Как решать задачи B15 без производных. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Решаем задачи B14 из ЕГЭ

Как решать задачи B15 без производных. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной.

Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы.

Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
  • Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
  • Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 18×2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

  • Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
  • Производная функции равна: y’ = 3×2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
  • Нули производной: y’ = 3×2 – 36x + 81 = 0, значит x2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x3 – 18×2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:
    •  y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;
    • y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;
    • y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции:
.

Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

  • Область определения функции задается неравенством:, которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
  • Производная функции равна:,область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x2 – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
  • Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
  • Находим это значение:.

Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.

Репетитор по математике
Сергей Валерьевич

Источник: https://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B0%D0%B5%D0%BC-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-b14-%D0%B8%D0%B7-%D0%B5%D0%B3%D1%8D

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Как решать задачи B15 без производных. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-05-20

» СТАТЬИ » 12 Задание (2016) » Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с “+” на “-“.

В точке минимума функции производная меняет знак с “-” на “+”.

6. Находим значение функции в концах отрезка,

  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее – в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее – в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  – множество действительных чисел.

2. 

3. , если  или

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание – убывание, можно схематично изобразить ее график:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2.

3. 

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [].

1. ОДЗ функции  

2. 

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

, следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [].

1.  ОДЗ функции :

2. 

3.

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку  принадлежат два числа:  и 

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки  и  производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции  на координатной прямой:

Очевидно, что точка  является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с “-” на “+”), и чтобы найти наименьшее значение функции  на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а  таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции 

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2012/05/20/nahozhdenie-naibolshego-i-naimenshego-znacheniya-funktsii-na-otrezke-zadanie-v14

Уроки алгебры и начала анализа по теме

Как решать задачи B15 без производных. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Класс: 11

Образовательные задачи урока.

  • повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарные и критические точки;
  • ввести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
  • сформировать умение решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения степенной функции на отрезке с помощью производной.
  • разобрать прототипы задач № 1 В14 экзаменационной работы в формате ЕГЭ.
  • Продолжить формирование общеучебных умений и навыков: навыков самоконтроля, умения писать необходимом темпе.
  • Воспитательные задачи:

  • cодействовать в ходе урока формированию основных мировоззренческих идей (материальность мира, познаваемость мира и его закономерностей, обусловленность развития науки потребностям производства);
  • cодействовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм;
  • cодействовать профилактике утомляемости школьников, используя разнообразные виды работы на уроке.
  • I. Организационный момент.

    Приветствие. Проверка готовности класса к уроку. Выявление отсутствующих.

    II. Актуализация знаний учащихся.

    Повторить с учащимися основные понятия прошлых уроков: точки экстремума, каково достаточное условие точек экстремума, стационарные точки и критические точки (учащихся отвечают с места)

    Повторить таблицу производных основных функций и основные правила нахождения

    III. Изучение нового материала.

    Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

    (учащиеся записывают себе в тетрадь).

    Пусть функция непрерывна и дифференцируема на отрезке , то для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нужно:

    1. найти производную функции, найти стационарные точки (решаем уравнение, приравнивая производную к нулю)
    2. среди полученных стационарных точек выбрать те, которые принадлежат отрезку
    3. найти значение в стационарных точках и в концах отрезка, то есть и .
    4. среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

    Записать схему нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке в тетради (учитель оформляет схему на доске):

    Пусть непрерывна на и дифференцируема. Тогда, для нахождения или :

    1. Находим находим
    2. Проверяем принадлежность отрезку
    3. Находим , , .
    4. Среди полученных значений выбираем или .
    5. Записываем ответ (Акцентировать внимание, что в ответе должно быть записано либо целое число, либо конечная десятичная дробь).

    Пример № 1

    . Найти наименьшее значение функции на отрезке . (Учитель совместно с учащимися записывает решение на доске последовательно проговаривая каждый пункт алгоритма).

    Решение:

    Ответ:

    Пример № 2.

    Найти наибольшее значение функции на отрезке

    Решение:

    Ответ: 23

    Пример № 3.

    Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

    Решение:

    Ответ: -3

    Пример № 4.

    Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

    Решение:

    Упростим функцию

    Ответ: 1

    IV. Закрепление материала.

  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • V. Итоги урока.

  • Повторить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  • Выставить отметки за урок.
  • VI. Домашнее задание:

  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  • Найдите наибольшее значение функции на отрезке
  • Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  • Найти наибольшее значение функции на отрезке
  • Урок № 2. “Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций и на отрезке .

    Тип урока:

    комбинированный.

    Образовательные задачи:

  • обеспечить повторение в ходе урока алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
  • продолжить формирования навыка применения этого алгоритма при решении второго типа задач экзаменационных вариантов ЕГЭ;
  • продолжить формирование общеучебных умений и навыков: навыков самоконтроля, умения в необходимом темпе читать и писать, анализировать условия задачи.
  • Воспитательные задачи:

  • содействовать в ходе урока формированию основных мировоззренческих идей (материальность мира, познаваемость мира и его закономерностей, обусловленность развития науки потребностям производства);
  • содействовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм. умение слушать товарищей;
  • содействовать профилактике утомляемости школьников.
  • I. Организационный момент.

    Приветствие. Проверка готовности класса к уроку. Выявление отсутствующих.

    II. Проверка домашнего задания.

    Фронтальная проверка домашнего задания. Если у большинства учащихся возникли вопросы, разобрать на доске решение конкретного задания, если лишь у некоторых, объяснить в индивидуальном порядке, предварительно схематично обговорив решение у доски.

    III. Актуализация знаний.

    Повторить еще раз алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с оформлением схемы на доске.

    Повторить следующие формулы для дальнейшего изучения материала:

    , ,

    Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/627776/

    Как решать задачи B15 без производных

    Как решать задачи B15 без производных. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

    29 января 2012

    Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

    В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

    Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b], если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

    x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

    Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x1 и x2 этого отрезка выполняется следующее:

    x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

    Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

    Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

    f (x) = loga x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

    Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

    Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

    f (x) = a x (a > 0)

    Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

    Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

    Координаты вершины параболы

    Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax2 + bx + c. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

    1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
    2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

    Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

    Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

    Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x0 для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

    Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

    1. Отрезок [a; b] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
    2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы x0, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

    Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

    1. Выписать уравнение параболы y = ax2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x0 = −b/2a;
    2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

    На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

    Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

    Задача. Найдите наименьшее значение функции:

    Под корнем стоит квадратичная функция y = x2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

    Вершина параболы:

    x0 = −b/(2a) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

    Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x0 = −3 функция y = x2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

    Корень монотонно возрастает, значит x0 — точка минимума всей функции. Имеем:

    Задача. Найдите наименьшее значение функции:

    y = log 2 (x2 + 2x + 9)

    Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x2 + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

    Вершина параболы:

    x0 = −b/(2a) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

    Итак, в точке x0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x — монотонная, поэтому:

    ymin = y(−1) = log 2 ((−1)2 + 2 · (−1) + 9) = … = log 2 8 = 3

    Задача. Найдите наибольшее значение функции:

    В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x2. Перепишем ее в нормальном виде: y = −x2 − 4x + 1.

    Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

    x0 = −b/(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

    Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x0 = −2:

    Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

    Следствия из области определения функции

    Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

    1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

      y = loga f (x) ⇒ f (x) > 0

    2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

    3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

    Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

    Задача. Найдите наибольшее значение функции:

    Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x2. Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

    Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

    3 − 2x − x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

    Теперь найдем вершину параболы:

    x0 = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

    Точка x0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x0, а также на концах ОДЗ:

    y(−3) = y(1) = 0

    Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

    Задача. Найдите наименьшее значение функции:

    y = log 0,5 (6x − x2 − 5)

    Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

    6x − x2 − 5 > 0 ⇒ x2 − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

    Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

    Ищем вершину параболы:

    x0 = −b/(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

    Вершина параболы подходит по ОДЗ: x0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x0:

    ymin = y(3) = log 0,5 (6 · 3 − 32 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

    Источник: https://www.berdov.com/ege/extremum/other_way/

    WikiMedForum.Ru
    Добавить комментарий