Начертить ось симметрии. Как нарисовать симметричный предмет

Прямоугольник, ромб и квадрат. Осевая и центральная симметрии. урок. Геометрия 8 Класс

Начертить ось симметрии. Как нарисовать симметричный предмет

На этом уроке мы рассмотрим ещё одну характеристику некоторых фигур – осевую и центральную симметрию. С осевой симметрией мы сталкиваемся каждый день, глядя в зеркало.

Центральная симметрия очень часто встречается в живой природе. Вместе с тем, фигуры, которые обладают симметрией, имеют целый ряд свойств.

Кроме того, впоследствии мы узнаем, что осевая и центральная симметрии являются видами движений, с помощью которых решается целый класс задач.

Данный урок посвящён осевой и центральной симметрии.

Определение

Две точки  и  называются симметричными относительно прямой , если:

1.      прямая проходит через середину отрезка ;

2.      прямая  перпендикулярна отрезку.

На Рис. 1 изображены примеры симметричных относительно прямой  точек  и ,  и .

Рис. 1

Отметим также тот факт, что любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой.

Симметричными относительно прямой могут быть и фигуры.

Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой прямой точка также принадлежит фигуре. В этом случае прямая  называется осью симметрии. Фигура при этом обладает осевой симметрией.

Рассмотрим несколько примеров фигур, обладающих осевой симметрией, и их оси симметрии.

Пример 1

Угол обладает осевой симметрией. Осью симметрии угла является биссектриса. Действительно: опустим из любой точки угла перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до пересечения с другой стороной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

 (так как  – общая сторона,  (свойство биссектрисы), а треугольники – прямоугольные). Значит, . Поэтому точки  и  симметричны относительно биссектрисы угла.

Из этого следует, что и равнобедренный треугольник обладает осевой симметрии относительно биссектрисы (высоты, медианы), проведённой к снованию.

Пример 2

Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии (биссектрисы/медианы/высоты каждого из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

Пример 3

Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4

Пример 4

Ромб также обладает двумя осями симметрии: прямые, которые содержат его диагонали (см. Рис. 5).

Рис. 5

Пример 5

Квадрат, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, обладает 4 осями симметрии (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пример 6

У окружности осью симметрии является любая прямая, проходящая через её центр (то есть содержащая диаметр окружности). Поэтому окружность имеет бесконечно много осей симметрии (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим теперь понятие центральной симметрии.

Определение

Точки  и  называются симметричными относительно точки , если:  – середина отрезка .

Рассмотрим несколько примеров: на Рис. 8 изображены точки  и , а также  и , которые являются симметричными относительно точки , а точки  и  не являются симметричными относительно этой точки.

Рис. 8

Некоторые  фигуры являются симметричными относительно некоторой точки. Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для любой точки фигуры точка, симметричная ей, также принадлежит данной фигуре. Точка  называется центром симметрии, а фигура обладает центральной симметрией.

Рассмотрим примеры фигур, обладающих центральной симметрией.

Пример 7

У окружности центром симметрии является центр окружности (это легко доказать, вспомнив свойства диаметра и радиуса окружности) (см. Рис. 9).

Рис. 9

Пример 8

У параллелограмма центром симметрии является точка пересечения диагоналей (см. Рис. 10). 

Рис. 10

Решим несколько задач на осевую и центральную симметрию.

Задача 1.

Сколько осей симметрии имеет отрезок ?

Решение:

Отрезок имеет две оси симметрии. Первая из них – это прямая, содержащая отрезок (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). Вторая – серединный перпендикуляр к отрезку, то есть прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

Ответ: 2 оси симметрии.

Задача 2.

Сколько осей симметрии имеет прямая ?

Решение:

Прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Одна из них – это сама прямая (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). А также осями симметрии являются любые прямые, перпендикулярные данной прямой.

Ответ: бесконечно много осей симметрии.

Задача 3.

Сколько осей симметрии имеет луч ?

Решение:

Луч имеет одну ось симметрии, которая совпадает с прямой, содержащей луч (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой).

Ответ: одна ось симметрии.

Задача 4.

Доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим ромб . Докажем, к примеру, что прямая  является его осью симметрии. Очевидно, что точки  и  являются симметричными сами себе, так как лежат на этой прямой. Кроме того, точки  и  симметричны относительно этой прямой, так как . Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Проведём через точку  перпендикуляр к прямой  и продлим его до пересечения с . Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники прямоугольные (по построению), кроме того, в них:  – общий катет, а  (так как диагонали ромба являются его биссектрисами).

Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно прямой . Это означает, что  является осью симметрии ромба.

Аналогично можно доказать этот факт и для второй диагонали.

Доказано.

Задача 5.

Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм . Докажем, что точка  является его центром симметрии. Очевидно, что точки  и ,  и  являются попарно симметричными относительно точки , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит параллелограмму (см. Рис. 12).

Рис. 12

Соединим точку  с точкой  и продлим линию до пересечения с противоположной стороной. Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два угла).

Действительно:  (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам),  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых),  (как вертикальные углы). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: .

Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно точки . Это означает, что  является центром симметрии параллелограмма.

Доказано.

На этом уроке мы заканчиваем изучение темы «виды четырёхугольников» (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат). Мы рассмотрели осевую и центральную симметрию и её примеры для различных геометрических фигур. Кроме того, были решены несколько задач на эту тему.

На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы: «Площадь».

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. № 59, 60. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. Дан угол  и точка , которая лежит внутри него. Построить угол, симметричный углу  относительно точки .
  3. Постройте окружность радиусом . Проведите прямую, которая не проходит через центр окружности. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/pryamougolnik-romb-i-kvadrat-osevaya-i-tsentralnaya-simmetrii

Осевая и центральная симметрии. Проводим урок с ЭФУ

Начертить ось симметрии. Как нарисовать симметричный предмет

Статьи

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Математика (5-6)

Математика

Разберемся, как провести урок в 6 классе по теме «Осевая и центральная симметрии» с использованием ЭФУ.

05 февраля 2020

  1. Зайдите на бесплатный сервис «Классная работа» от LECTA. В помощь учителю на сервисе «Классная работа» представлены поурочные планы по математике — календарно-тематическое планирование и методические рекомендации к каждому этапу урока. Поурочные разработки по математике содержат интерактивные материалы для изучения каждой темы и интерактивные задания для каждого урока, математические диктанты и проверочные работы для организации проверки знаний.
  2. Откройте ЭФУ «Математика. 6 класс» (УМК А.Г. Мерзляка). Нужная нам тема рассматривается в параграфе 44.  
  3. Откройте в сервисе «Классная работа» поурочные разработки к этому учебнику. Тема «Осевая и центральная симметрии» рассматривается на трех занятиях — 127-129. Планы данных уроков вы можете скачать в этой статье, ко всем остальным занятием — по ссылке выше. 

Поурочные разработки к УМК «Математика. 6 класс» А.Г. Мерзляка разработаны в соответствии с основными положениями ФГОС ООО и легли в основу системы уроков, в каждом из которых собрано все необходимое для проведения занятия в шестом классе. 

Из курса математики 5 класса учащиеся уже узнали, как выглядят и строятся фигуры, имеющие ось симметрии. Перед изучением темы «Осевая и центральная симметрии» будет целесообразно повторить материал 5 класса. Следует разъяснить учащимся, что построение фигуры во многих случаях возможно по положению ключевых точек.

Учитель: Отрезок можно определить положением концов, треугольник — расположением вершин. Какие еще примеры вы можете назвать?
Ученики: Квадрат по 4 точкам, например… И ромб!
Учитель: Верно. Чтобы построить фигуру, которая будет симметрична нашему треугольнику или ромбу, нам необходимо отразить ее ключевые точки. 

Для закрепления этого интуитивно-наглядного понимания, учитель может предложить детям перегнуть лист бумаги, на котором изображены симметричные фигуры.

.

Понятие симметрии

Слово «симметрия» происходит от греческого symmetria, что означает соразмерность. В нашем случае, симметрия — это свойство геометрических фигур к отображению.

Учитель: Симметрия используется в рисунках, орнаментах, архитектуре с давних времен. Где еще симметрию могут использовать люди?

Ученики: при строительстве домов; в изготовлении предметов быта.
Учитель: верно, но ведь симметрия распространена не только там, где творил человек! Мы видим симметричные объекты природы каждый день. Назовите мне три таких объекта!
Ученики: Бабочка, цветы, форма листа! Морская звезда, снежинка, яблоко в разрезе.  Симметрий, как это не покажется вам странным и любопытным, много, но мы будем рассматривать две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).  

Заметим, что любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны (Рис.131). Все точки фигуры, имеющей ось симметрии, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек (Рис. 132).

Центральная симметрия

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Фигуры, имеющие центр симметрии — понятие, воспринимающееся учащимися сложнее, чем фигуры, имеющие ось симметрии. Для удобства восприятия и понимания, рекомендуется привести как можно больше примеров из окружающей природы.

В зависимости от уровня математической подготовки учащихся класса, можно обратить их внимание на то, что прямая — это фигура, имеющая бесконечно много осей и центров симметрии.

С помощью заданий из «Классной работы» материал можно закрепить в различных графических форматах.
Для каждого параграфа в учебнике подобраны задачи для самостоятельного решения. Задания распределены по трем уровням сложности — от простых к трудным. Для дополнительной мотивации учащихся и практического применения полученных знаний предлагается решить специальную задачу «От мудрой совы» — здесь школьникам понадобится проявить смекалку и изобретательность. Еще одна рубрика, которая неизменно заинтересует как юных первооткрывателей, так и учителей, — рубрика «Когда сделаны уроки», в которой можно узнать о важных математических объектах и истории их появления.

Предложите ребятам решить задание № 1260.  Какие печатные буквы русского алфавита имеют 1) вертикальную ось симметрии; 2) горизонтальную ось симметрии; 3) горизонтальную и вертикальную оси?

Готовый яркий раздаточный материал «Алфавит» вы можете скачать в конце этой статьи.

Также рекомендуем вам применять на уроке различные методы преподнесения информации: как визуальный, так и аудио. Попробуйте аудиодиктант.

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/osevaya-i-tsentralnaya-simmetrii-tema-dlya-uroka/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий