Как решить икс. Решение показательных уравнений. Примеры

Показательные уравнения – алгебра, уроки

Как решить икс. Решение показательных уравнений. Примеры

Просмотр
содержимого документа

Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах=b (a>0, а1).

Решение показательного уравнения вида af(x)=ag(x) (a>0, а1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).

Следствие. Пусть a>0, а1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as=at, то s=t.

Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. ; ; х=4.

Ответ: 4

Пример 2. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Задание 1. Решите уравнение…

1) =1252) =3) 27х=4) = ‑25) =625
6) =7) 6х=12968) =89) =10) = ‑2,5

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или .

Решая квадратное уравнение, находим х1=2, х2=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.

Ответ: 2; 4

Задание 2. Решите уравнение…

1)2)3)
4)5)6)
7)8)9)
10)

Пример 4. Решите уравнение 102х ‑ 5=100.

Решение. 102х ‑ 5=100; 102х ‑ 5=102; 2х ‑ 5=2; отсюда х=3,5.

Ответ: 3,5

Пример 5. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Задание 3. Решите уравнение…

1) 35 – 2х=812) 48+5х=13) 32 –х=274) 4х2+х=165) 2х+2=128
6) 2х+1=167) 2х – 1=328) 3х2 –х=19) 9 –х=2710) 4 –х=16

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16=2421/2=24,5.

Из уравнения 2х2‑6х‑2,5=24,5 получаем х2‑6х ‑2,5=4,5, откуда х= ‑1 и х=7.

Ответ: ‑ 1; 7

Пример 7. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Пример 8. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ:

Задание 4. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 9. Решите уравнение .

Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; ; ;

; ; x= ‑ 2.

Ответ: ‑ 2

Пример 10. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Пример 11. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ: 1

Задание 5. Решите уравнение…

1)2)3) =4)
5)6)7)8)
9)10) =

Пример 12. Решите уравнение .

Решение. Воспользуемся свойством степени:

; ; . Отсюда х=2.

Ответ: 2

Задание 6. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. ; ; ; 2x=3; x=.

Ответ:

Пример 14. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 2: .

Ответ:

Пример 15. Найдите корень уравнения .

Решение. Преобразуем правую часть уравнения: .

Получаем уравнение

Ответ:

Задание 7. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 16. Решите уравнение .

Решение. По определению корня имеем: .

Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; .

; 9(x – 1)=4(2 – x); 9x – 9=8 – 4x; 13x=17; x=.

Ответ:

Задание 8. Решите уравнение…

1) =2) =43) =4) =27
5) =6) (=7) =8) 16 ‑1=2x
9) (=10) 8 ‑1=2x/2

Пример 17. Решите уравнение .

Решение. ; ; |x+1|=2  

Ответ: 1; ‑ 3

Задание 9. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. ; ; 1=x – 2; x=3.

Ответ: 3

Задание 10. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6)
7)8)
9)10)

Решение показательных уравнений разложением на множители

Этот способ используется в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.

Причем, если a>1, выносится степень с меньшим показателем; если 00, b0, являются однородными.

Путем деления обеих частей таких уравнений на они сводятся к квадратным уравнениям вида .

Пример 27. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

.

Разделим обе части полученного уравнения на :

. Пусть Тогда .

Корни этого уравнения t1=1, t2=.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:  .

Ответ: 0; ‑ 1

Задание 15. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6)
7)8)
9)10)

Метод почленного деления

Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями на одну из степеней.

При этом удобнее делить на степень с большим показателем.

Пример 28. Решите уравнение 9х+6х=24х.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4х≠0, получим +=2, +‑2=0. Обозначим =у, у>0, получим у2+у ‑2=0; y1= ‑2; у2=1. ‑2 не удовлетворяет условию у>0. Имеем =1. х=0.

Ответ: 0

Задание 16. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6)
7)8)

Логарифмирование

Уравнения вида af(x)=bg(x) (a>0, a≠1, b>0, b≠1), где f(x) и g(x) – элементарные функции, решаются логарифмированием обеих частей.

Уравнения вида , где a>0, a1 имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: . Тогда .

Пример 29. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 3.

Получаем: ; ; ; .

Ответ:

Задание 17. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 30. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Умножим обе части уравнения на положительное выражение , получим:, откуда и .

, , значит, указанному промежутку принадлежит только корень .

Ответ: 0,5; 2 и 2;  0,5

Пример 31. Решите уравнение .

Решение. Поскольку и при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 2:

; .

Далее раскроем скобки и выразим х: х+1=(2 – х), откуда х+х=2 – 1, x=.

Ответ:

Задание 18. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Показательно-степенные уравнения

Уравнения вида (переменная в основании и в показателе степени) называются показательно-степенными.

Уравнения этого вида не являются ни показательными, ни степенными. Их корнями являются решения системы: , а также те значения х, для которых f(x)=1 (если при этих значениях определены функции y(x) и h(x)), и те значения х, для которых f(x)0.

При этом, если f(x)=0, то h(x)N и y(x)N; если f(x)0, получим +у=4, т.е. y2‑4y+1=0. у1=2+, у2=2 ‑ , тогда =2+ или =2 ‑ .

Отсюда х1=2, х2= ‑ 2.

Ответ: 2; ‑ 2

Задание 22. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6) +
7)8)
9)

Пример 38. Вычислите , если .

Решение. ==

==

=.

Ответ:

Задание 23. Вычислите…

1) , если
2) , если
3) , если
4) , если
5) , если

Пример 39. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

. Разделим обе части уравнения на и получим уравнение .

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку :

Получим число: .

Ответ: ;

Пример 40. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. .

Заданному промежутку принадлежат числа ; .

Ответ: ; ; .

Пример 41. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Пусть тогда исходное уравнение запишется в виде ; , ; .

; .

; .

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку:

Получим числа: и .

Ответ: ; ;

Источник: https://mega-talant.com/biblioteka/pokazatelnye-uravneniya-85757.html

Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?

Как решить икс. Решение показательных уравнений. Примеры

Примеры:

\(4x=32\) \(5{2x-1}-5{2x-3}=4,8\)

\((\sqrt{7}){2x+2}-50\cdot(\sqrt{7}){x}+7=0\)

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a{f(x)}=a{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
\(a{f(x)}=a{g(x)}\)       \(⇔\)        \(f(x)=g(x)\)

Например:                                             \(2{x+1}=22\)           \(⇔\)          \(x+1=2\)

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

1)  \(3{x+2}=5{8-x}\)В этом показательном уравнении переход к \(x+2= 8-x\) невозможен, так как в основаниях разные числа
2)  \(7{x}+7{3x}=7{2x}\)Здесь переход к \(x+3x=2x\) также невозможен, так как слева стоит сумма.
3)  \(2{5-x}=-2{7x}\)И в этом случае перейти к \(5-x=7x\) нельзя, ведь справа есть минус.

Для привидения уравнения к виду \(a{f(x)}=a{g(x)}\) применяются свойства степеней и свойства корней.

Пример. Решить показательное уравнение  \(\sqrt{27}·3{x-1}={(\frac{1}{3})}{2x}\)
Решение:

\(\sqrt{27}·3{x-1}={(\frac{1}{3})}{2x}\)Мы знаем, что \(27 = 33\). С учетом этого преобразуем уравнение.
\(\sqrt{33}·3{x-1}={(\frac{1}{3})}{2x}\)По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{33}=({33}){\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((ab )c=a{bc}\), получаем \({(33)}{\frac{1}{2}}=3{3 \cdot \frac{1}{2}}=3{\frac{3}{2}}\).
\(3{\frac{3}{2}}\cdot 3{x-1}=(\frac{1}{3}){2x}\)Также мы знаем, что \(ab·ac=a{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3{\frac{3}{2}}·3{x-1}=3{\frac{3}{2}+ x-1}=3{1,5 + x-1}=3{x+0,5}\).
\(3{x+0,5}=(\frac{1}{3}){2x}\)Теперь вспомним, что: \(a{-n}=\frac{1}{an}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{an} =a{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{31} =3{-1}\).
\(3{x+0,5}=(3{-1} ){2x}\)Применив свойство \((ab )c=a{bc}\) к правой части, получим: \((3{-1} ){2x}=3{(-1)·2x}=3{-2x}\).
\(3{x+0,5}=3{-2x}\)И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д.  Значит, можем делать переход.
\(x+0,5=-2x\)Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ.

Ответ: \(x=-\frac{1}{6}\).

Пример. Решить показательное уравнение  \(2{x+3}+2{x+2}-2{x+1}=160\)
Решение:

\(2{x+3}+2{x+2}-2{x+1}=160\)Воспользуемся свойством степени \(ab \cdot ac=a{b+c}\) в обратном направлении.
\(2x \cdot 23+2x \cdot 22-2x \cdot 21=160\)Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель \(2x\) …
\(2x (23+22-21 )=160\)…и вычисляем содержимое в скобке.
\(2x (8+4-2)=160\)
\(10 \cdot 2x=160\)Делим на \(10\) обе части уравнения…
\(2x=16\)…и дорешиваем до ответа.
\( 2x=24\)

Ответ: \(4\).

Иногда одних только свойств степеней оказывается недостаточно, и приходиться применять стандартные приемы для решения более сложных уравнений – замену переменной, расщепление  уравнения и т.д. 

Пример. Решить показательное уравнение  \(4{x+0,5}-5·2x+2=0\)
Решение:

\(4{x+0,5}-5·2x+2=0\)Вновь пользуемся свойством степени \(ab \cdot ac=a{b+c}\) в обратном направлении.
\(4x·4{0,5}-5·2x+2=0\)Теперь вспоминаем, что \(4=22\).
\((22 )x·(22 ){0,5}-5·2x+2=0\)Используя свойства степени, преобразовываем: \((22 )x=2{2x}=2{x·2}=(2x )2\)\((22 ){0,5}=2{2·0,5}=21=2.\)
\(2·(2x )2-5·2x+2=0\)Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2x\).
\(2t2-5t+2=0\)Получили обычное квадратное уравнение. Решая его, находим корни.
\(t_1=2\)                        \(t_2=\frac{1}{2}\)Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.
\(2x=2\)                      \(2x=\frac{1}{2}\)Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…
\(2x=21\)                     \(2x=2{-1}\)…и дорешиваем до ответа.
\( x_1=1\)                      \( x_2=-1\)

Ответ: \(-1; 1\).

Остается вопрос – как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом.

А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь».

То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников: – положительное число в степени равно нулю, например, \(2x=0\);

– положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2x=-4\).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс – положительное число, то с ростом икса вся степень \(2x\) будет только расти:

\(x=1\);        \(21=2\) \(x=2\);        \(22=4\)

\(x=3\);        \(23=8\).

И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки).
Может быть нам поможет \(x=0\)? Проверяем:

\(x=0\);        \(20=1\)

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a{-n}=\frac{1}{an}\), проверяем:

\(x=-1\);        \(2{-1}=\frac{1}{21} =\frac{1}{2}\) \(x=-2\);        \(2{-2}=\frac{1}{22} =\frac{1}{4}\)

\(x=-3\);        \(2{-3}=\frac{1}{23} =\frac{1}{8}\)

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a{f(x)}=b{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа.

Например:

\(7{x}=11{x}\) \(5{x+2}=3{x+2}\)

\(15{2x-1}=(\frac{1}{7}){2x-1}\)

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

\(\frac{a{f(x)}}{b{f(x)}}\) \(=1\)

Дальше решаем с помощью свойств степени.

Пример. Решить показательное уравнение  \(5{x+7}=3{x+7}\)
Решение:

\(5{x+7}=3{x+7}\)Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов). А значит мы не можем прийти к виду \(a{f(x)}=a{g(x)}\). При этом показатели одинаковы. Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3{x+7}\) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).
\(\frac{5{x+7}}{3{x+7}}\)\(=\)\(\frac{3{x+7}}{3{x+7}}\)Теперь вспоминаем свойство \((\frac{a}{b})c=\frac{ac}{bc}\) и используем его слева в обратном направлении. Справа же просто сокращаем дробь.
\((\frac{5}{3}){x+7}\)\(=1\)Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.
\((\frac{5}{3}){x+7}\)\(=\)  \((\frac{5}{3})0\)Вуаля! Избавляемся от оснований.
\(x+7=0\)Пишем ответ.

Ответ: \(-7\).

Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Пример. Решить показательное уравнение  \(7{ 2x-4}=(\frac{1}{3}){-x+2}\)
Решение:

\(7{ 2x-4}=(\frac{1}{3}){-x+2}\)Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна \(\frac{1}{3}\)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку.
\(7{ 2(x-2)}=(\frac{1}{3}){-x+2}\)Помня свойство \((ab )c=a{b·c}\) , преобразовываем слева: \(7{2(x-2)}=7{2·(x-2)}=(72 ){x-2}=49{x-2}\).
\(49{x-2}=(\frac{1}{3}){-x+2}\)Теперь, вспоминая свойство отрицательной степени \(a{-n}=\frac{1}{a}n\), преобразовываем справа: \((\frac{1}{3}){-x+2}=(3{-1}){-x+2}=3{-1(-x+2)}=3{x-2}\)
\(49{x-2}=3{x-2}\)Аллилуйя! Показатели стали одинаковы! Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.

Ответ: \(2\).

Смотрите также:
Показательные  неравенства

Скачать статью -5{2x-3}=4,8\) \((\sqrt{7}){2x+2}-50\cdot(\sqrt{7}){x}+7=0\) При решении любое пок&#”,”word_count”:963,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: http://cos-cos.ru/math/145/

Показательные уравнения. Более сложные случаи. урок. Алгебра 11 Класс

Как решить икс. Решение показательных уравнений. Примеры

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция – это функция вида , где основание степени  и  Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при  возрастает, при  убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При  когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При  наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель – свести каждое из них к простейшему.

Пример 1:

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Пример 2:

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Пример 3:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

1.

2.

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень  и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

Пример 4:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену:  (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Пример 5:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену:  (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Решение отдельных показательных уравнений является ключом к решению систем показательных уравнений.

Пример 6 – решить систему:

В обоих уравнениях приведем основания степеней к простым числам:

Получили систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных, такие системы мы умеем решать, например, методом подстановки:

Ответ: (1;3)

Итак, мы рассмотрели решение разнообразных сложных показательных уравнений, вывели методики их сведения к простейшим показательным уравнениям. На следующем уроке перейдем к решению показательных неравенств.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 465, 471;

2.      Решить уравнение:

3.      Решить систему уравнений:

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-uravneniya-bolee-slozhnye-sluchai

Показательные уравнения и неравенства

Как решить икс. Решение показательных уравнений. Примеры

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств.

В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3.

Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные.

В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений.

О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

Свойствоa > 10 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:Пример 1. Решите уравнение:Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:Уравнение тогда принимает вид:Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:Переходя к обратной подстановке, получаем:Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.Ответ: x = 3.Пример 2. Решите уравнение:Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.Ответ: x = 6.Пример 3. Решите уравнение:Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:Ответ: x = 0.Пример 4. Решите уравнение:Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.Ответ: x = 0.Пример 5. Решите уравнение:Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.Ответ: x = -1.Пример 6. Решите уравнение:Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:Итак, окончательный ответ:Пример 10. Решите неравенство:Решение:Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3×2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.Ответ: x = 1.Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.Репетитор по математике в ТропарёвоСергей Валерьевич

Источник: https://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%BA

Методы решения показательных уравнений

Как решить икс. Решение показательных уравнений. Примеры

Методы решения показательных уравнений

1. Простейшие показательные уравнения

Тип уравненияВид уравненияМетод решения
1(x)
 

2

b = ab

b>0

b

b

=

f(x) = 1

f(x) =Решений нет

Примеры.

Пример 1.

Решите уравнение: 34x-5 = 3x+4 .

Решение.

34x-5 = 3x+4 4x 5 = x+4 3x=9 x = 3 .

Ответ:3

Пример 2.

Решите уравнение: 2x-4 = 3 .

Решение.

2x-4 = 3 x- 4 = x = + 4 x = + x = .

Ответ:

.

Пример 3

. Решите уравнение:-3x = -7 .

Решение.

-3x = -7 , решений нет, так как -3x > 0 для x R .

Ответ: .

2. Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.

A. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .

Решение.

27- = 0 3334x-9- (32)x+1 = 0 33+ (4x-9)- 32(x+1) = 0 34x-6-32x+2 = 0 34x-6 = 32x+2 4x-6=2x+2 2x = 8 x=4.

Ответ:

4.

Пример 2. Решите уравнение

: .

Решение.

0 (22)x3x5x = 604x-15 4x3x5x = 604x-15 (4x = 604x-15 60x=604x-15 x=4x-15 3x=15 x=5.

Ответ:

5. В. Уравнения, решаемые разложением на множители.Примеры.

Пример 1.

Решите уравнение: x2x = 22x + 8x-16.

Решение.

x2x = 22x + 8x-16 x2x – 22x = 8x-2) 2x(x-2) – 8 (x-2) x – 8) = 0 .

Ответ:

Пример 2

. Решите уравнение:

Решение.

52x – 7x – 52×35 +7x = 0 (52x – 7x)((

Ответ:

0.

С. Уравнения, которые с помощью подстановки f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).

Пусть , где А, В, С – некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A2 + B + C = 0

Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению f(x) = t, решаем его и записываем ответ.

Примеры.

Пример 1 . Решите уравнение: 22+x – 22-x = 5.

Решение.

22+x – 22-x = 5 222x – = 15 4(2x)2 – 4 = 15x

Делаем замену t = 2x, t > 0. Получаем уравнение 42 – 4 = 15t 4t2 – 15t – 4=0

, t = не удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:

2х = 4 2x = 22 x=2.

Ответ: 2

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение.

5

Делаем замену:, тогда Получаем уравнение:

5 , t = не удовлетворяет условию t

Вернемся к переменной Х:

Ответ:

2.

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A nx + B kx bmx + С bnx, где k, m N, k + m = n

Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на nx, либо на nx и получится уравнение типа С).

Примеры.

Пример 1

. Решите уравнение: 222x – 5x + 332x = 0.

Решение.

222x – 5x + 332x = 0 22x – 5x3x + 332x = 0 2 – + 3 = 0

22x – 5x + 3 = 0

Пусть t = x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:

.

Ответ:

Пример 2

. Решите уравнение: 8x + 18x – 227x = 0 .

Решение.

8x + 18x – 227x = 0 + – 2 = 0 23x + 2x 32x – 233x = 0

+ – 2 = 0 + – 2 = 0.

Пусть = t, t>0 , тогда t3 + t – 2 = 0 (t3 – 1) + (t -1 )= 0 (t-1) (t2 +t +1) + (t – 1) (t – 1) (t2 + t +2) = 0 t – 1= 0 t=1. (t>0)

Вернемся к переменной х: = 1 = x = 0 .

Ответ:

0.

К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :

= t , тогда = .

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени равно единице:

(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:

t ,оба корня удовлетворяют условию :.

Вернемся к переменной х:

.

Ответ: .

Е. Уравнения, имеющие вид Aam = Bbm.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на am, либо на bm. В результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7х = 5х.

Решение.

7х = 5х = 1 = x = 0.

Ответ

: 0.

Пример 2

. Решите уравнение: .

Решение.

.

Ответ

: 2.

F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 – корень уравнения. Перепишем уравнение в виде

(*)

Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при х левая часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при х=1.

Перепишем уравнение в виде:

.

При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.

Поэтому при х а при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение не имеет.

Ответ: 1.

G. Графический способ решения уравнений вида f(x).Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек – корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение ). Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение.

1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.

2.Графиком функции f(x) = является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.

3. Зададим таблицы значений этих функций:

х-10123
f(x) =124
х03
g(x)= x+114

4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 – точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:

Ответ:

3; .

Пример 2

. Решите уравнение: .

Решение.

1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :

= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .

2. Функция f(x) = – показательная по основанию и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.

Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график – прямая, проходящая через точку .

3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.

х-3-2-1012
f(x) =8421
х14
g(x) =2

4. Графики пересекаются в одной точке – в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 – корень заданного уравнения.

Примечание:

Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он -единственный.

В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = – возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.

Ответ:

1.

Приложение к статье “Методы решения показательных уравнений”

22.05.2011

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/602945/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий