Магнитная индукция витка с током формула. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля прямого и кругового токов

Магнитная индукция витка с током формула. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока

Закон Био — Савара — Лапласадля проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор,

проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-векто­ра г. Направление dB перпендикулярно dlи r, т. е.

перпендикулярно плоскости, в ко­торой они лежат, и совпадает с каса­тельной к линии магнитной индукции.

Это направление может быть найдено по пра­вилу нахождения линий магнитной индук­ции (правилу правого винта): направле­ние вращения головки винта дает направ­ление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется вы­ражением

где а — угол между векторами dl и г.

Для магнитного поля, как и для элек­трического, справедлив принцип суперпо­зиции:магнитная индукция результирую­щего поля, создаваемого несколькими то­ками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каж­дым током или движущимся зарядом в от­дельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в об­щем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принци­пом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рас­смотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока —тока, текущего по тонкому прямому про воду бесконечной длины (рис. 165).

В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей.

В качестве по­стоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что маг­нитная индукция, создаваемая одним эле­ментом проводника, равна

Так как угол а для всех элементов прямо­го тока изменяется в пределах от 0 до я, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током(рис. 166). Как следу­ет из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Поэтому сложе­ние векторов dB можно заменить сложени­ем их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех эле­ментов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

18. Поток магнитного поля. Теорема Гаусса для Ḃ.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку наз. скалярная величина , где угол между векторами (вектор нормали к плоскости контура) и .

Единица: вебер (Вб). .

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору : . Магнитный поток сквозь поверхность с площадью находится алгебраическим суммированием потоков сквозь участки поверхности.

Теорема Гаусса:поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю: .

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

19. Теорема о циркуляции вектора Ḃ, её применение к расчету полей. Поле соленоида.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

1). Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока 1, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 13).

Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности.

Следовательно, циркуляция вектора В равна

Рис.13. Рис.14.

Согласно выражению (9.2), получим Вr = μoI (в вакууме), откуда В = μoI /(2πr).

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В, получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (2.6).

2).Рассчитаем индукцию магнитного поля внутри соленоидацилиндрической катушки, состоящей из большого числа витков равномерно намотанных на общий сердечник. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий n витков, по которому течет ток I (рис.14).

Длину соленоида считаем во много раз большей, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида, проведенное с помощью железных опилок показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида неоднородным и очень слабым, т.е.

его можно практически считать равным нулю.

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, АВСDА, и охватывающему все n витков согласно (9.2), равна

. (10.1)

Интеграл по АВСDА можно представить в виде двух – по внешнему участку ABCD (он равен нулю, так как вне соленоида В=0) и по внутреннему DA.

.

На участке циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

.

Отсюда приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

B=μonI / l. (10.2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно.

3). Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороидакольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора.

Магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Тороид можно рассматривать как достаточно длинный соленоид свитый в кольцо и для расчета напряженности магнитного поля тороида пользоваться формулой (10.2):

В= μonI/l = μonI/(2πr). (10.3)

Причем длину тороида l следует считать по средней линии, пренебрегая небольшим различием между внешней и внутренней окружностями кольца.

Сила Ампера.

Сила Ампера это та сила, с которой магнитное поле действует на проводник, с током помещённый в это поле. Величину этой силы можно определить с помощью закона Ампера. В этом законе определяется бесконечно малая сила для бесконечно малого участка проводника. Что дает возможность применять этот закон для проводников различной формы.

Формула 1 — Закон Ампера

B индукция магнитного поля, в котором находится проводник с током

I сила тока в проводнике

dl бесконечно малый элемент длинны проводника с током

альфа угол между индукцией внешнего магнитного поля и направлением тока в проводнике

Направление силы Ампера находится по правилу левой руки. Формулировка этого правила, звучит так.

Когда левая рука расположена таким образом, что лини магнитной индукции внешнего поля входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывают направление движения тока в проводнике, при этом отогнутый под прямым углом большой палец будет указывать направление силы, которая действует на элемент проводника.

Рисунок 1 — правило левой руки

Некоторые проблемы возникают, при использовании правила левой руки, в случае если угол между индукцией поля и током маленький. Трудно определить, где должна находиться открытая ладонь. Поэтому для простоты применения этого правила, можно ладонь располагать так, чтобы в нее входил не сам вектор магнитной индукции, а его модуль.

Из закона Ампера следует, что сила Ампера будет равна нулю, если угол между линией магнитной индукции поля и током будет равен нулю. То есть проводник будет располагаться вдоль такой линии. И сила Ампера будет иметь максимально возможное значение для этой системы, если угол будут составлять 90 градусов. То есть ток будет перпендикулярен линии магнитной индукции.

С помощью закона Ампера можно найти силу, действующую в системе из двух проводников. Представим себе два бесконечно длинных проводника, которые находятся на расстоянии друг от друга. По этим проводникам протекают токи. Силу, действующую со стороны поля создаваемого проводником с током номер один на проводник номер два можно представить в виде.



Источник: https://infopedia.su/3x8209.html

Закон Био – Савара – Лапласа. Магнитное поле прямого, кругового и соленоидального токов

Магнитная индукция витка с током формула. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока



Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса – ваш вокал

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший “Салат из свеклы с чесноком”

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека – Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков – Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) – В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био – Савара – Лапласа.

Рис. 15.8.

-в векторной форме, (15.6)

– в скалярной форме. (15.7)

Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био – Савара – Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.

Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .

Применим формулу для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:

Рис. 15.9.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

.

Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:

.

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: . (15.8 )

Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :

. (15.9)

Рис. 15.10

Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока

Рис. 15.11

Рассмотрим индукции , создаваемых двумя элементами контура dl1 и dl2. Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.

Закон Био – Савара – Лапласа для двух элементов:

Выбрав dl1=dl2 и принимая, что r1=r2, получим:

Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на получим:

(15.10)

В частности, при x=0 имеем:

(15.11)

магнитная индукция в центре кругового тока

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:

(15.12)

Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:

(15.13)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.

Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью.

Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости.

Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.

Рис. 15.12.

Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.

Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что :

Здесь В – магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.

Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, – сила тока в соленоиде. Поэтому согласно :

Откуда: (15.14)

а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:

(15.15)

Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:

.

Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри – всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14).

По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве.

В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).

Произведение называется числом ампер – витков на метр.

Тесты к лекции №15

Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.

£ магнитное поле

£ магнитная индукция

£ пробный контур

£ магнитный момент

Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.

£ контур, вносящий помехи в исходное поле.

£ контур, усиливающий исходное поле.

£ контур, ослабляющий исходное поле.

£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.

Тест 15.5.Формула выражает:

£ вектор магнитной индукции

£ напряженность магнитного поля

£ магнитную индукцию

£ магнитный момент

Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона[11]

16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток

16.2. Сила Ампера

16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

16.4. Сила Лоренца

16.5. Определение удельного заряда электрона

Источник: https://megapredmet.ru/1-5259.html

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитная индукция витка с током формула. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию воля dВ, записывается в вид

,(110.1)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dВ перпендикулярно dl и r, т. е.

перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.

Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dВ, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dВ определяется выражением

,(110.2)

где a — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля,как и для электрического, справедливпринцип суперпозиции:магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторнойсумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

(110.3)

Расчет характеристик магнитного поля (В и H) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому провод бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника

Рис. 164Рис. 165

на расстояние R, векторы dВ от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (“к нам”). Поэтому сложение векторов dВ можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a(угол между векторами dl и г), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

,

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(110.4)

Таккак угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(110.5)

2. Магнитное поле в центрекругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Поэтому сложение векторов можно заменить сложениемих модулей.

Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

.

Тогда

.

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.

§ 111. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов

Магнитное поле (см. § 109) оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы.

Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле,прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индукцию В:

(111.1)

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следуетправило левойруки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле

,(111.2)

где a — угол между векторамиdI и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I1 и I2; (направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R.

Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2.

Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора B1 задается правилом правого винта, его модуль по формуле (110.5) равен

.

Направление силы dF1, с которой полеВ1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (111.2), с учетом того, что угол a. между элементами тока I2 и вектором В1 прямой, равен

,

Рис. 167

или, подставляя значение для В1, получим

(111.3)

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF1 с которой магнитное поле тока I2 действует на элемент dl первого проводника с током I1, направлена в противоположную сторону и по модулю равна

.(111.4)

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что

,

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

(111.5)

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (111.5).

§ 112. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m=1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (111.5), равна

(112.1)

Для нахождения числового значения m0 воспользуемся определением ампера, согласно которому при I1=I2=1A и R=1 м =2·10-7 Н/м. Подставив это значение в формулу (112.1), получим m0=4p·10-7 Н/А2=4p·10-7 Гн/м, где генри (Гн) — единица индуктивности (см. § 126).

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера (см. (111.2)) запишется в виде

,

откуда

.

Единица магнитной индукции — тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины

прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

1 Тл==1 Н/(А·м).

Таккак m0=4·10-7 Н/А2, а в случае вакуума (m=1), согласно (109.3), В=m0Н, то для данного случая

.

Единица напряженности магнитного поля —ампер наметр (А/м): 1 А/м — напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p·10-7 Тл.

§ 113. Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле.

В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью.

Этот закон выражается формулой

,(113.1)

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q, к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г. Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле

,(113.2)

где a — угол междувекторами v и г.

Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:

.

Приведенные закономерности (113.1) и (113.2) справедливы лишь при малых скоростях (váác) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

  Рис. 168

Формула (113.1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q. надо заменить на —Q. Скорость v — относительная скорость, т. е.

скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения.

Поэтому следует подчеркнуть относительный характер магнитного поля движущегося заряда.

Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскому физику Г. Роуланду (1848—1901). Окончательно этот факт был установлен профессором Московского университета А. А.

Эйхенвальдом (1863—1944), изучившим магнитное поле конвекционного тока, а также магнитное поле связанных зарядов поляризованного диэлектрика. Магнитное поле свободно движущихся зарядов было измерено академиком А. Ф.

Иоффе, доказавшим эквивалентность, в смысле возбуждения магнитного поля, электронного пучка и тока проводимости.

§ 114. Действие магнитного поля на движущийся заряд

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током (см. § 111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой

,(114.1)

где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощьюправила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил векторВ, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q>0 направления I и v совпадают, дня Q

Источник: https://poisk-ru.ru/s7755t7.html

Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля прямого и кругового токов

Магнитная индукция витка с током формула. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока

элемента тока

В 1820 г. французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т.д. В соавторстве с французским физиком П.

Лапласом, который обобщил полученные ими экспериментальные результаты, они получили общий закон, позволяющий вычислять магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого током, текущим по проводнику любой формы.

Закон Био — Савара — Лапласа определяет магнитную индукцию с!В поля, созданного элементом проводника с постоянным электрическим током / в вакууме (рис. 15.4), и в СИ имеет вид

где IdI и jdV — соответственно линейный и объемный элементы тока; j — плотность тока; г — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в рассматриваемую точку поля А.

Угол между векторами dl и г равен 9. Направление dB перпендикулярно плоскости векторов dl и г и совпадает с касательной к линии магнитной индукции, проходящей через точку А.

Модуль вектора dB определяется выражением

Лаплас — автор гипотезы о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимого действия полей:

где dB — магнитная индукция магнитного поля малого элемента dl проводника с током, а интегрирование проводится по всей длине проводника.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме током /, идущим по проводнику конечной длины и любой формы:

Рассмотрим два примера применения закона Био — Савара — Лапласа. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Пусть ток / течет по прямому проводу бесконечной длины. В качестве постоянной интегрирования выберем угол 9 (рис. 15.5, а). По закону Био — Савара — Лапласа (15.6а) модуль вектора dB в точке А поля элемента прямолинейного проводника

dS R

где dl = –—- и dS = rdQ, а г = ——г, R — расстояние от провода до точки А. sin 9 sin 9

rd 9 RdQ

Поэтому dl — ——— — —5—. Тогда получаем sin 9 sin'9

Рис. 15.5. К вычислению магнитного поля: а — прямолинейного проводника с током; б — кругового витка с током

Угол 0 для всех элементов провода изменяется от 0 до ш. По принципу суперпозиции (15.5) магнитная индукция поля, создаваемого прямым током /:

)

Магнитное поле кругового витка с током. Определим магнитную индукцию поля витка с током / в произвольной точке на оси витка 00 проходящей через центр витка перпендикулярно его плоскости. На рис.

15.5, б, показан круговой виток радиуса R, плоскость которого перпендикулярна плоскости чертежа, а ось 00' лежит в этой плоскости.

В точке Л на оси 00' векторы

для полей различных малых элементов dl витка с током не совпадают по направлению. Векторы dBx и dB2 дляполей двух диаметрально противоположных элементов витка dlx и dl2, имеющих одинаковую длину

dl=dl2=dl, равны по модулю: dB = dB = dB = iQIdl / 4пг2, так как () = 90°.

Результирующий вектор dBi + dB2 направлен в точке А по оси витка, причем

Таким образом, поперечные составляющие с1ВА взаимно компенсируют друг друга. Вектор индукции В в точке А для магнитного поля всего витка направлен также вдоль оси 00', а его модуль определяется так:

Учитывая, что г = л/R2 + И1, получаем

Магнитным потоком (потоком вектора Вмагнитной индукции) через малую поверхность площадью dS называется физическая величина

где dS = ndS; п — единичный вектор нормали к площадке dS Вп — проекция вектора В на направление нормали. Малая площадка dS выбирается так, чтобы ее можно было считать плоской, а магнитное поле в ее пределах — однородным.

Поле В может быть наглядно представлено с помощью линий вектора В. Их проводят таким образом, чтобы число линий, пересекающих площадку dS , численно было пропорционально магнитному потоку. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зави-

Л

симости от знака cos(В,п).

Магнитный поток через произвольную поверхность S

При вычислении этого интеграла векторы нормалей И к площадкам dS нужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S.

Если магнитное поле однородно, а поверхность S плоская, то

Единица магнитного потока в СИ — вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл • м2. 1 Вб — это магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл.

Теорема Гаусса для магнитного поля: магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

Теорема Гаусса для вектора В в дифференциальной форме.

т.е. дивергенция поля В всюду равна нулю.

Данная теорема справедлива и для постоянных, и для переменных магнитных полей. Теорема Гаусса в форме (15.13) отражает тот экспериментальный факт, что линии вектора В замкнуты. Уравнение (15.14) эквивалентно уравнению (15.13) и является математическим выражением того, что в природе нет магнитных «зарядов», на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции.

Аналогично потенциалу электрического поля, который является скалярной величиной, для случая магнитного поля вводят функцию А такую, что

где А — векторный потенциал магнитного поля. Эта величина определяется однозначно, только если заданы граничные условия. Действительно, добавление к А градиента некоторой произвольной функции gradxj) не изменяет значения вектора магнитной индукции В. Легко проверить, что divi? = 0.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потокосцеплением ЧГ

Например, потокосцепление катушки, состоящей из N витков, магнитные потоки через которые одинаковы и равны Фв, будет таково:

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.

Page 3

По определению циркуляцией вектора индукции Вмагнитного поля

по замкнутому контуру называется интеграл, знак которого зависит от направления обхода контура L:

Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме): циркуляция вектора В по произвольному контуру L равна произведению ц0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых данным контуром:

где dl — dlт — элемент длины контура, направленный вдоль обхода конту-

Л

Рис. 15.6. Определение знака тока в теореме о циркуляции вектора В

ра; т — вектор касательной в данной точке к контуру; В) = Вcos( В, dl) — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру с учетом выбранного направления обхода; п — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным (рис. 15.6).

Неравенство нулю циркуляции вектора В свидетельствует о том, что поле В непотенциально. Такое поле называется вихревым (соленоидальным).

Теорема о циркуляции В позволяет упростить вычисление магнитной индукции, когда, выбрав простой контур, вычисление циркуляции можно свести к произведению В или В{ на длину контура или его часть. Иначе расчет поля В выполняют, используя закон Био — Савара — Лапласа ((15.8а) и (15.86)).

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора В:

где у — плотность тока в данной точке, |Vx в = р0у. При этом V х В = roti?. По определению ротор вектора В в декартовых координатах выражается как

Page 4

Формула (15.

8) для индукции магнитного поля тонкого прямолинейного бесконечного проводника с током дает некорректный результат при г—>0, т.е. на оси проводника получаем В —Учтем, что реальный проводник имеет конечное поперечное сечение R, и используем теорему о циркуляции вектора магнитной индукции (15.15).

Пусть постоянный ток / течет вдоль бесконечно длинного прямого провода. Замкнутый контур L представим в виде окружности радиуса г.

Из симметрии задачи следует, что линии вектора В имеют вид окружностей с центром на оси провода.

Модуль вектора В должен быть одинаков во всех точках на расстоянии г от оси провода. Вектор В направлен по касательной к окружности:

где Г — ток, охватываемый контуром L.

Отсюда следует, что внутри проводника, так как через поперечное сечение радиуса г < R течет ток Г = jпг, магнитная индукция

Вне проводника с током (/* >R) получаем результат, совпадающий с ра-

р0/

нее полученной формулой (15.8), так как Г = I и 5 = -—.

2л/*

Таким образом, на оси проводника с током 5 = 0. Магнитное поле имеет наибольшую индукцию на поверхности проводника.

Рис. 15.7. Соленоид

Магнитное поле соленоида. Соленоидом называется проволочная спираль, по которой течет электрический ток (рис. 15.7). Толщина проводника и шаг спирали малы по сравнению с ее длиной и диаметром.

Рассмотрим соленоид длиной /, имеющий N витков. На единицу длины соленоида приходится n — N/l витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.

Из соображений симметрии следует, что линии вектора В направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему. Поэтому выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA (рис. 15.7). Циркуляция вектора В поданному контуру

На участках ЛВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции: В! = 0.

Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле 5 = 0, удалив участок СВ на бесконечность, где магнитное поле соленоида равно нулю, так как магнитное поле каждого витка соленоида уменьшается с расстоянием ~ /*~3.

На участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( В, — В ). Поэтому имеем

Следовательно, внутри длинного соленоида поле однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида):

где п! называют числом ампервитков.

Page 5

На каждый носитель тока в проводнике действует магнитная сила. В результате магнитное поле действует на сам проводник с током с определенной силой, называемой силой Ампера.

А.М. Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент тока Idl, помещенный во внешнее магнитное поле с индукцией В, определяется как

Формула (15.

19) выражает закон Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на векторное произведение элемента длины проводника на магнитную индукцию поля.

Интегрируя выражение (15.19) по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу /:

В частности, если магнитное поле однородно, а проводник линейный, то

Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор 5, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера.

Рис. 15.8.Взаимодействие двух параллельных проводников с током

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Два параллельных проводника с током /, и_ /2 находятся на расстоянии R друг от друга.

Направление сил dF{ и dF2, с которыми поля 5, и В2 действуют на проводники с токами /[ и /2, определяются по правилу левой руки (рис. 15.8).

Если длина проводников во много раз больше расстояния R между ними, то можно считать проводники бесконечно длинными.

Используем полученное выражение (15.8) для магнитного поля прямого тока, чтобы найти поле в любой точке проводника с током /, (/ = 1,2):

Тогда, согласно закону Ампера (15.19), можно найти силу, которая действует на элемент dl2 проводника с током /2 со стороны поля 5,:

Соответственно на участок dlx первого проводника с током /, действует сила

Необходимо отметить, что dF2 T1 dF{ и dF2 = dF .

Таким образом, для модулей сил можно написать общую формулу

Когда провода находятся в среде с магнитной проницаемостью ц (см. тему 16), закон (15.20) представляется в виде

Формула (15.

20) позволяет установить одну из основных единиц СИ: ампер — это единица силы тока, равная силе неизменяющегося тока, который, протекая по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу взаимодействия, равную 2 -10-7Н на каждый метр длины проводника:

Длинные прямолинейные и параллельные проводники с токами одинакового направления притягиваются, с токами разного направления — отталкиваются.

Источник: https://studref.com/504888/matematika_himiya_fizik/zakon_savara_laplasa_primenenie_raschetu_magnitnogo_polya_pryamogo_krugovogo_tokov

1.3 Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитная индукция витка с током формула. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока

1.3.  Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.

Французские физики Ф. Савар и Ж.Б. Био изучали магнитное поле, создаваемое проводниками с постоянным током различной формы. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока I, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки по отношению к проводнику.

Био и Савар пытались получить самый общий закон – для проводника любой формы  и любой точки поля. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой проблемой занялся французский математик П.С.Лаплас. Он высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей.

Если имеется несколько проводников с током, каждый из которых создает в исследуемой точке магнитное поле с индукциями …, то результирующая магнитная индукция будет равна векторной сумме всех:  .

  Если перейти к малым отрезкам провода с током, то суммирование надо заменить интегрированием и тогда индукция , создаваемая всем проводником с током I, будет равна:  где– индукция, создаваемая элементом длины проводника dℓ, интегрирование проводится по всей длине проводника.

            Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде  дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа, по которому магнитная индукция , создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой

Выберем произвольную точку А вблизи проводника.

Вектор  направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах  и по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7).

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ0/4π, где μ0  – магнитная постоянная, равная 4π∙10-7Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.

Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8.

Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля  одинакового направления – вдоль нормали к площади витка.

Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника.

Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы  от каждого элемента тока dℓi имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей.

При суммировании всех  будет меняться угол α между r  и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.

            Итак, из треугольника АСЕ выразим r через известное нам расстояние R и переменную α:

По закону Био-Савара-Лапласа получим:

В данном выражении α1 и α2 – значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α1 = 0, α2 = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током: 

Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

Магнитное поле соленоида.  Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

Обозначим через L длину соленоида, а через n –  число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Магнитная индукция поля соленоида  В равна геометрической сумме магнитных индукций Вi полей всех его витков.

Если L>>R (радиуса витков), тогда В в точке А, лежащей на оси вдали от концов такого соленоида, вычисляется по формуле (без вывода):  В = μ0nI.

Источник: https://studizba.com/lectures/73-fizika/1059-magnetizm/19290-13-zakon-bio-savara-laplasa-i-ego-primenenie-k-raschetu-magnitnogo-polya.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий