Как вычислить площадь треугольника по трем сторонам. Как рассчитать площадь треугольника

Площадь треугольника по трем сторонам

Как вычислить площадь треугольника по трем сторонам. Как рассчитать площадь треугольника

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: //2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-treugolnika-po-trem-storonam/

Площадь треугольника — формулы и калькулятор онлайн

Как вычислить площадь треугольника по трем сторонам. Как рассчитать площадь треугольника

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}, где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}, где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}, где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}, где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что {\dfrac{a + b + c}{2}} — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = {r \cdot p}, где p — полупериметр треугольника.

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}
{\gamma = 180 – (\alpha + \beta)}

Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}, где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

{\gamma = 180 — (\alpha + \beta)}

Площадь треугольника по формуле Герона

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}, где a, b — стороны треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}, где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}, где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S= r \cdot (r + c)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

{S= r \cdot (r+c)}, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S= c_{1} \cdot c_{2}}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

{S= c_{1} \cdot c_{2}}, где c1 и c2 — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S= (p-a) \cdot (p-b)}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

{S= (p-a) \cdot (p-b)}, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}, где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}, где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}, где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через сторону:

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}, где a — сторона треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}

Формула площади равностороннего треугольника через высоту:

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}, где h — высота треугольника.

Просмотров страницы: 168722

Источник: //mnogoformul.ru/ploshhad-treugolnika-formuly-i-kalkulator-online

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий