Как правило данная величина напрямую. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Прямая пропорциональность и её график (В.А.Тарасов). урок. Алгебра 7 Класс

Как правило данная величина напрямую. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Напомним, что мы изучаем линейное уравнение относительно двух переменных – х и у, уравнение вида ,

Мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая линия, каждая точка которой характеризуется двумя числами – координатами х и у – абсциссой и ординатой, и каждая точка удовлетворяет заданному уравнению.

В одном из уроков мы выражали у через х:

Пользуясь тем, что  можем на него разделить обе части уравнения:

Для удобства приняли следующие обозначения:  , получаем:

Таким образом, была получена линейная функция у от х в общем виде. Мы ввели некоторые новые обозначения: х называем независимой переменной, или аргументом, у называем зависимой переменной, или функцией. k и m – параметры, которые полностью и однозначно определяют конкретную линейную функцию.

Рассмотрим частный случай линейной функции, когда , в таком случае  . Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром k. Нам следует изучить влияние данного параметра на график функции прямой пропорциональности и на саму функцию.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Пусть известно, что турист двигается со скоростью 2 км/ч от некоторого пункта А к другому пункту В. В таком случае пройденный им путь будет подчиняться закону:

 (1)

Если известно, что пассажир едет на поезде от некоторого пункта А к другому пункту В, а поезд движется со скоростью 60 км/ч, то в каждый момент времени можно определить удаление пассажира от начального пункта по формуле:

 (2)

В общем виде обе эти формулы можно представить как . Не важно, что подразумевают под собой переменные х и у, важно только, что одна из них независимая, например время, а вторая зависимая, например расстояние.

Вернемся к нашим примерам. В общем виде формулы 1 и 2 можно представить как

Отсюда  – это одна из физических интерпретаций углового коэффициента.

Если перейти к формуле прямой пропорциональности, то

Рассмотрим примеры:

Пример 2:

 (3) и  (4)  – обе функции это прямая пропорциональность. Построим графики этих функций, для этого составим таблицы:

Таблица для функции 3;

Таблица для функции 4;

Угловой коэффициент является аналогом скорости в равномерном прямолинейном движении.

Одна из основных задач – это уметь находить угловой коэффициент в различных выражениях.

Пример 3 – найти угловой коэффициент:

Отсюда очевидно, что

Отсюда очевидно, что

Отметим также, что если , то угол между графиком функции и положительным направлением оси х тупой и функция убывает, а если k>0 – угол острый и функция возрастает, это видно из графика в примере 2.

Физический аналог этому такой: если турист ушел из дома и его скорость равна 2км/ч, то в каждый момент времени расстояние от него до дома увеличивается, а если сказать, что расстояние выражается как , это значит, что он возвращается домой и расстояние сокращается.

Сформулируем свойства прямой пропорциональности:

– График любой такой прямой проходит через начало координат, так как в уравнении  при  независимо от значения  у будет равен нулю;

– Рассмотрим несколько функций:

 – прямая пропорциональность;

 – линейная функция;

 – линейная функция;

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции;

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит:

Если  – график прямой пропорциональности, то график  будет ему параллелен, так как коэффициент k определяет угол наклона к оси х, и этот коэффициент у функций равный.

Пример 3 – построить графики функций:

Сразу отметим, что прямые не будут параллельны, так как их угловые коэффициенты не равны.

Для построения каждого графика нам достаточно выбрать одну точку, так как вторая уже известна – это точка (0; 0).

Итак, для первого графика возьмем точку (1; 1)

Для второго графика возьмем точку (1; 2)

Для третьего графика (1; -1)

Для четвертого (1; -2)

По графику очень хорошо видно, что прямая  пошла круче, чем прямая , угол прямой  менее острый, при одинаковых значениях аргумента значение функции больше чем , но в обоих случаях угол острый и функция возрастает.

Обе прямые  и  имеют тупой угол наклона, обе функции убывают, но у прямой  менее тупой и эта функция убывает быстрее.

Пример 4 – определить соотношение между угловыми коэффициентами:

 отсюда

Итак, роль углового коэффициента – это скорость роста функции.

Рассмотрим некоторые типовые задачи.

Пример 5:

Построить график прямой пропорциональности, если известно, что ему принадлежит точка с координатами (2; 8)

Для построения прямой нам нужно две точки, первая из них (0; 0), так как все графики прямой пропорциональности проходят через точку (0; 0), а вторая точка задана – это точка (2; 8).

Можно поступить иначе. Из заданной точки (2; 8) мы понимаем, что х=2 и у=8 удовлетворяет нашему уравнению вида , подставим эти значения и найдем k:

, отсюда . Итак, нам задано уравнение , которое мы легко можем построить.

Пример 6:

Построить график прямой пропорциональности  и по нему ответить на множество вопросов.

Начнем с построения графика. Первая точка нам известна – для любого графика прямой пропорциональности это точка (0; 0). Для второй точки возьмем , тогда :

По графику требуется определить значение функции при следующих значениях аргумента: , , , ;

Кроме того, по заданному значению функции определить значение аргумента:

, ,

Определить по графику решение неравенств:

 и

y0

Пример 7 – найти наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют:

1)Задана функция , причем

2), 

Построим график функции :

Для первого случая х меняется в пределах , значит, у меняется в пределах , значит на этом интервале минимум функции равен нулю, а максимум трем.

Для второго случая х меняется в пределах , значит, функция меняется в пределах , значит, минимальное значение функции на этом интервале есть и оно равно трем, а максимального значения функция не достигает.

Последний тип задач – по заданному графику определить угловой коэффициент.

Пример 8 – определить угловой коэффициент:

Задан график прямой пропорциональности.

Мы видим, что график проходит через точку (1; 2), значит пара чисел х=1, у=2 удовлетворяет функции вида , значит, можем подставить значения в уравнение и найти k:

Итак, нам задан график функции

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы сформулировали свойства данной функции и основные типовые задачи, связанные с данной темой.

Список рекомендованной литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

Рекомендованное домашнее задание

  1. Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 299, ст.68;
  2. Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 300, ст.68;
  3. Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 305, ст.68;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/pryamaya-proportsionalnost-i-eyo-grafik

Конспект урока

Как правило данная величина напрямую. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Тема: Прямая пропорциональность

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Образовательные

  • знакомство с прямой пропорциональностью и коэффициентом прямой пропорциональности (введение понятия угловой коэффициент”);
  • построение графика прямой пропорциональности;
  • рассмотрение взаимного расположения графиков прямой пропорциональности и линейной функции с одинаковыми угловыми коэффициентами.

Развивающие

  • развитие навыков построения графиков функции y = kx + m;
  • развитие логического мышления;
  • развитие умений анализировать и делать выводы.

Воспитательные

  • воспитывать аккуратность, графическую культуру, культуру речи;
  • воспитывать умение работать в парах, прислушиваться к мнению напарника.

Методы:

  • словесно-наглядный (при объяснении нового материала);
  • групповой (работа в парах);
  • индивидуальный (при построении в тетрадях);
  • фронтальный (во время подведения итогов исследовательской работы и итогов урока вообще).

Структура урока:

  • организационный момент;
  • актуализация опорных знаний;
  • постановка целей;
  • знакомство с новым материалом;
  • первичное обобщение и систематизация нового;
  • домашнее задание;
  • подведение итогов.

Оборудование:

  • раздаточный материал;
  • плакаты и таблички для доски, магниты;
  • линейки, по три цветных карандаша на каждую парту;
  • цветные жетоны (4 цвета) на каждую парту;
  • маркеры для доски;
  • мультимедиа-проектор.

Ход урока

1. Организационный момент (приветствие, проверка готовности к уроку)

2. Актуализация опорных знаний.

1) Проверка домашнего задания (разбор нерешенных заданий).

2) Разминка. Вначале маленькая разминка. Положите перед собой Лист 1, поработайте с ним в парах. В задании № 1 исправьте красным карандашом ошибки в математических терминах. В задании № 2 определите какой из графиков является графиком данной функции. В задании № 3 подберите формулу, задающую функцию, графику которой дан. У вас на работу есть 3 минуты.

У вас на каждой парте лежат 4 карточки разного цвета. С помощью этих карточек сверим получившиеся результаты в заданиях № 2 и № 3.

Поднимите карточку, цвет которой соответствует выбранному ответу в № 2 (Сверяем по плакатам на доске, доска закрыта, плакаты с внешней стороны или слайд 1.)

Поднимите карточка, цвет которой соответствует выбранному ответу в № 3.

А теперь проверьте, правильно ли вы выполнили задание № 1 (открывается запись на маркерной доске).

Кто выполнил без ошибок? Молодцы.

3. Постановка целей.

(Открыли крылья доски)

Откройте, пожалуйста, тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “Прямая пропорциональность”. Обратите внимание на правильность написания слов.

Итак, сегодня на уроке мы с вами (Сообщая цели, к доске креплю соответствующие таблички):

Познакомимся с одним из видов линейной функции – прямой пропорциональностью;

Научимся строить график прямой пропорциональности;

Узнаем, что же такое угловой коэффициент;

Проведем маленькое исследование и сделаем вывод, а какой – это вы узнаете позже;

Научимся применять полученные знания.

4. Знакомство с новым материалом

Какой формулой записывается линейная функция? (y = kx + m)

Если m = 0, то какой вид примет линейная функция? (y = kx)

Такую функцию называют прямой пропорциональностью. А величины у и х прямо пропорциональными, если их отношение k = y / x равно конкретному числу, отличному от нуля. K – коэффициент пропорциональности.

Зависимость расстояния от времени при постоянной скорости движения – пример прямой пропорциональности. Если машина движется с постоянной скоростью 60 км/ч, то какой формулой можно задать путь, пройденный за t часов? (S = 60 t)

Зависимость стоимости покупки от количества купленного по одинаковой цене товара – это тоже пример прямой пропорциональности.

А какие примеры еще можно привести?

Какой вид имеет график линейной функции? (Прямая)

Сколько точек необходимо, чтобы построить график линейной функции? (Две)

Так как прямая пропорциональность – это частный вид линейной функции, то графиком прямой пропорциональности будет… (Прямая)

Постройте в тетрадях систему координат. Единичный отрезок 1 клетка. Выполните построение в этой системе координат графиков функций, цвет линии прямой должен соответствовать цвету листа с записью функции: y = x, y = 4x, y = – 3x.

(Вывешивается плакат с графикамиили слайд 2)

Что общего у этих графиков? (Они проходят через начало координат)

Действительно графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат (0; 0). То есть если х = 0, то у = к·0, т. е. У = 0. Значит, при построении графика прямой пропорциональности, таблица всегда будет иметь вид:

Х

0

У

0

Вторую точку выбираем произвольно.

Помните, что у = к/х. Значит, если дан график прямой пропорциональности, то всегда можно задать саму функцию.

Посмотрите на Лист 2.

Точка принадлежит графику, значит, ее координаты обращают в верное равенство уравнение у = кх.

Зная координаты одной из точек каждого графика, попробуем составить соответствующее уравнение прямой пропорциональности.

Работаем в парах.

Кто готов ответить? (Показываю соответствующие картинки – по 1 на листеили слайд 3)

Посмотрите, в случаях (б) и (в) коэффициент пропорциональности отрицателен.

В каких координатных четвертях находятся графики этих функций? (2 и 4)

А в случаях (а) и (г)? (1 и 3)

А каков коэффициент пропорциональности? (Положителен)

Посмотрите на то, какой угол образует прямая с положительным направлением оси Ох. (В (а) и (г) – острый, где k>0; в (б) и (в) –тупой, где k0, то графики расположены в (1 и 3) координатных четвертях, углы наклона графиков функций к оси Ох (острые)

Если коэффициент k0, что можно сказать про угол наклона? (Острый)

Если k

Источник: https://infourok.ru/konspekt-uroka-pryamaya-proporcionalnost-582187.html

Прямая и обратная пропорциональности

Как правило данная величина напрямую. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Лекция 19. Прямая и обратная пропорциональность

План:

1. Прямая и обратная пропорциональность, линейная и квадратичная функции, их свойства и графики.

2. Построение графиков функций.

3. Основные выводы

https://www.youtube.com/watch?v=JNG4nkHfXXs

Если t – время движения пешехода (в часах), s – пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t.

Так как каждому значению I соответствует единственное значение 5, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где k – не равное нулю действительное число.

Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае y/x = k (k ≠ 0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше.

Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т.е.

зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, ко­торые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорционально­сти достаточно найти лишь одну точку, при­надлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функ­ции у = 2х, достаточно иметь точку с коорди­натами (1, 2), а затем через нее и начало коор­динат провести прямую (рис. 89).

3. При k >0 функция у = kх возрастает на всей области определе­ния; при k < 0 - убывает на всей области определения.

4. Если функция f – прямая пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2), – пары соответственных значений переменных x и у, причем x2 ≠ 0, то x1/x2 = y1/y2

Действительно, если функция f – прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у1 = kх1, у2 = kх2. Так как при х2 ≠ 0 и k ≠ 0, то у2 ≠ 0. Поэтому y1/y2 = kx1/kx2 = x1/x2

Если значениями переменных х и у служат положительные дейст­вительные числа, то доказанное свойство прямой пропорционально­сти можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассмат­риваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов по­требуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины – время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем послед­няя величина постоянна, а две другие принимают различные значения.

Кроме того, количество сделанных деталей и время работы – величи­ны прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно – числу деталей, изготавливае­мых токарем за 1 ч.

Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность – k, то получим, что y/x = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение y при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свой­ством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличива­ется и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t– время движения пешехода (в часах), v – его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v · t = 20 или v= 20/t.

Так как каждому значению t (t≠0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =20/t задана функция.

Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k/x, где kне равное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в у = k/x есть перемен­ные x и у, которые могут быть значениями величин. А если произведе­ние двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае xy = k (к ≠ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональ­ности.

Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в x банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х · у = 12, т.е.

она является обратной про­порциональностью с коэффициентом k = 12.

Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1. Областью определения функции у = k/x и областью ее значений x является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция у = k/x является убывающей на всей области определения x (рис. 90). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = k/x является возрастающей на всей области определения х(рис.91)

4. Если функция f – обратная пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2) – пары соответственных значений переменных х и у, то x1/x2 = y1/y2.

Действительно, если функция f– обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = k/x, и тогда у1 = k/x1, у2 = k/x2. Так как х ≠ 0, х2 ≠ 0 и k ≠ 0, то y1/y2 = k/x2 : k/x1 = k ·x1/ k ·x2 = x1/x2.

Если значениями переменных x и у служат положительные дейст­вительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рас­сматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движе­ния велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения.

Кроме того, скорость и время движения – величины об­ратно пропорциональные, так как их произведение равно некото­рому числу, а именно пройденному расстоянию.

Если время движе­ния велосипедиста обозначить буквой у, скорость – х, а расстояние АВ – k, то получим, что ху = k или у = k/x, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропор­циональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ: 2 способ:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза)

2)60:20 = 3(ч) 2)6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что у = 60/x, нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойст­вом обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохож­дение одного и того же расстояния.

Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропор­циональными или прямо пропорциональными величинами наклады­ваются некоторые ограничения на x и у, в частности, они могут рас­сматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при усло­вии, что х ≤ 5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее об­ласть определения и область значений?

Решение. Катя купила у = 2х каранда­шей. При построении графика функции у = 2х необходимо учесть, что переменная х обо­значает количество карандашей и х ≤ 5, значит, она может принимать только зна­чения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции.

Чтобы полу­чить область значений данной функции, надо каждое значение х из области опреде­ления умножить на 2, т.е. это будет множе­ство {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, гра­фиком функции у = 2х с областью опреде­ления {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество то­чек, изображенных на рисунке 92.

Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.

Источник: https://studopedia.su/7_9993_pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnosti.html

Прямая и обратная пропорциональность

Как правило данная величина напрямую. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.

Прямая пропорциональность

Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.

Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час

Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км

Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.

Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.

Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50

Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности. Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.

Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения  и  составляют пропорцию:

Это отношение можно прочитать следующим образом:

Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.

Пример 2. Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.

Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.

Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму

Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:

Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.

Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.

Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:

На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.

Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью.

Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.

К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:

Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным

Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник: http://spacemath.xyz/pryamaya_proporcionalnost/

Прямая и обратная пропорциональность – формулы, свойства и графики функций

Как правило данная величина напрямую. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).

Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

  • область определения, значений составляют все действительные числа;

  • является нечетной;

  • возрастает при всех значениях x, если k > 0;

  • если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;

  • если k > 0, то прямая располагается в 1 – 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 - 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция задается формулой:

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Свойства функции обратной пропорциональности

Основные следующие:

  • области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

  • если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

  • оси координат 0х и 0у – это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше. 

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Источник: https://nauka.club/matematika/pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnost.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий