Как решать логарифмические неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств

Логарифмические уравнения и неравенства

Как решать логарифмические неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3.

Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично».

В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Определение

Функцию вида

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = loga x:

a > 10• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:•  Равенство log a t = log a s, где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):Теорема 1. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение log a f(x) = log a g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:С учетом того, чтополучаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:В область допустимых значений входит только первый корень.Ответ: x = 7.Пример 2. Решите уравнение:Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.Ответ: корней нет.Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).Примет 3. Решите уравнение:Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.Используем подстановку:Уравнение принимает вид:Обратная подстановка:Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.Пример 4. Решите уравнение:Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.Ответ: x = -1.Пример 5. Решите уравнение:Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.Пример 6. Решите уравнение:Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);при 0 log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:Пример 8. Решите неравенство:Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:Пример 10. Решите неравенство:Решение.Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:И второй:Итак, окончательный ответ:II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, посколькуС учетом того, что выражения и — одного знака при в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:Множество решений данного неравенстваИтак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

  • Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
  • Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
  • В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.Репетитор по математике в МосквеСергей ВалерьевичНужно выучить правила игры. А затем, нужно начать играть лучше всех. © Дейл Карнеги

Источник: https://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BB%D0%BE%D0%B3

Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства?

Как решать логарифмические неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств

Если проще: это неравенства, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\) \(\log_3⁡ {(x2-3)}< \log_3⁡{(2x)}\) \(\log_{x+1}⁡{(x2+3x-7)}>2\)

\(\lg2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из знаков сравнения). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если основание логарифма – число и оно больше 1 – знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание – число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}0\) \(-x>-8\) \(x4\\x > -1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x\in(2;\infty)\) Решение:\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\)Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

\(-\) вы написали ОДЗ для исходного неравенства. Напоминаю ОДЗ для логарифма \(\log_a⁡b\):

\(b>0\), \(a>0\), \(a≠1\).

\(-\) число в основании логарифмов слева и справа одинаково;

\(-\) логарифмы слева и справа – «чистые», то есть нет никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы и слева, и справа;

Кстати, в конце (после решения) не забудьте пересечь решения неравенства с ОДЗ.

Например:

1) \(\log_3⁡{(x2-3)}>\log_3⁡{(2x)}\) \(x2-3>2x\) \(x2-2x-3>0\) \(x∈(-∞;-1)∪(3;+∞)\)Не написали ОДЗ и не пересекли с ним решение. Неравенство решено неверно.
2) \(\log_5⁡{(x-7)}≤\log_3{⁡4} \)Основания логарифмов разные, переход к \(x-7≤4\) невозможен.
3) \(\log_6⁡{(x-2)}-\log_6⁡{x}0\)Теперь очевидно, что корни у нас – числа \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) Построим числовую ось и отметим на ней эти точки.
Запишем ОДЗ в виде интервалов.
\(x∈(-∞;\)\(\frac{2}{3}\)\()∪(\)\(\frac{3}{2}\)\(;∞)\)С ОДЗ закончили, переходим к решению.
Решение:  \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)Воспользовавшись свойствами логарифмов и свойствами степени, преобразуем правую часть: \(-1=-1 \cdot 1=-1 \cdot \log\) \(_\frac{1}{3} \frac{⁡1}{3}\)\(=\log\)\(_\frac{1}{3}⁡ {\frac{1}{3}}{-1}\) \(=\log\) \(_\frac{1}{3}\) \(⁡3\).
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤\log\) \(_{\frac{1}{3}}\)\(3\)Мы привели неравенство к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\). Теперь можно избавиться от логарифмов и оснований. Нужно только определиться, менять знак сравнения или нет. Основание \(\frac{1}{3}0\)Решение:
\(\log2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)Приступим к решению.
Решение: \(\log2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем замену.
\(t=\log_3⁡x\) \(t2-t-2>0\) Раскладываем левую часть неравенства на множители.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)Решаем неравенство методом интервалов.
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t2 \\ \log_3⁡x\log_39 \\ \log_3⁡x9 \\ x

Источник: http://cos-cos.ru/math/76/

Как решить логарифмическое неравенство

Как решать логарифмические неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.

Рассмотрим, как это работает на практике.

Решение логарифмического неравенства с основанием больше 1

Вначале определяем ОДЗ:  2х + 4 > 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 < а < 1. В этом случае знак исходного неравенства меняется на противоположный. Получим:

Решаем полученное неравенство. Так как основания у логарифмов в обеих частях равны, то их можно отбросить, в результате чего получим:Вспоминаем про ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением нашего неравенства является:

Такие неравенства являются простыми, так как основания логарифмов, которые присутствовали в наших неравенствах, были четко определены.

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием

А что делать, если основание логарифма, который присутствует в неравенстве, содержит Х? То есть нельзя четко сказать а > 1 или 0 < а < 1. Такое логарифмическое неравенство называется логарифмическим неравенством с переменным основанием. Решить его можно двумя способами – с помощью определения логарифма с переменным основанием и методом рационализации.

Давайте рассмотрим оба способа. И для наглядности решим одно логарифмическое неравенство двумя этими способами.

Итак, мы имеем неравенство

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: классический подход

Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства с переменным основанием только с помощью определения логарифма, поэтому-то его и назвали классическим подходом.

Выше мы говорили о том, что при решении неравенств, содержащих логарифмы, необходимо обращать внимание на основание логарифма, которое может быть либо больше единицы, либо меньше единицы, но при этом больше ноля. И в зависимости от этого определяем знак неравенства.

С помощью такого подхода можно решить и логарифмическое неравенство с переменным основанием, то есть с основанием, которое содержит Х, и о котором невозможно сказать больше оно единицы или меньше. В этом случае нам просто нужно рассмотреть два случая: когда исходное неравенство больше единицы, и когда исходное неравенство меньше единицы, но больше ноля.

Вернемся к нашему примеру.Для начала нам нужно преобразовать данное неравенство в такой вид, где слева и справа будут логарифмы с одинаковым основанием. Для этого вспомним такое свойство логарифмов, как логарифмическая единица:То есть в нашем примере правую часть можно преобразовать следующим образом:Таким образом наше неравенство примет вид:

Теперь нам нужно рассмотреть два случая, когда основание логарифма больше единицы и, когда основание логарифма меньше единицы, но больше нуля. При этом не забываем про область допустимых значений.
Отметим полученные точки на числовой оси:Таким образом, решением исходного неравенства является (-2/3;6) .

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием: метод рационализации

Метод рационализации заключается в том, что исходное неравенство видаВместо V может стоять знак: >, -4½

Решение третьего неравенства: х < 7

Решение четвертого неравенства: х ≠ 6

Совместим решения всех неравенств на числовой оси:

На приведенном примере мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство двумя способами. Часто решение методом рационализации бывает более коротким, соответственно, на него вы потратите гораздо меньше драгоценного времени, отведенного на ЕГЭ. Потому рекомендуем потренироваться в решении логарифмических неравенств этим методом, чтобы без затруднения воспользоваться им на ЕГЭ.

урок: решение сложного логарифмического неравенства

В данной статье мы разобрали, как решить логарифмическое неравенство. Еще больше примеров решения логарифмических неравенств вы можете найти в нашей группе .

Источник: http://yourrepetitor.ru/logarifmicheskoe-neravenstvo-reshenie-na-primerax/

Логарифмические неравенства

Как решать логарифмические неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log5(15 + 3x) > log52x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

Ответ:

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ:

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак,

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

Ответ:

9. Решите неравенство:

Выражение 5-x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (59 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)2.

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x – 18)2=(18 – x)2. Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

– не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Источник: https://ege-study.ru/logarifmicheskie-neravenstva-1/

Решение логарифмических неравенств

Как решать логарифмические неравенства. Решение простейших логарифмических неравенств

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-02-10

» СТАТЬИ » ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » Решение логарифмических неравенств

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения  можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении  логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

V , где V – один из знаков неравенства: , ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

равносильно системе:

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

равносильно системе:

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

1. Решим  неравенство:

Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

Корни квадратного трехчлена: ,  

Отсюда:

Ответ:

2. Решим неравенство:

Мы видим, что  в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:

Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).

Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:

Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется. Не забываем про ОДЗ:

Отсюда:

Ответ: 

3. Решим неравенство:

В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство  мы будем решать с помощью замены переменных.

Сначала приведем логарифмы к одному основанию:

Введем замену переменных:

.

Получим квадратное неравенство:

Значит, .

Запишем это двойное неравенство в виде системы:

Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем  вернуться к исходной переменной.

Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:

Последнее неравенство системы – это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.

Решим систему.

Первое неравенство системы преобразуется к виду

 Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .

Второе неравенства преобразуется к виду , отсюда 

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2012/02/10/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий