Как доказать что четырехугольник вписан в окружность. Описанный четырёхугольник

Вписанный четырехугольник и его свойства. Подробная теория

Как доказать что четырехугольник вписан в окружность. Описанный четырёхугольник

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы   и   лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами   и  ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов   и   взять углы   и  ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет  . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме  . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть  . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно,  . То есть   – всегда!  . Но  , → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна  .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм   окружность. Тогда непременно должно быть:  , то есть  .

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть  .

У нас получилось, что

  →  

А что же углы   и  ? Ну, то же самое конечно.

  – вписанный →   →  

  – параллелограмм→   →  

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны  , то есть это прямоугольник!

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Вот пусть трапеция   вписана в окружность. Тогда опять  , но из-за параллельности прямых   и    .

Значит, имеем:   →   → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

  1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  
  2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
  3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна  .

На нашем рисунке –  

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник   вписан в окружность. Отметим её центр   и проведём радиусы   и  . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Итак,

  – вписанный  

  – вписанный  

Но посмотри:  .

Значит,

 .

Получаем, что если   – вписанный, то

 .

Ну, и ясно, что   и   тоже в сумме составляет  . (нужно так же рассмотреть   и  ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника   сумма каких – то двух противоположных углов равна  . Скажем, пусть

 .

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника   мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка   не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка   – снаружи. Тогда отрезок   пересекает окружность в какой-то точке  . Соединим   и  . Получился вписанный (!) четырехугольник  .

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна  , то есть  , а по условию у нас  .

Получается, что должно бы быть так, что  .

Но это никак не может быть поскольку   – внешний угол для   и значит,  .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка   внутри.

Тогда продолжение отрезка   пересекает окружность в точке  . Снова   – вписанный четырехугольник  , а по условию  должно выполняться  , но   – внешний угол для   и значит,  , то есть опять никак не может быть так, что  .

То есть точка   не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм   вписан в окружность. Тогда должно выполняться  .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что  .

То есть

И то же самое, естественно, касательно углов   и  .

Вот и получился прямоугольник – все углы по  .

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

  – диаметр,

  – диаметр

а значит,   – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажем?

Пусть трапеция   вписана в окружность. Тогда  .

Но  

То есть

   . И так же  .

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Итак:

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону   из точек   и  , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов   и  .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«  – вписанный» – и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна  .

 .

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/vpisannyj-chetyrehugolnik-1

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Как доказать что четырехугольник вписан в окружность. Описанный четырёхугольник

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Четырехугольники
Вписанные четырехугольники и их свойства
Теорема Птолемея

      Определение 1.

Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1).

В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Рис.1

      Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

      Доказательство. Угол  ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC.

Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC.

Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

      Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.

      Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Рис.2

      Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°.

При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC.

Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.

      Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

      Теорема 2 доказана.

      Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникПлощадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,а p – полупериметр, т.е.
Окружность, описанная около параллелограмма
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,а p – полупериметр, т.е.
Окружность, описанная около параллелограмма
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

      Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Рис.3

      Докажем, что справедливо равенство:

      Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Рис.4

      Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

      Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(2)

      Складывая равенства (1) и (2), получаем:

      Теорема Птолемея доказана.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/ofcircle.htm

Матвокс ⋆ признак описанного четырехугольника ⋆ энциклопедия математики

Как доказать что четырехугольник вписан в окружность. Описанный четырёхугольник

Четырехугольник является описанным тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

Другими словами, в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда:

Признак описанного четырехугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD в который вписана окружность.

Докажем, что суммы противоположных сторон этого четырехугольника будут равны, т.е. докажем, что:

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 1

Теперь докажем, что если суммы противоположных сторон в выпуклом четырехугольнике равны, то в него можно вписать окружность.

Т.е. рассмотрим выпуклый четырехугольник, в котором:

Докажем, что существует единственная точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника, которая и будет центром окружности, касающейся всех сторон четырехугольника.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 3

Для простоты рассуждений введем следующие обозначения:

По условию:

Перепишем равенство с учетом введенных обозначений:

Пусть d > a. Тогда:

Предположение о том, что сторона d больше стороны a нужно для дальнейших построений.

Так как d > a, то правая часть равенства – положительное число. Следовательно, и левая часть равенства – положительное число (c – b> 0). Отсюда следует что:

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 4

Отложим на стороне d отрезок DM, равный длине стороны a:

Признак описанного четырехугольника. Доказательство. Шаг 5

Отложим на стороне c отрезок ВР, равный длине стороны b:

Признак описанного четырехугольника. Доказательство. Шаг 6

Рассмотрим треугольник РСМ.

По построению:

На шаге 4 показали, что:

Следовательно, треугольник РСМ – равнобедренный.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 7

Рассмотрим треугольники АВР (равнобедренный по построению), ADM (равнобедренный по построению) и РСМ (равнобедренный по доказанному на шаге 7).

Проведем в каждом из них биссектрисы из вершины к основанию: BB1, DD1, CC1

По свойствам равнобедренного треугольника, проведенная биссектриса будет медианой и высотой.

Следовательно:

И:

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 8

Рассмотрим треугольник АРМ.

На шаге 8 показали, что:

И:

Следовательно, ВВ1, DD1 и СС1 являются серединными перпендикулярами этого треугольника.

По теореме о серединных перпендикулярах треугольника, они пересекаются в одной точке.

Обозначим это точку буквой О.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 9

Так как точка О лежит на биссектрисе угла В, то она равноудалена от сторон АВ и ВС.

Так как точка О лежит на биссектрисе угла С, то она равноудалена от сторон BC и CD.

Так как точка О лежит на биссектрисе угла В, то она равноудалена от сторон DC и AD.

Таким образом, точка О равноудалена от всех сторон четырехугольника.

Следовательно, точка О равноудалена от сторон AB и AD, а значит, лежит на биссектрисе угла А.

Из чего следует, что биссектрисы всех углов четырехугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 10

Так как точка О равноудалена от всех сторон четырехугольника (т.е. все расстояния от точки О до сторон равны), то она является радиусом вписанной окружности в этот четырехугольник.

Радиус вписанной окружности определяется как расстояние (т.е. перпендикуляр) от центра до стороны.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 11

На шаге 4 мы предположили, d > a.

Теперь рассмотрим случай, когда d = a

Тогда c = b.

Рассмотрим треугольник АВС. Так как c = b, то АВС – равнобедренный треугольник.

Проведем биссектрису ВМ.

Так как АВС – равнобедренный, то биссектриса ВМ будет являться медианой и высотой.

Следовательно:

Рассмотрим треугольник ADC.

Проведем биссектрису DK.

Так как a = d, то ADC – равнобедренный треугольник, следовательно, биссектриса DK будет являться медианой и высотой:

Значит точки К и М совпадают, и биссектрисы углов B и D буду лежать на одной прямой и перпендикулярны АС.

Следовательно, четырехугольник ABCD симметричен относительно прямой BD.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 12

Пусть биссектриса угла С пересекает BD в точке О.

Тогда, в силу симметрии, АО является биссектрисой угла А.

Итак, точка О лежит на биссектрисах углов четырехугольника, следовательно, по свойству биссектрисы, точка О равноудалена от всех четырех сторон ABCD.

Значит, в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство признака описанного четырехугольника. Шаг 13

Источник: https://mathvox.ru/geometria/mnogougolniki/glava-2-chetirehugolniki-i-ih-svoistva/priznak-opisannogo-chetirehugolnika/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий