Как избавиться от корня в неравенстве. Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

Иррациональные неравенства. Теория и примеры

Как избавиться от корня в неравенстве. Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Одз (область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

 .

При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:

 .

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше  . Значит, решением задачи будет ОДЗ:

 .

Ответ:  .

Неравенства вида  

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  : здесь   и  .

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция   – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

или

Примеры (реши сам):

Ответы:

1. Применим только что выученное правило:

2.  

 .

3.  

 .

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Неравенства вида   или  

Корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому, он влияет на это неравенство, только если равен нулю. То есть нужно ограничить корень, чтобы он не был равен нулю, а в остальном – дело за выражением  . И не забываем про ОДЗ, подкоренное выражение неотрицательно. А если оно неотрицательно, и при этом не должно быть равно нулю, то оно строго болше нуля:

или

Примеры (реши сам):

Ответы:

Корни степени больше 2

Если же корень в неравенстве не кваlратный, важна четность его степени.

I. Корни четной степени

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

Например:

II. Корни нечетной степени

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

  и т.д.

Примеры:

1.  

2.  

3.  

4.  

Ответы:

1.  

2.  

3.  

4.  

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

1. Неравенства вида  .

или

2. Неравенства вида   или  .

или

3. Неравенства вида  .

или

4. Неравенства вида  .

или

5. Неравенства вида  .

или

6. Корни четной степени.

Например:

7. Корни нечетной степени.

корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

  и т.д.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/irratsionalnye-neravenstva-2

Иррациональные неравенства. урок. Алгебра 11 Класс

Как избавиться от корня в неравенстве. Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)
sh: 1: –format=html: not found

В данном уроке мы рассмотрим решение иррациональных неравенств, приведем различные примеры.

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.

Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.

Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.

Рассмотрим неравенство вида:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция  может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.

Итак, имеем следующую схему решения:

В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.

Пример 1 – решить неравенство:

Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:

Проиллюстрируем:

Рис. 1 – иллюстрация решения примера 1

Ответ:

Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:

В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.

Рассмотрим неравенство вида:

Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.

Имеем эквивалентную систему:

Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.

Пример 2 – решить неравенства графически:

а)

б)

Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.

Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.

Рис. 2. Графики функций  и

Для построения графика функции  необходимо преобразовать параболу  в параболу  (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.

График функции  – это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у – (0;-1).

Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать: .

Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.

Имеем ответ:

а) ; б)

Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.

Пример 3 – решить неравенства методом интервалов:

а)

б)

согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:

теперь необходимо изучить полученную функцию.

ОДЗ:

Корни:

Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.

Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:

Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3

Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.

Проверим значение в граничной точке:

Очевиден ответ:

а) ; б)

Рассмотрим следующий тип неравенств:

Сначала запишем ОДЗ:

Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:

Получили эквивалентную систему:

Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем::

Пример 4 – решить неравенство:

Действуем по схеме – получаем эквивалентную систему:

Ответ:

Рассмотрим неравенства вида:

В данном случае имеем дело с корнем нечетной степени, в левой и правой части неравенства могут стоять любые (как положительные, так и отрицательные) числа. Имеем эквивалентное неравенство:

Пример 5 – решить неравенство:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых иррациональных неравенств, привели несколько методов решения и решили примеры. Далее будем рассматривать неравенства с модулем.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).

2. Math.md (Источник).

3. Diffur.kemsu.ru (Источник).

Домашнее задание

1.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/irratsionalnye-neravenstva?chapter_id=824&seconds=0

Решение иррациональных неравенств

Как избавиться от корня в неравенстве. Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

В этой статье я расскажу об одном эффективном способе решения иррациональных неравенств. То есть таких неравенств, которые содержат неизвестную величину под знаком корня. Данный материал очень редко изучается в школа. Разве что в школе с углублённым изучением математики, да и то не всегда.

А ведь научиться решать иррациональные неравенства, используя этот способ, очень важно. Поэтому дочитайте эту статью до конца или посмотрите мой видеоурок (ссылка ниже в тексте). Информация, которую вы получите, может очень пригодиться при сдаче ОГЭ, ЕГЭ или вступительных экзаменов по математике.

Иррациональные неравенства, как и любые другие, изучаемые в школьном курсе математики, можно решить с помощью метода интервалов. Но есть более простой и эффективный способ. Разберёмся, в чём он заключается. Все наиболее часто встречающиеся иррациональные неравенства из школьного курса математики можно условно разделить на два типа:

1. или .

2. или .

Здесь  и  — некоторые выражения относительно переменной . Разберём отдельно решение каждого из этих двух типов иррациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств первого типа

Рассмотрим внимательно неравенство . Как уже отмечалось,  и — это некоторые выражения относительно переменной . Но при определённых значениях  эти выражения будут принимать какие-то определённые значения.

Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения переменной , при которых значение выражения будет больше значения выражения . Извините, что я говорю очевидные вещи. В данной статье я решил объяснить всё предельно подробно.

Если эти разъяснения кажутся вам излишними, вы можете пропустить их и перейти непосредственно к примерам в красных рамочках.

Чтобы избавиться от корня, нужно возвести обе части неравенства в квадрат. Тогда неравенство примет вид: . Но просто так, без соблюдения определённых правил, этого делать нельзя.

Почему? Представьте, что при каком-то значении значение выражения  равно, скажем, , а значение выражения равно, например, . Такое возможно? Вполне. Тогда, подставив эти значения в неравенство , получившееся после возведения обеих частей в квадрат, мы получим верное неравенство .

Всё будет хорошо, и мы воспримем то значение , которое взяли, как решение нашего иррационального неравенства.

Но проблема в том, что если значение подставить вместо  в исходное неравенство, то всё уже не будет так прекрасно.

Потому что любой школьник знает, что под корнем не может находиться отрицательных чисел! Как видите, возведение обеих частей неравенства в квадрат — операция вовсе не равносильная. Она может привести к появлению лишних решений.

Поэтому делая это, нужно обязательно убедиться, что под знаком корня не находится отрицательного числа. То есть, что .

Теперь представим ситуацию, что при каком-то значении значение выражения  равно , а значение выражения  равно, например, . Верно ли наше исходное неравенство? Конечно, нет. Всем понятно, что корень из , то есть , не меньше .

Но что будет если мы вновь возведём обе части нашего неравенства в квадрат? Получим неравенство . А вот это уже верно. И снова мы получили лишнее решение, которое не удовлетворяет исходном неравенству.

Чтобы этого не случилось, нужно сказать дополнительно, что .

Есть ли ещё какие-нибудь неприятные моменты, которые мы не учли при возведении обеих частей неравенства в квадрат? Разве что один.

Что делать, если найдётся такое значение , при котором и значение выражения , и значение выражения  равны нулю? Что ж, если неравенство строгое, как в нашем случае, когда , то этот случай ничего не меняет, ведь нуль не меньше нуля.

А вот если исходное неравенство нестрогое, то есть , тогда это уже имеет значение, ведь нуль меньше или равен нулю! В этом случае все условия также должны быть нестрогими, поэтому .

Итак, исходя из всех этих долгих пояснений, мы делаем вывод, что иррациональное неравенство вида равносильно следующей системе неравенств:

А иррациональное неравенство вида , в свою очередь, равносильно следующей системе неравенств:

Пример 1. Требуется решить неравенство:

Для решения иррационального неравенства переходим к равносильной системе неравенств:

Условие «сильнее» условия , поэтому последнее неравенство системы можно отбросить. Решаем квадратичное неравенство. Для этого находим корни уравнения , они равны и . Теперь строим кривую знаков и стрелкой отмечаем на ней условие :

Получаем следующий ответ к неравенству: .

Решение иррациональных неравенств второго типа

Рассмотрим теперь иррациональное неравенство вида . Как и в предыдущем случае, безусловным требованием является отсутствие под знаком корня отрицательных чисел. То есть должно выполняться условие .

При этом выражение тоже, конечно, является неотрицательным. Пусть, например, при некотором значении оно равно . Если при этом же значении , значение выражения отрицательно, то есть (например, это значение равно ), то мы получаем верное неравенство .

И никаких дополнительных требований уже не нужно.

Что если выражение принимает неотрицательные значения, то есть ? Например, пусть при каком-то значении значение выражения  равно , а значение выражения равно .

Тогда верно как исходное неравенство , так и неравенство, полученное после возведения обеих частей в квадрат . Как видите, в этом случае мы уже можем возводить обе части неравенства в квадрат, не боясь получить посторонние решения.

При этом, раз уж мы требуем, чтобы , то из условия автоматически следует условие , о выполнении которого, получается, можно не беспокоиться.

Какие ещё подводные камни могут возникнуть при решении иррационального неравенства второго типа? Как и для иррационального неравенства первого типа, стоит отдельно рассмотреть случай, когда при каком-то значении переменной и значение выражения , и значение выражения равны нулю. Этот случай имеет значение только если неравенство нестрогое. Тогда неравенство, полученное после возведения обеих частей исходного иррационального неравенства в квадрат, тоже должно быть нестрогим. В случае строгого неравенства ничего не изменится.

Итак, исходя из всего вышеизложенного, можно заключить, что неравенство вида равносильно следующей совокупности из двух систем неравенств:

Ну а неравенство вида равносильно следующей совокупности из двух систем неравенств:

Квадратная скобка обозначает совокупность, то есть объединение решений каждой из систем неравенств.

Пример 2. Требуется решить неравенство:

Для решения данного иррационального неравенства перейдём к следующей равносильной совокупности:

В первой системе неравенство можно преобразовать по формуле «квадрат разности» к виду , которое выполняется при одном единственном значении (при всех остальных значениях x выражение положительно, потому что это полный квадрат).

Это условие удовлетворяет требованию . Что касается второй системы, то для неё нет ни одного значения , при которых были бы выполнены оба условия одновременно. То есть решений данная система не имеет.

Тогда в итоге в ответе получаем одно единственное число: .

Ну и напоследок решим более сложное иррациональное неравенство, чтобы показать, что даже более сложные случаи сводятся к тем двум типам иррациональных неравенств, решение которых описано в данной статье.

Пример 3. Решите неравенство:

Перенесём второй радикал (корень) в правую часть неравенства с противоположным знаком. В результате данного преобразования получим такое неравенство:

Это уже неравенство вида , поэтому можно перейти к следующей равносильной системе:

Обращаем сразу внимание, что второе неравенство системы выполняется при любых значениях .

Действительно, ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратичного уравнения отрицателен, то есть эта парабола нигде не пересекает ось абсцисс. Поэтому соответствующая квадратичная функция принимает только положительные значения.

Первое неравенство решается методом интервалов. Теперь в последнем неравенстве нужно раскрыть скобки и упростить полученное выражение. В результате получаем следующую систему:

Последнее неравенство системы — это иррациональное неравенство вида . Его можно представить в виде равносильной ему совокупности, о которой я подробно рассказывал выше. В результате получаем следующую равносильную систему:

Дальше всё решается стандартными способами, которые уже были рассмотрены в данной статье. Попробуйте дорешать этот пример до конца самостоятельно. Внимание спойлер! Окончательный ответ к неравенству будет выглядеть следующим образом:

Вот такой способ решения иррациональных неравенств. Запомните его, он вам пригодится на экзамене по математике, будь то ОГЭ, ЕГЭ или дополнительное вступительное испытание при поступлении в ВУЗ.

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал урока. Выполните следующие задания самостоятельно:

  • Решите неравенство: .

Показать ответ

  • Решите неравенство: .

Показать ответ

Материал подготовлен репетитором по математике, Сергеем Валерьевичем

Источник: https://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B8%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2

Решение сложных неравенств с корнями. Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

Как избавиться от корня в неравенстве. Иррациональные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

И на всякий случай напоминаем, что ты можешь у нас на сайте. Прямо сейчас… Вдруг ты не знаешь.

Важное замечание!Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) илиCmd+R (на Mac).

ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ?

Например, в уравнении присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства.

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

При возведении в квадрат получаем, то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например:

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше. Значит, решением задачи будет ОДЗ:

Неравенства вида

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

А как будет выглядеть это правило, если неравенство нестрогое? Вот так:

Подумай сам, почему именно так.

Теперь обе части неравенства неотрицательны, значит, можно возвести их в квадрат:

Теперь решаем по шаблону:

Теперь необходимо сравнить числа, и. Вспоминаем тему :

Тогда система превратится в:

Корни степени больше

Если же корень в неравенстве не кваратный, важна четность его степени.

Примеры решения задач

Задача. Решите неравенство:

Перед нами классическое иррациональное неравенство: f (x) = 2x + 3; g(x) = 2 – константа. Имеем:

Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:

Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие.

Задача. Решите неравенство:

Применяем теорему:

Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:

2x 2 − 18x + 16 < (x − 4) 2 ;2x 2 − 18x + 16 < x 2 − 8x + 16:x 2 − 10x < 0;x(x − 10) < 0;

x ∈ (0; 10).

Источник: https://realartist.ru/reshenie-slozhnyh-neravenstv-s-kornyami-irracionalnye-neravenstva.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий