) значение.

E (f): y [ 0; 1] Периодичность: Т =  Функция возрастает на промежутке (/2; )+ сдвиги на n, nZ Функция убывает на промежутке (0; /2) + сдвиги на n, nZ f (x) > 0: при любом значении х f (x) < 0: нет y (наиб) = 1, при х = 2n, nZ y (наим) = 0, при х = /2 + n, nZ

Слайд 26
Описание слайда:

y = cos (x – a) Параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на а единиц вправо, если а > 0, на а  единиц влево, если а < 0. Например: y = cos ( x - /2 ); y = cos ( x +/4 ).

Слайд 27
Описание слайда:

y = cos (x – a) (свойства) Изменяются: четность; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos (x + /4) Четность: f (x)  f (-x)  -f (x), т.к.

cos (-(x + /4)) = cos (-x – /4) Функция возрастает на [ 3/4; 11/4] + сдвиги на 2n, nZ Функция убывает на [-/4; 3/4 ]+ сдвиги на 2n, nZ f (x) =0 при х = /4 +n, nZ f (x) > 0 при х (-3/4; /4) + сдвиги на 2n, nZ f( (x) 1 , и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1. Например: y = cos 3x; y = cos 0,5x.

Слайд 29
Описание слайда:

y = cos ( k · x ) (свойства) Изменяются: период; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos 3x Период: Т = 2/3, (т.к.

наименьший положительный период функции y = cos x равен 2, то 3Т = 2  Т = 2/3). Функция возрастает на /3; 2/3 + сдвиги на 2n/3, nZ. Функция убывает на 0; /3 + сдвиги на 2n/3, nZ. f (x) = 0 при х = /6 + n/3.

f (x) > 0 при х (-/6; /6) + сдвиги на 2n/3, n  Z. f (x) < 0 при х (/6; /2) + сдвиги на 2n/3, n  Z.

Слайд 30
Описание слайда:

y = cos ( – x ) Симметричное отражение относительно оси абсцисс.

Слайд 31
Описание слайда:

y = cos (-x) (свойства) В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos (-x) = cos (x)  все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos (-x)

Слайд 32
Описание слайда:

y = cos | x | Часть графика, расположенная в области х  0, остается без изменения, а его часть для области х  0 заменяется симметричным отображением относительно оси ординат части графика для х  0.

Слайд 33
Описание слайда:

y = cos|x| (свойства) В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos |x| = cos (-x) = cos (x)  все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos |x|

Слайд 34
Описание слайда:

y = 3 · cos x – 2 Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный перенос графика y = 3•cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз).

Слайд 35
Описание слайда:

Свойства функции y = 3 · cos x – 2 Область определения: D(f): х  R; Множество значений: y  [- 5; 1], т.к. –1  cos x  1  – 3  3cos x  3  – 5  3cos x – 2  1; Периодичность: Т = 2; Четность: четная, т.к.

3сos (-x) –2 = 3cos x – 2  график функции симметричен относительно оси OY; Возрастает: на отрезке [; 2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2; 3…; Убывает: на отрезке [0;  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3…

Слайд 36
Описание слайда:

y = 3 – 2 · cos (x + /2) Построим график функции y = cos x; Построим график функции y = cos (x + /2)(параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на /2 единиц влево); Построим график функции y = 2cos(x + /2)(растяжение графика функции y = cos(x + /2) вдоль оси OY в 2 раза); Построим график функции y = – 2cos(x + /2)(симметричное отражение графика функции y = 2cos (x + /2) относительно оси OX); Построим график функции y = 3 – 2cos (x + /2) (параллельный перенос графика функции y = – 2cos (x + /2) вдоль оси OY на 3 единицы вверх).

Слайд 37
Описание слайда:

Свойства функции y = 3 – 2 · cos (x + /2) Область определения: D(f): x  R; Множество значений: y   1; 5, т.к. –1  cos (x + /2)  1  –2  2cos (x + /2)  2  1  3 – 2cos (x + /2)  5; Периодичность: Т = 2; Четность: ни четная, ни нечетная, т.к.

у(-х)  у(х)  -у (х) (график не симметричен ни оси OY, ни началу координат ) Возрастает: на 3/2; 5/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Убывает: на /2; 3/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Функция принимает значения равные: нулю: нет (уравнение 3 – 2cos( x + /2) = 0 не имеет корней т.к.

|- 3/2| > 1); положительные: при любом х; наибольшее, равное 5: при x = /2 + 2n, n  Z. наименьшее, равное 1: при х = – /2 + 2n, n  Z.

Источник: https://myslide.ru/presentation/funkciya-y--cos-x-ee-svojstva-i-grafik

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий