Как правильно раскрыть модуль. Уравнения с модулем

Как правильно раскрывать модуль

Как правильно раскрыть модуль. Уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| {amp}lt; a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x b| есть два варианта: (x − a) = − (x b) или (x − a) = (x b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ:2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке  величина будет отрицательной, а на интервале  будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1; ∞).

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞; –3].

x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; ∞).

Ответ:x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; ∞).

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| 3 = 9 – |x – 1|.

Ответ: x1 = 3; x2 = − 1.

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что  не лежит в промежутке .

Ответ:x = 0.

Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.

Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).

Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа.

Например, квадратных.

Или иррациональных.

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Let’s dive right in… (Поехали!) 

Уравнения такого вида  решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа».

Что такое  ?

Это просто  , если   больше либо равно нулю, или  , если   меньше нуля.

Точно так же как и в предыдущем примере уравнения с модулем  могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому! 

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило:  ?

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

Что такое  ?

Это просто  , если  , или  , если  .

То есть:

Ответ:  

Другой пример:

Решите уравнение  .

Аналогично:

И правда, вспомним свойство №1:

 , то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

Решения:​

2. Уравнения вида |X| = |Y|

Если начнём раскрывать модули по определению, натолкнёмся на множество проверок: какое число больше нуля, какое меньше; в итоге получим большую совокупность, которая затем упростится.

Но можно сделать так, чтобы сразу было всё кратко.

Для этого вспомним свойство модуля №7:

 .

С помощью этого свойства можем избавляться от модулей:

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

Реши самостоятельно:

Ответы:

1.  

2.  

3. Уравнения вида |X| = Y

Отличие от первого типа уравнений в том, что в правой части тоже переменная. А она может быть как положительной, так и отрицательной.

Поэтому в её неотрицательности нужно специально убедиться, ведь модуль не может равняться отрицательному числу (свойство №1):

Пример:

Решите уравнение:  .

Решение:

Если пропустить проверку на неотрицательность правой части, можно ошибочно написать в ответе сторонние корни, и таким образом потерять баллы. Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень  ? Подставим его в исходное уравнение  :

  – неверно.

Ответы:

1.  

2.  

3.  

Решим квадратные уравнения   и  .

Дискриминант у них одинаковый:

 .

Итак, исходное уравнение равносильно системе

Ответ:  

Метод интервалов в задачах с модулем

Пример:

Решите уравнение:  

Решение:

Рассмотрим первый модуль  . По определению он раскрывается «с плюсом» (то есть выражение под модулем не меняется), если  , и «с минусом» (то есть все знаки меняются на противоположные), если  :

Аналогично и со вторым:

Проблема только в том, что теперь нам нужно рассмотреть очень много вариантов: по   варианта для каждого модуля, итого четыре разных, но похожих друг на друга, уравнения.

Если модулей будет не два, а три, получится уже   уравнений!

Можно ли как-то сократить количество вариантов?

Да, можно – ведь не все условия могут выполняться одновременно:   и   противоречат друг другу.

Поэтому нет смысла раскрывать второй модуль «с плюсом», если первый раскрыт «с минусом». Значит, здесь у нас на одно уравнение меньше.

Теперь систематизируем то, что мы только что выяснили, и….

Разработаем последовательность действий в таких примерах:

1. Определим корни подмодульных выражений – такие  , при которых выражения равны нулю:

2. Отметим корни выражений под модулями на числовой оси:

3. Подпишем у каждого из получившихся интервалов, какой знак принимает каждое из наших подмодульных выражений.

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

Примеры:

I. . Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

  – этот корень сторонний.

II. . Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй — «с минусом»:

  – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. . Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

  – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I.  (корень и правда сторонний).

II. .

III. .

Ответ:  

Модуль в модуле

В некоторых уравнениях встречается «вложенный» модуль, то есть модуль какого-то выражения является частью подмодульного выражения, например:

Что делать в таком случае? Все банально: раскрывать модули. Но раскрывать их нужно по очереди. Какой будем раскрывать первым?

А это зависит от того, каким методом ты хочешь решить это уравнение. Рассмотрим два возможных варианта:

I. Данное уравнение является уравнением вида  

В этом случае первый способ решения будет стандартным для такого типа:

  – подмодульное выражение – в нашем примере это   , то есть:

Получили два элементарных уравнения такого же типа, то есть:

Эти четыре числа и будут ответом, можешь проверить их подстановкой в исходное уравнение.

II. Есть ещё один, более универсальный способ, который подойдёт для любых задач, не попадающих ни в какой из стандартных типов.

Что это за метод?

Метод интервалов

В этом случае нужно раскрывать модули начиная с самых «глубоких», то есть «внутренних». В нашем случае внутренним будет модуль, выделенный красным цветом:

Чтобы раскрыть его, надо рассмотреть 2 случая: и , то есть уравнение распадается на два уравнения:

Краткое изложение статьи и основные формулы

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида  

2. Уравнения вида  .

3. Уравнения вида  .

Теперь тебе слово…

Как тебе… про уравнения с модулем? Легкотня! )

Источник: https://semeyniy61.ru/pravilno-raskryvat-modul/

Уравнения с модулем

Как правильно раскрыть модуль. Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,

занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1.

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Как правильно раскрыть модуль. Уравнения с модулем

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.

Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах.

Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.

При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположныйПри x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений.

Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе – раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная – меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.
Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем.

Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе и найдем решение
Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями. Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных

|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения

x=-3; x=-1,4.

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 x=1. Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших – положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем

x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.

Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.

3x-4>=0 -> x>=4/3.

Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5.

Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.

Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения

-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.

Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3; |2x-6|=x+3. При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая.

Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).

Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5] |-(3x-1)-5|=2x-3;

|-3x-4|=2x-3.

Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения

-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.

Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение |3x-1-5|=2x-3;

|3x-6|=2x-3

. Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения

3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.

Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3. Выполняем проверку

||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.

Корень уравнения с модулем вычислено правильно.

Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Источник: https://yukhym.com/ru/matematika/modul-v-module.html

Уравнения с модулем. Подготовка к ЕГЭ по математике

Как правильно раскрыть модуль. Уравнения с модулем

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»? Давай кое-что быстро повторим перед тем как перейти к уравнениям с модулем. 

Ненаучное объяснение зачем нужен модуль числа

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности.

А между тем она проста как апельсин. Но чтобы ее понять, давай сначала разберемся зачем и кому он нужен. 

Вот смотри, ситуация первая.

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине “минус 70 километров” (мы проедем 70 километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить “минус 5 кг апельсинов”. Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина. 

Ситуация вторая.

Ты покупаешь пакет чипсов “Lay's”. На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99. 

И что, можно идти судиться с компанией Lays, если они тебе недовесили? 

Нет. Потому что Lays устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это “плюс-минус” – это и есть модуль. 

Ситуация третья.

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: “Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!”  20 тысяч – это и есть модуль. 

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от нуля в любую сторону. 

Ну вот, повторили, а теперь давай поговорим об уравнениях с модулем.

Ненаучное объяснение зачем нужен модуль числа Решение уравнений с модулем вида |Х| = a Модуль всегда положителен либо равен нулю! Примеры для самостоятельной работы Решения примеров для самостоятельной работы Решение иррациональных уравнений с модулем Три типа уравнений с модулем 1. Уравнения вида |X| = |a| 2. Уравнения вида |X| = |Y| 3. Уравнения вида |X| = Y Теперь задачи для самостоятельного решения: Метод интервалов в задачах с модулем Разработаем последовательность действий в таких примерах: Краткое изложение статьи и основные формулы

Уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа.

Например, квадратных.

Или иррациональных.

Вот пример подобной ситуации:

Видно, что в правой части – квадрат числа  :

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило:

  ?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем.

Let's dive right in… (Поехали!) 

Решение уравнений с модулем вида |Х| = a

Уравнения такого вида  решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль числа» .

Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

Что такое  ?

Это просто  , если   больше либо равно нулю, или  , если   меньше нуля.

То есть можно формализовано записать так:

А если вот такое уравнение:

Рассуждения аналогичные:

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля:

Модуль всегда положителен либо равен нулю!

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида  :

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под ” ” подразумевается ” “, а значение  . Зная это, получаем:

А если уравнение имеет вид:

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

Уловил? Закрепим на примерах.

Решения примеров для самостоятельной работы

Точно так же как и в предыдущем примере уравнения с модулем  могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных.

Решение иррациональных уравнений с модулем

Вот пример подобной ситуации:

 .

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант).

Но здесь удобнее поступить по-другому! 

Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

Тогда уравнение станет таким:

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение.

Но нет!

Будь предельно осторожным: опять вспоминаем простое правило:  ?

И опять на сцене наш модуль:

 .

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем (все три типа).

1. Уравнения вида |X| = |a|

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение:

Что такое  ?

Это просто  , если  , или  , если  .

То есть:

Ответ:  

Другой пример:

Решите уравнение  .

Аналогично:

И правда, вспомним свойство №1:

 , то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

Решения:​

Теперь тебе слово..

Как тебе… про уравнения с модулем? Легкотня! )

Источник: https://youclever.org/book/uravneniya-s-modulem-2

Решение уравнений с модулем – правила, методы и примеры

Как правильно раскрыть модуль. Уравнения с модулем

Теоретические знания нужно приобретать целенаправленно. Не имеет смысла запоминать огромные массивы информации, поскольку она не отложится в головном мозге. Объяснением этого является защита организма и нервной системы от переутомления. Однако следует обратить внимание на «лазейки», с помощью которых можно добиться успехов. При этом зубрить материал необязательно.

Математики рекомендуют не тратить время на заучивание материала. Они считают, что очень важно с ним ознакомиться и разобраться. Сегодня существует много информации, однако она часто изложена на непонятном языке или неправильно.

Перед изучением любой дисциплины следует составить подробный план. Эта операция довольно сложная, поскольку произвести ее может не каждый. Специалисты рекомендуют действовать по такому абстрактному алгоритму:

  • Поставить задачу.
  • Определить базовый минимум знаний.
  • Найти информацию о каждом элементе второго пункта.
  • Разобраться в терминах и теоретическом материале.
  • Приступить к практике начиная с простых заданий.

Первый пункт должен быть подробно расписан. Необходимо точно описать проблему, а также последствия (например, научиться решать что-то). После этого нужно найти информацию, желательно использовать несколько источников. В некоторых случаях каждую задачу во втором пункте допускается разбивать на подзадачи.

Далее необходимо составить список всех необходимых знаний, которые нужны для достижения цели в первом пункте (например, решение квадратных уравнений с модулем). Их нужно расписать полностью. Можно воспользоваться любым текстовым процессором (Word, OpenOffice и т. д.). Основная задача третьего пункта заключается в полной систематизации информации.

Четвертый пункт — углубленное чтение. Нужно не просто прочитать материал, а попытаться в нем разобраться.

Заучивать его нет смысла, поскольку такие действия очень часто приводят к разочарованию и усталости. После четвертого пункта следует приступить к решению простых примеров.

Действия нужно выполнять до полного автоматизма. Основной принцип этого алгоритма — постепенное усваивание материала.

Базовые знания

Практическое применение описанного алгоритма следует разобрать на примере решения уравнений с модулем. Первый пункт — постановка задачи, формулировка которой следующая: научиться решать произвольные уравнения с модулем. На основании этого можно составить перечень элементов. Первым из них является модуль. Список пунктов по нему может быть следующим:

  • Определение и обозначение.
  • Геометрический и математический смысл.
  • График функции y = |x|.
  • Свойства.

Вторым пунктом является классификация уравнений, поскольку каждое из них может содержать модуль. Необходимо найти информацию о выражениях с неизвестным и их классификации. Третий пункт — способы и методы решения. В некоторых случаях потребуются алгоритмы нахождения корней. Если все систематизировать, то можно получить план такого вида:

  • Модуль.
  • Классификация уравнений.
  • Алгоритмы и методы решения уравнений без модуля.
  • Особенности решения выражений, содержащих неизвестные под знаком модуля.

Далее необходимо найти информацию об элементах плана. Нет необходимости включать в пункт 1 тыс. страниц печатного текста. Для этих целей следует воспользоваться и сравнить несколько источников. Объема, равного двум или трем листам, достаточно, но можно его сократить до одной страницы.

Общие сведения о модуле

Модулем числа называется абсолютная величина, представляющая неотрицательное число. Обозначается следующим образом: |любое число|. Следует отметить, что модуль рассматривается как два значения выражения (отрицательное и положительное). Это очень важно при решении уравнений. Запись |x| расписывается по формуле, которая состоит из кусочной линейной функции:

В результате этого нужно рассматривать два случая при решении: выражение принимает положительное и отрицательное значение. Алгебраическим смыслом модуля является положительная величина.

Геометрический смысл — расстояние от начала координат до искомой точки. Далее следует рассмотреть график функции y = |x|. Чтобы его начертить, нужно составить таблицу зависимости y от аргумента х.

y 2 1 0 1 2
x -2 -1 0 1 2

Таблица 1. Зависимость значения функции y = |x| от ее аргумента.

Не имеет смысла использовать больше значений, поскольку графиком является прямая, зеркально отображенная относительно оси ординат ОУ. Далее нужно начертить декартовую прямоугольную систему координат и отметить на ней точки. Затем их следует соединить (рис. 1).

Рисунок 1. График y = |x|.

Необходимо знать также основные свойства абсолютной величины, которыми можно воспользоваться при решении соответствующих уравнений. К ним относятся следующие:

  1. Неотрицательное число: |x| >= 0.
  2. Модули чисел с разными знаками равны: |x| = |-x|.
  3. Произведение под знаком модуля равно произведению абсолютных величин: |x * y| = |x| * |y|.
  4. Частное двух чисел под знаком модуля равно частному их абсолютных значений: |x / y| = |x| / |y|. Необходимо учитывать, что y не равен нулю. Для пропорции тоже справедливо это утверждение: |x / y| = |z / w| = |x| / |y| = |z| / |w|.
  5. Модуль суммы равен или меньше суммы модулей значений: |x + y| 0, то извлечь квадратный корень из него: y = (С / А)(½). Результат будет в виде двух решений, поскольку значение квадратного корня из числа являются положительной и отрицательной величинами.
  6. При (С / А) < 0 корней нет вообще.

Следует также рассмотреть случай, когда свободный член С = 0 (Ay 2 + By = 0). Уравнение решается при помощи вынесения общего множителя за скобку. Алгоритм решения довольно простой:

  • Вынести неизвестную величину за скобку: y (Ay + B) = 0.
  • Разобрать каждое уравнение: y1 = 0 и Ay2 + B = 0.
  • Оба примера в пункте 2 решаются просто: первое — готовое решение, а второе — линейное.

Эти виды уравнений являются простыми. Отдельно следует описать принцип решения сложных тождеств с неизвестным.

Сложные типы

Сложнее решаются кубические тождества с неизвестным (Ay 3 + By 2 + Cy + D= 0). Они бывают нескольких типов, по которым и следует выбирать алгоритм решения:

  1. Ay 3 + D= 0.
  2. Ay 3 + By 2 + By + A = 0.
  3. Ay 3 + By 2 + Cy = 0.
  4. Ay 3 + By 2 + Cy + D = 0.

Для решения первого типа его следует привести к такому виду: y 3 + D/А= 0. Затем нужно воспользоваться формулой разложения на множители: y 3 + D/А = (y + (D/A)(1/3)) * (y 2 — [(D/A)(1/3)]y + [(D/A)2](1/3)) = 0. В результате операции степень понижается, и получаются два уравнения.

Второй тип следует решать при помощи метода математических преобразований: Ay 3 + By 2 + By + A = A (y 3 + 1) + B (y 2 + x) = A (y + 1)(y 2 — y + 1) + By (y + 1) = (y + 1)(Ay 2 + y (B — A) + A) = 0. Получаются два тождества: линейное и квадратное. Для решения третьего вида следует просто вынести неизвестное за скобку: Ay 3 + By 2 + Cy = y (Ay 2 + By + C) = 0.

Сложно решить уравнение четвертого типа. Для этого следует воспользоваться формулой Кардана. Кроме того, необходимо придерживаться такого алгоритма:

  • Ввести коэффициенты: Е1 = В/А, Е2 = С/А и Е3 = D/A.
  • Параметры для формулы: u = -((E1)2 / 3) + E2 и v = [2 (E1)3 / 27] – [(E1 * E2) / 3] + E3.
  • Формула Кардана: z = [(-v / 2) + ((v 2 / 4) + u 3 / 27)(½)](1/3) + [(-v / 2) — (-(v 2 / 4) + u 3 / 27)(½)](1/3).
  • Найти корни: y1 = z – E1, y2 = z – E2 и y3 = z – E3.

Существуют также и биквадратные уравнения вида Ay 4 + By 2 + C = 0. Все они решаются при помощи замены. Суть методики сводится к понижению степени. Алгоритм решения имеет такой вид:

  • Разделить все члены уравнения на А. Если А = 1, то этот пункт следует пропустить.
  • Ввести параметр замены: t = y 2.
  • Записать уравнение с учетом нового параметра: t 2 + (B/А)t + C/А = 0.
  • Найти корни квадратного уравнения относительно t.
  • Вернуться ко второму пункту, найти корни: y1 = t(½) и y2 = -[t(½)].

В пятом пункте следует учитывать, что корней может быть четыре, поскольку у квадратного тождества с неизвестным t есть один или два корня. Далее можно рассмотреть алгоритм для решения модульных уравнений.

Поиск корней

После изучения основных элементов, которые необходимы для решения равенств модульного типа с неизвестными, можно переходить к рассмотрению алгоритма. Следует на первоначальном этапе правильно раскрыть модуль в уравнении. Эту методику можно применить и к неравенствам такого же типа. Правила нахождения корней следующие:

  • Раскрыть модуль.
  • Упростить.
  • Решить два уравнения по одной из методик.
  • Проверить корни, подставив их в исходное выражение.
  • Автоматизированная проверка.

При раскрытии модуля образуются выражения с противоположными знаками. Специалисты рекомендуют заключить их в квадратные скобки, а также указывать минус и плюс. Последний пункт — использование онлайн-калькулятора для решения уравнений с модулем. После теории можно приступить к практическому решению.

Пример решения

Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z 4 + 8z 2 — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

  1. Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z 4 + 8z 2 — 20 = 4 и -[4z 4 + 8z 2 — 20] = 4.
  2. Упрощение: 4z 4 + 8z 2 — 20 — 4 = 4z 4 + 8z 2 — 24 = z 4 + 2z 2 — 6 = 0 и -4z 4 — 8z 2 + 20 — 4 = -z 4 + 2z 2 — 4 = 0.
  3. Решение z 4 + 2z 2 — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z 2 : t 2 + 2t — 6 = 0.
  4. Дискриминант: D1 = (-B)2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = [2 * (7)(½)]2.
  5. Корни: t1 = [-B — (D1)(½)] / 2A = [2 — 2 * (7)(½)] / 2 = -1 — (7)(½) и t2 = -1 + (7)(½).
  6. Окончательное решение первого уравнения: z1 = [-1 + (7)(½)](½) и z2 = -[-1 + (7)(½)](½).
  7. Решение второго уравнения с w = z 2 : w 2 + 2w — 4 = 0.
  8. Дискриминант: D2 = (-B)2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = [2 * (5)(½)]2.
  9. Корни: w1 = [-B — (D1)(½)] / 2A = [2 — 2 * (5)(½)] / 2 = -1 — (5)(½) и w2 = -1 + (5)(½).
  10. Нахождение искомых корней: z3 = [-1 + (5)(½)](½) и z4 = -[-1 + (5)(½)](½).

Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.

Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.

Источник: https://nauka.club/matematika/resheni%D0%B5-uravneniy-s-modulem.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий