Изображение параллельных прямых. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. урок. Геометрия 10 Класс

Изображение параллельных прямых. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.

В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

Рис. 1.

Теорема 1.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а,  (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a,

Рис. 2.

Доказательство:

Через прямую а и точку  , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α  можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Рис. 3.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β  проходит через точку M и прямую а.

Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают.

Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано:  а || b,

Доказать:

Рис. 4.

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости  α..

          Докажем, что N  – это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

Теорема 2.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

 Доказать: .

Рис. 5.

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α.

Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие.

То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник).

2. Scholo.ru (Источник).

3. Шпаргалки (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

3. Прямая пересекает прямые AB и BC под прямыми углами. Параллельны ли прямые  AB и BC?

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задания 1, 2 стр. 21

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnye-pryamye-v-prostranstve-parallelnost-treh-pryamyh

Параллельные прямые

Изображение параллельных прямых. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Параллельные прямые…Прежде всего: что это такое?

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Вот, как рельсы

Принято обозначение:

  – читается как   параллельна  .

Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

Аксиома параллельных прямых

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Смотри: через любую точку   проходит только одна прямая  , которая параллельна  , все остальные будут пересекать прямую  .

Казалось бы: чего проще – ну , одна так одна… Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.

В конце концов , уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

  1. Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
  2. А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)

Получается куча углов. Целых   штук.

Приняты такие названия этих углов:

  и   называются внутренними накрест лежащими углами   и   – тоже внутренние накрест лежащие углы.

Название говорит само за себя:   и  , так же, как и   и   лежат «накрест» – по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми   и  .

  и   (а еще   и  ) называются внутренними односторонними углами. Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми   и  .
  и   (а еще   и  ) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

Это пары углов:

Обрати внимание,   и   лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек   и  . То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если  , то что?

И вот что:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:
  • Внутренние накрест лежащие углы равны
  • Соответственные углы равны
  • Сумма любых двух внутренних односторонних равна  

Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые – параллельны?

Если две прямые (  и  ) пересечены третьей и оказалось, что
  • Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны ИЛИ
  • Какие нибудь два соответственных угла равны ИЛИ
  • Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна   ИЛИ
  • Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна  ,

то прямые   и   – параллельны

Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.

Смотри-ка, вот схема:

Параллельные прямые. коротко о главном

Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали:  .

Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые:  .

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

  •   и  ,   и   – внутренние накрест лежащие углы;
  •   и  ,   и   – внутренние односторонние углы;
  •   и  ,   и   – внешние односторонние углы;
  •   и  ,   и  ,   и  ,   и   – соответственные углы.

Свойства параллельных прямых:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • внутренние накрест лежащие углы равны:  ,  ;
  • соответственные углы равны:  ,  ,  ,  ;
  • сумма любых двух внутренних односторонних углов равна  :  ,  ;
  • сумма любых двух внешних односторонних углов равна  :  ,  .

Признаки параллельных прямых:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/parallelnye-pryamye-1

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

Изображение параллельных прямых. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия
Прямая, плоскость, их уравнения

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых.

Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Параллельные прямые – основные сведения

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать аb.

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b, а также, что прямая b параллельна прямой a.

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

К началу страницы

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых.

Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых.

То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7-9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п.

Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве.

Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

К началу страницы

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то прямую линию в этой системе координат определяет уравнение прямой на плоскости некоторого вида. Аналогично прямую линию в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задают некоторые уравнения прямой в пространстве.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Начнем с условия параллельности двух прямых на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. В основе его доказательства лежит определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой на плоскости.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Очевидно, условие параллельности двух прямых на плоскости сводится к условию коллинеарности двух векторов (направляющих векторов прямых или нормальных векторов прямых) или к условию перпендикулярности двух векторов (направляющего вектора одной прямой и нормального вектора второй прямой).

Таким образом, если и – направляющие векторы прямых a и b, а и – нормальные векторы прямых a и b соответственно, то необходимое и достаточное условие параллельности прямых а и b запишется как , или , или , где t – некоторое действительное число.

В свою очередь координаты направляющих и (или) нормальных векторов прямых a и b находятся по известным уравнениям прямых.

В частности, если прямую a в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает общее уравнение прямой вида , а прямую b – , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и соответственно, а условие параллельности прямых a и b запишется как .

Если прямой a соответствует уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямой b – , то нормальные векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности этих прямых примет вид .

Следовательно, если прямые на плоскости в прямоугольной системе координат параллельны и могут быть заданы уравнениями прямых с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты прямых будут равны.

И обратно: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат могут быть заданы уравнениями прямой с равными угловыми коэффициентами, то такие прямые параллельны.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида и , или параметрические уравнения прямой на плоскости вида и соответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты и , а условие параллельности прямых a и b записывается как .

Разберем решения нескольких примеров.

Параллельны ли прямые и ?

Перепишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения прямой: . Теперь видно, что – нормальный вектор прямой , а – нормальный вектор прямой .

Эти векторы не коллинеарны, так как не существует такого действительного числа t, для которого верно равенство ().

Следовательно, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, поэтому, заданные прямые не параллельны.

нет, прямые не параллельны.

Являются ли прямые и параллельными?

Приведем каноническое уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом: . Очевидно, что уравнения прямых и не одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Второй способ решения.

Сначала покажем, что исходные прямые не совпадают: возьмем любую точку прямой , например, (0, 1), координаты этой точки не удовлетворяют уравнению прямой , следовательно, прямые не совпадают. Теперь проверим выполнение условия параллельности этих прямых.

Нормальный вектор прямой есть вектор , а направляющий вектор прямой есть вектор . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Следовательно, векторы и перпендикулярны, значит, выполненяется необходимое и достаточное условие параллельности заданных прямых.

Таким образом, прямые параллельны.

заданные прямые параллельны.

Чтобы доказать параллельность прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве пользуются следующим необходимым и достаточным условием.

Для параллельности несовпадающих прямых в трехмерном пространстве необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны.

Таким образом, если известны уравнения прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве и нужно ответить на вопрос параллельны эти прямые или нет, то нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых и проверить выполнение условия коллинеарности направляющих векторов. Другими словами, если и – направляющие векторы прямых a и b соответственно, то для параллельности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы существовало такое действительное число t, при котором справедливо .

Разберемся с применением условия параллельности прямых в пространстве при решении примера.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/parallel_lines.html

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых, две прямые параллельны если

Изображение параллельных прямых. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Параллельные прямые: основные сведения

Определение 1

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Определение 2

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥. Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b. Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b, или прямая b параллельна прямой а.

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Аксиома

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Теорема 1

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10-11 классов).

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Определение 3

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Теорема 2

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7-9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

Теорема 3

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

Теорема 4

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

Теорема 5

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

Теорема 6

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Проиллюстрируем:

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е.

, чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д.

Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема 7

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) являются направляющими векторами прямых a и b;

и nb→=(nbx, nby) являются нормальными векторами прямых a и b, то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a→=t·b→⇔ax=t·bxay=t·by или na→=t·nb→⇔nax=t·nbxnay=t·nby или a→, nb→=0⇔ax·nbx+ay·nby=0, где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

  1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A1x+B1y+C1=0; прямая b  – A2x+B2y+C2=0. Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (А1, В1) и (А2, В2) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A1=t·A2B1=t·B2

  1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y=k1x+b1. Прямая b – y=k2x+b2. Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (k1, -1) и (k2, -1) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k1=t·k2-1=t·(-1)⇔k1=t·k2t=1⇔k1=k2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны.

И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

  1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x-x1ax=y-y1ay и x-x2bx=y-y2by или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x=x1+λ·axy=y1+λ·ay и x=x2+λ·bxy=y2+λ·by.

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: ax, ay и bx, by соответственно, а условие параллельности запишем так:

ax=t·bxay=t·by

Разберем примеры.

Пример 1

Заданы две прямые: 2x-3y+1=0 и x12+y5=1. Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x12+y5=1⇔2x+15y-1=0

Мы видим, что na→=(2, -3) – нормальный вектор прямой 2x-3y+1=0, а nb→=2, 15- нормальный вектор прямой x12+y5=1.

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t, при котором будет верно равенство:

2=t·2-3=t·15⇔t=1-3=t·15⇔t=1-3=15

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Пример 2

Заданы прямые y=2x+1и x1=y-42. Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x1=y-42 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x1=y-42⇔1·(y-4)=2x⇔y=2x+4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2x + 1 и y = 2x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2x + 1, например, (0, 1), координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x1=y-42, а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2x + 1 это вектор na→=(2, -1), а направляющий вектором второй заданной прямой является b→=(1, 2). Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

na→, b→=2·1+(-1)·2=0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Теорема 8

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности.

Иначе говоря, если a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz)являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t, чтобы выполнялось равенство:

a→=t·b→⇔ax=t·bxay=t·byaz=t·bz

Пример 3

Заданы прямые x1=y-20=z+1-3 и x=2+2λy=1z=-3-6λ. Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a→ и b→ заданных прямых имеют координаты: (1, 0, -3) и (2, 0, -6).

Так как:

1=t·20=t·0-3=t·-6⇔t=12, то a→=12·b→.

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/parallelnye-prjamye-priznaki-i-uslovija-parallelno/

Урок 4: Параллельные прямые

Изображение параллельных прямых. Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия

План урока:

Определение параллельных прямых

Аксиома параллельности

Секущая

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

Признаки параллельности прямых

Расстояние между параллельными прямыми

Способы построения параллельных прямых

Определение параллельных прямых

Из аксиом геометрии известно, что две прямые могут иметь единственную общую точку. В этом случае их называют пересекающимися. Как пример приведем рисунок:

Здесь a и c пересекаются в А. Однако прямые на плоскости можно расположить так, что они не будут пересекаться:

Как бы далеко мы не продолжали а и с, они никогда не пересекутся. В подобном случае говорят, что a и c параллельны.

Дадим определение параллельных прямых:

Для подобного отношения существует специальный значок, который выглядит как две вертикальные черточки: a||c.

Параллельными бывают и другие геометрические фигуры: отрезки, лучи. Для этого они должны лежать на параллельных прямых:

Здесь АВ||CD. У многих геометрических фигур параллельны противоположные стороны. Достаточно вспомнить квадрат или прямоугольник.

Представим себе кубик с шестью гранями. Обозначим буквами его вершины:

Несложно заметить, что отрезки TE и UJ и их продолжения не пересекаются. Но это не значит, что TE||UJ. Дело в том, что ребра TE и UJ не лежат в одной плоскости. Для подобных случаев используется термин «скрещивающиеся» отрезки.

Аксиома параллельности

Ясно, что через точку, лежащую на прямой, не получится провести другую прямую, которая будет ей параллельна. Но в противном случае это возможно. В древности Евклид, великий древнегреческий ученый, создавший классическую геометрию, сформулировал знаменитую аксиому параллельности, известную как пятый постулат:

На рисунке через А проходит с, которая параллельна а. Любая другая прямая, которой принадлежит А (в данном случае d), обязательно будет пересекать а.

Это утверждение кажется очевидным, но в реальности пятый постулат веками будоражил умы величайших математиков мира. Дело в том, что аксиомой считается утверждение, которое считается очевидным и не может быть доказано.

Они являются основанием всех логических умозаключений, которые используются при доказательстве теорем. Однако многие ученые полагали, что пятый постулат можно вывести из других аксиом.

Но за две тысячи лет никому так и не удалось сделать это.

В XIX веке россиянин Лобачевский попробовал построить доказательство пятого постулата методом «от противного». Он предположил, что пятый постулат неверен, и на основе этого утверждения стал доказывать теоремы, ожидая, что когда-нибудь получится прийти к противоречию.

В результате ученый создал отдельную геометрию, которую сегодня называют геометрией Лобачевского, однако к противоречию он так и не пришел. Тем самым он доказал, что всем известная евклидовая геометрия является не единственно возможной. Существуют альтернативные ей геометрические системы, которые сегодня называют неевклидовыми.

Это одно из величайших открытий в истории математики, которое позже легло в основу теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном.

Но вернемся к евклидовой геометрии. Из аксиомы параллельности следует следующее утверждение:

Такое свойство называют транзитивностью. Докажем его методом «от противного». Пусть а||c и a||b. Предположим, что b и с пересекаются в D:

В результате через D проходят сразу две различные прямые, которые параллельны a. Но по пятому постулату это невозможно. Получается противоречие. Значит, исходное утверждение (о том, что b и с пересекаются) ошибочно, а поэтому b||c.

Секущая

При этом она образует 8 углов:

Здесь с – это секущая, а||b. Образованные углы можно разбить на пары, которые имеют особое название. Накрест секущими называют пары ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠6, ∠2 и ∠8:

Еще 4 пары называют соответственными углами. Это ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠8:

Третья группа углов носит название односторонних. К ним относят пары∠1 и ∠6, ∠2 и ∠7, ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠8:

Те углы, которые расположены между параллельными прямыми, носят название внутренних. На рисунке таковыми являются ∠1, ∠4, ∠5 и ∠6. Остальные углы считаются внешними.

Можно заметить, что пары накрест лежащих и односторонних углов образуются либо двумя внешними (на рисунке расположены справа), либо двумя внутренними углами.

А вот пара соответственных углов всегда состоит из одного внешнего и одного внутреннего угла.

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

Докажем следующее утверждение:

На рисунке это будет выглядеть так:

Кажется очевидным, что aи b никогда не пересекутся, однако доказать это на основе аксиом геометрии не так-то просто! Попробуйте сначала сделать это самостоятельно, а если не получилось, то смотрите сюда:

Доказательство построено на методе «от противного». Допустим, что a и b пересекутся в точке, которую мы обозначим как А. Теперь отобразим (как будто в зеркале) полученный треугольник DKA симметрично относительно c.

При этом отражение А обозначим как А'. ∠ADK равен 90°, поэтому и угол ∠A'DK также равен 90°. Тогда ∠А'DА=∠ADK+∠A'DK=90°+90°=180°. Это означает, что линия АDА') является прямой.

Тоже самое можно доказать и для линии АKА'.

Получаем, что через А и A’ проходит две разных прямых. Однако одна из аксиом геометрии гласит, что через две точки можно провести единственную прямую. Полученное противоречие говорит о том, что изначальное утверждение ошибочно, и a и b не пересекаются.

Признаки параллельности прямых

По характерным углам, которые образуются секущей, можно определить параллельность прямых. Первый из признаков параллельности двух прямых звучит так:

Попробуем доказать это. Пусть c – секущая для aи b, и ∠1 равен∠5.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда эти углы прямые. Тогда a и b перпендикулярны c,а потому a||b. В более сложном случае ∠1 и ∠5 не равны 90°. Тогда с середины отрезка АВ (обозначим ее как О), опустим перпендикуляр на a, а точку их пересечения обозначим как H. Далее построим отрезок АК, который лежит на b и равен по длине BH:

Теперь рассмотрим треугольники АОК и ВОН. ∠ОАК и ∠НВО равны друг другу, также равны и две прилегающие к нему стороны: ОА=ОВ (так как О – середина отрезка АВ) и HB=АК. Получаем, что эти треугольники равны друг другу по 1-ому признаку равенства треугольников (смотри урок 3).

Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, равны ∠АОК и ∠НОВ, поэтому они являются вертикальными.Это означает, что Н, О и К располагаются на одной прямой. Во-вторых, угол ∠ОКА=∠ВНО=90°. Следовательно, отрезок HK перпендикулярен и к a, и к b. Поэтому a||b.

Второй признак формулируется так:

Действительно, пусть ∠3 и ∠5 равны друг другу. Тогда∠1 равен∠3, так как они вертикальные. Получаем, что ∠5=∠3=∠1. Но ∠5 и ∠1 накрест лежащие. Их равенство ранее доказанному1-ому признаку параллельности означает, a||b.

Третий признак звучит так:

Пусть ∠5+∠4=180° (1). Так как ∠4 и ∠1 являются смежными, то для них можно записать равенство: ∠4+∠1=180°. Отсюда можно получить значение угла 4: ∠4=180°-∠1. Подставляя это уравнение в выражение (1), получаем:

∠5+(180°-∠1)=180. Раскрывая скобки и перенося слагаемые в правую часть, можно получить равенство ∠5=∠1. Но эти углы являются накрест лежащими, а потому их равенство означает, что a||b.

Расстояние между параллельными прямыми

Дадим определение расстояния между параллельными прямыми:

На этом рисунке a||b, из D опущен перпендикуляр на b. Длина полученного отрезка DK и является расстоянием между aи b. Несложно убедиться, что его величина не зависит от выбора точки D. Докажем это утверждение:

Опустим из двух произвольных точек D и D', принадлежащих a, перпендикуляры на b. Обозначим точки, в которых они пересекут b, как K и K'. Kи D' соединим отрезком, который окажется секущим. А теперь внимательно изучим треугольники DKD'и KK'D'.

У них есть общая сторона KD'. ∠D'KK' и ∠KD'D равны друг другу как накрест лежащие. По той же причине можно записать равенство ∠DKD'=∠KD'K'. Получается, что эти треугольники равны друг другу по стороне и двум прилегающим углам.

Из это следует, что DK=D'K'.

Заметим, что если прямые не параллельны, то длина перпендикуляра будет меняться в зависимости от выбора исходной точки. Поэтому понятие расстояния для пересекающихся прямых теряет смысл.

Способы построения параллельных прямых

На уроках геометрии обязательно придется строить параллельные отрезки. Как это делать быстро с помощью подручных инструментов? Самый простой практический способ построения параллельных прямых требует наличия только линейки и угольника.

Сначала надо приложить угольник к исходному отрезку. Далее к боковой грани угольника прикладывают линейку. После этого треугольник можно двигать по линейке, которую надо удерживать неподвижно. Когда угольник займет новое положение, можно будет построить отрезок, параллельный исходному:

Источник

В геометрии ещё с античных времен существуют так называемые задачи на построение. В них требуется построить требуемый рисунок, используя только два предмета: циркуль и линейку. При этом на линейке нет никаких делений. Как же построить параллельные отрезки с помощью этих двух инструментов?

Рассмотрим такую задачу: дана прямая a и точка D, не лежащая на ней. Требуется построить через D такую b, что a||b:

Решение состоит из нескольких шагов. Сначала надо провести из D окружность произвольного радиуса, но достаточно большую, чтобы, она пересекла a в двух точках. Обозначим их как K и K'.

Далее из этих точек мы проводим две окружности равных радиусов, при этом также таких, чтобы они пересекались в двух точках. Для определенности в качестве радиуса можно взять длину отрезка KK'. Точки пересечения этих окружностей обозначим как Fи F':

Соединяя эти две точки, мы получим перпендикуляр к a, который проходит через D. В принципе, для построения достаточно использовать одну точку(либо F, либо F'):

На следующем шаге проводится окружность любого радиуса с центром в D. Обозначим буквами M и M' точки, где она пересекается с FF':

Последний шаг. Проводим из M и M' окружности, чьи радиусы равны MM'. Они пересекутся в двух точках, V и V'. Прямая VV' будет параллельна исходной прямой a:

Из этого урока вы узнали, какие прямые именуются параллельными, и по каким признакам их можно определить. Эти знания очень пригодятся не только при изучении геометрии, но и в других областях. При построении инженерами чертежей и 3D моделей именно параллельные отрезки играют ключевую роль.

Посмотрите на окружающий мир и оцените, сколько в нем параллельных линий. Можно вспомнить:

  • рельсы, по которым ездят локомотивы и поезда;
  • шпалы, лежащие под этими рельсами;
  • полосы движения на автомагистралях
  • колонны, поддерживающие фасады зданий.

Это доказывает, что геометрия – не сухая бумажная наука, рассуждающая об абстрактных понятиях, а практически важная дисциплина. Её изучение обязательно пригодится в будущем. Ждем вас на следующем уроке!

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-4-parallelnye-pryamye

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий