Найти уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой

Урок на тему

Найти уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой

Урок

ТЕМА: Уравнение окружности и прямой. Решение задач

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя; умеют работать в паре, группе.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для математического диктанта

I этап. Подготовка к ОГЭ

Учащиеся решают прототипы №15-№20( карточки)

( Совместная проверка одной из карточки)

II этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень теоретических знаний

(И) Математический диктант с последующей самопроверкой.

1. Найдите координаты центра окружности, если АВ – диаметр, А(2; –4), В(–6; 8).

2. Вычислите радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (12; –5).

3. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки?

4. Как называется хорда, проходящая через центр окружности?

5. Напишите уравнение окружности с центром в точке (–2; 2) и радиусом 13.

Ответы: 1) (–2; 2); 2) 13; 3) окружность; 4) диаметр; 5) (х + 2)2 + (у – 2)2 = 169

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения

задач

(П)

1. Решить 973

2. Решить № 975.

(Г) Решить № 976

Пары представляют свои решения, обсуждают возникшие вопросы.

973.

Рис. 1

Дано: А(4; 6); В(–4; 0); С(–1; –4), CM – медиана АВС.

Написать уравнение прямой СМ.

Решение:

1)

2) Так как М(0; 3) и С(–1; –4) лежат на прямой 1, заданной уравнением ах + + с = 0, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению.

М(0; 3): 3b + с = 0; b = .

С(–1; –4): –а – 4b + с = 0; а = – 4b + с; .

Подставим значения b и а в исходное уравнение.

7ху + 3 = 0 – искомое уравнение.

975.

а)

Рис. 2

Дано:l: 3х – 4у + 12 = 0.

Найти: А(х; у); В(хi; yi).

Решение:

а) если lOx = A, то А(х; 0), следовательно,

3х – 4 · 0 + 12 = 0,

3х = –12,

х = –4, следовательно, А(–4; 0).

б)

Рис. 3

Если l = В, то В(0; у), следовательно,

3 · 0 – 4у + 12 = 0,

4у = 12,

у = 3, следовательно, В(0; 3).

задачу № 975.

Решение

Пересечение прямой с осью OX:

y = 0, тогда 3x – 4 ∙ 0 + 12 = 0; 3x = –12; x = –4; точка А (–4; 0);

пересечение прямой с осью OY:

x = 0, тогда 3 ∙ 0 – 4y + 12 = 0; –4y = –12; y = 3; точка В (0; 3).

5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):

Точка пересечения прямых D (3; –2).

Ответ: (3; –2).

976.

Дано:l1 : 4х + 3у – 6 = 0; l2 : 2х + у – 4 = 0; l1  l2 = А.

Найти: А(х; у).

Решение:

1) Решение:

Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.

2) Решение:

Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX

задачу № 977.

Решение

Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.

7. Самостоятельное решение учащимися задачи № 978.

8. Решить устно задачи:

1) Окружность задана уравнением (x – 1)2 + y2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

Решение

Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.

2) Окружность задана уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.

Решение

Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

– Оцените свою работу в паре, группе.

– Какой этап урока был наиболее трудным?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 93–94; решить задачи № 977

Источник: https://infourok.ru/urok-na-temu-uravnenie-okruzhnosti-i-pryamoy-reshenie-zadach-3415511.html

Уравнение окружности

Найти уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой

Прежде всего, давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Сегодня на уроке мы попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

В качестве линии рассмотрим окружность радиуса  с центром в точке .

Пусть центр окружности имеет координаты . Возьмем на окружности произвольную точку . Запишем формулу расстояния между точками C и M. Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC равно r.

Возведем MC в квадрат и получим уравнение MC2 = r2. Заменим MC2 квадрат на выражение  и получим, что если точка лежит на окружности с радиусом r и центром в точке C, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению .

Если точка не лежит на окружности, то расстояние от этой точки до центра окружности не равно радиусу, поэтому координаты таких точек не будут удовлетворять полученному уравнению.

Поэтому можно сказать, что в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C с координатами  имеет вид: .

Задача. Записать уравнение окружности с радиусом  и центром в начале координат.

Решение.

Начало координат имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат имеет вид

.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего, определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.

 Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом равным двум.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение.

Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего определимся с координатами центра окружности.

Это будут числа -4 и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.

Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .

Решение. Уравнениями такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 9.

Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.

Теперь давайте попробуем решить задачу обратную данным.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Как и в предыдущих задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр окружности имеет координаты (0;0).

Нетрудно заметить, что радиус окружности равен 4.

Запишем уравнение окружности и подставим найденные значения.

Ответ: .

Решим еще одну задачу.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.

Решение.

 – центр окружности

 – радиус окружности

Ответ:.

Решая задачи, мы с вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот порядок.

Для того, что бы составить уравнение окружности и построить ее надо:

1. Найти координаты центра окружности.

2. Найти длину радиуса этой окружности.

3. Записать уравнение окружности.

4. Подставить полученные значения в уравнение окружности.

5. Построить окружность, если это требуется для решения задачи.

Рассмотрим еще одну задачу.

Написать уравнение окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм имеет координаты шесть три.

Задача. Написать уравнение окружности с диаметром , если , .

Решение.

Найдем координаты центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра. Воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка.

Получим, что центр окружности имеет координаты .

Теперь определим радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов диаметра.

Запишем общее уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что уравнение данной окружности имеет вид:

Ответ: .

Подведем итоги урока.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С (x0; y0) и радиусом r.

Также мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале координат и радиусом r.

Мы рассмотрели задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение окружности по заданному уравнению.

Источник: https://videouroki.net/video/16-uravnieniie-okruzhnosti.html

§ 3. Уравнения окружности и прямой / Геометрия 7-9

Найти уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой

    (x – х1)2 + (у – у1)2 = (х- х2)2 + (у – у2)2.           (2)Рис. 287Если же точка М (x; у) не лежит на прямой l, то AM2 ≠ ВМ2, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой I в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает видгде а = 2 (х1 – х2), b = 2(у1 – у2), Так как А (x1; у1) и В (x2; y2) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (х1 – х2) и (у1 – у2) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.Если в уравнении (3) коэффициент b отличен от нуля, то это уравнение можно записать так:где Число k называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением. Докажите самостоятельно, что:
    две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; вели две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

    Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку М0 (x0; у0) и параллельной оси Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у) прямой l равна x0, т. е. координаты любой точки М (x; у) прямой l удовлетворяют уравнению х = х0. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение х = х0 является уравнением прямой l.Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = О, а ось Оу — уравнение х = 0.

    Взаимное расположение двух окружностей

    Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R.Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а).Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид

      х2 + у2 = R2,     (х – d)2 + у2 = r2.       (4)

    Рис. 288

    Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х0, у = у0, то точка М0 (х0; у0) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М0 (x0; у0) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х0, у = у0 является решением системы уравнений (4).

    Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х0, у = у0, т. е. справедливы числовые равенства

    Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x0d – d2 = R2 – r2, откуда

    Заметим, что х0 > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), х0 = т. е. для величин R, r и d должно выполняться неравенство или R2 + d2 – r2 ≤ 2dR. Последнее неравенство запишем в виде (d – R)2 ≤ r2. Отсюда следует, что -r ≤ d – R ≤ r, или

    Отметим, что х0 = R, если d = R – r или d = R + r, и x0 < R, если R - r < d < R + r

    Итак, если система уравнений (4) имеет решение, то величина d удовлетворяет неравенствам (7). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (7), то система (4) не имеет решений и, следовательно, данные окружности не имеют общих точек. Так будет в двух случаях:

    1) d < R - r, т. е. d + r < R (рис. 288, в). В этом случае окружность радиуса r лежит внутри круга радиуса Д. Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

    2) d > R + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

    Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая:

    3) d = R – r, при этом R > r, поскольку d > 0. Как уже было отмечено, в этом случае x0 = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что y0 = 0.

    Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4).

    Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются изнутри.

    4) d = R + r. В этом случае также х0 = R, поэтому y0 = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне.

    5) R – r < d < R+ r.

    Как уже было отмечено, в этом случае число х0, определённое равенством (6), удовлетворяет неравенству x0 < R, поэтому из первого равенства (5) получаем два значения у0: у0 = и у0 = - Нетрудно убедиться в том, что система (4) имеет в данном случае два решения: х = х0, у0 = и х = х0, у0 = - Следовательно, окружности пересекаются в двух точках (см. рис. 288, б).

    Таким образом, если d ≠ 0, то возможны пять случаев взаимного расположения двух окружностей (см. рис. 288, б—е).

    Задачи

    959. Начертите окружность, заданную уравнением:

      а) х2 + у2 = 9; б) (х – 1)2 + (у + 2)2 = 4; в) (х + 5)2 + (у – 3)2 = 25; г) (х – 1)2 + у2 = 4; д) х2 + (у + 2)2 = 2.

    960. Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:

      а) х2 + у2 = 25; б) (х – 1)2 + (у + 3)2 = 9; в) (х – 0,5)2 – у2 = 0,25;

    961. Окружность задана уравнением (х + 5)2 + (у – 1)2 = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:

      а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;6) на окружности;в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

    962. Даны окружность х2 + у2 = 25 и две точки А (3; 4) и В (4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.

    963. На окружности, заданной уравнением х2 + у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.

    964. На окружности, заданной уравнением (x – 3)2 + (у – 5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.

    965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r1 = 3, r2 = √2, r2 = 5/2.

    966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А (0; 5), r = 3; б) А (-1;2), r = 2; в) А (-3;-7), r = 1/2; г) А (4;-3), r =10.

    967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

    968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

    969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).

    970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

    971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

    972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).

    Решение

    а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + by + с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

      а • 1 + b • (-1) + с = 0, а • (-3) + b • 2 + с = 0, или а – b + с = 0, -3а + 2b + с = 0.

    Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: а = 3с, b = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3сх + 4су + с = 0. При любом с ≠ 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде 3х + 4у + 1 = 0.

    973. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

    974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3;1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции.

    975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3х – 4у + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую.

    976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4х + 3у – 6 = О и 2х + у – 4 = 0.

    977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

    978. Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х = 7.

    979. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.

    980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

    Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

    981. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

    Решение

    Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289,а. Тогда точки А и В имеют координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ.

    Рис. 289

    Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

    Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то

      AM = 2ВМ, или AM2 = 4ВМ2.

    Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

      х2 + у2 = 4 ((х – а)2 + у2).           (8)

    Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

    Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

    Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3a с центром в точке C(4/3a; 0). Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

    Замечание

    Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса с центром в точке

    Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

    Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

    982. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + 3СМ2 = 4.

    983. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + ВМ2 = k2, где k — данное число.

    984. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 – ВМ2 = k, где k — данное число.

    Решение

    Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

    Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то AM2 – ВМ2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х2 + у2 – (х – а)2 – у2 = k, или 2ах – а2 – k = 0.

    Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если а2 + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a2 + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

    985. Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2 – AM2 = 2АВ2.

    986. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

      (AM2 + DM2) – (ВМ2 + СМ2) = 2АВ2.

    987.* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ь. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

      960. а) А и С; б) В; в) В и D.961. а) С; б) В; в) А и D.963. а) (-4; -3), М;3);б) (4; 3), (-4; 3).964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5).965. 1) х2 + у2 = 9; 2) х2 + у2 = 2; 3)966. а) х2 + (у-5)2 = 9; б) (х + 1)2 + (y – 2)2 = 4; в) г) (х – 4)2 + (y + 3)2 = 100.967. х2 + у2 = 10.968. х2 + (у – 6)2 = 25. 969. а) (х – 2)2 + (y – 1)2 = 41; б) (х – 3)2 + (у – 1)2 = 5.970. (х – 5)2 + у2 = 25, (х + 3)2 + у2 = 25; две окружности.971. х2 + (у – 4)2 = 25.972. б) х + у- 7 = 0; в) 3х – 2у + 2 = 0.973. 7х – у + 3 = 0.974. а) х – у = 0, у – 1 = 0; б) 3х – 5у + 5 = 0.975. (-4; 0) и (0; 3).976. (3;-2).977. х = 2 и у = 5.979. 7.980. 5х + 2у – 10 = 0, 5х – 2у – 10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0, 5х – 2у + 10 = 0 или 2х + 5у- 10 = 0, 2х – 5у -10 = 0, 2х + 5y + 10 = 0, 2х – 5у+ 10 = 0.982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса 1/3 с центром D, лежащим на отрезке ВС, причём BD = 1/3983. Окружность с центром в точке О радиуса , если k2 > 2а2, и точка О, если k2 = 2а2, где О — середина отрезка АВ и Если k2 < 2а2, то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует.985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точки, симметричные относительно точки А.986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и были симметричны относительно оси Оу.987. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.

Источник: http://tepka.ru/geometriya_7-9/47.html

Решение задач по теме

Найти уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой

Уравнение окружности с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

 и  – это координаты точки , лежащей на этой окружности.

Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

1.

2.

Решение

1.

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

2.

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Воспользуемся формулой квадрата суммы и разности. В обеих скобках есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

Задачи с использованием метода выделения полного квадрата

Выясните, является ли данное уравнение уравнением окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

1.

2.

Решение

1.

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Так как  и  (квадрат выражения больше или равен нулю), то выражение в левой части уравнения больше нуля. Следовательно, это уравнение не имеет решения и не является уравнением окружности.

Доказать отсутствие решений у исходного уравнения можно также с помощью дискриминанта. Для этого рассмотрим это уравнение как квадратное относительно  с параметром .

Мы получили квадратный трехчлен с такими коэффициентами:

– коэффициент при  – ;

– коэффициент при  – ;

– свободный член зависит от параметра  – .

Найдем корни данного уравнения по известной формуле:

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

Видно, что подкоренное выражение меньше нуля. А так как подкоренное выражение равно четверти дискриминанта, то и дискриминант будет отрицательным числом.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

2.

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

Напишите уравнение окружности, проходящей через три заданные точки.

Дано: ; ; .

Найти: уравнение окружности, проходящей через данные точки.

Решение

Уравнение окружности задается тремя параметрами , , , поэтому необходимо найти эти параметры.

Так как данные точки лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению искомой окружности. Подставим координаты точек в уравнение окружности  в общем виде:

:

:

:

Мы получили систему из трех уравнений относительно трех неизвестных:

Решим эту систему. Вычтем из третьего уравнения первое:

Разложим выражение как разность квадратов:

Подставляем найденное значение  во все три уравнения системы:

Видно, что первое и третье уравнение одинаковые, поэтому оставляем только одно из них:

Вычтем из первого уравнение второе:

Подставим найденное значение a в уравнение системы:

Радиус больше нуля, следовательно:

Мы нашли необходимые три параметра, поэтому можно выписать искомое уравнение окружности:

Ответ:  

Типовые задачи на нахождение координат точек на окружности

Задача А

Дано:  – центр окружности;  – точка на окружности (см. Рис. 1).

Найти: уравнение окружности.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение окружности в общем виде:

Так как координаты центра окружности , то ; . Необходимо найти  – радиус данной окружности.

Нам известны две точки, поэтому радиус определим по формуле:

Выпишем уравнение окружности:

Ответ: .

Уравнение окружности позволяет найти точки на окружности по одной из координат этих точек.

Задача Б

Дано:  – уравнение окружности; ордината искомых точек равна 3 (см. Рис. 2).

Найти: точки окружности с ординатой, равной 3.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение данной окружности , следовательно, координаты ее центра , а радиус равен 5.

На рисунке видно, что необходимо найти координаты точек  и  (абсциссы данных точек).

Точки  и  лежат на окружности, поэтому их координаты удовлетворяют уравнению этой окружности. Для этих точек известно, что их ординаты равны 3. Получаем систему уравнений:

 или

Таким образом, координаты точки , а координаты точки .

Ответ: , .

Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки , , если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Дано:, ,  (см. Рис. 3).

Найти: уравнение окружности.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение данной окружности будет иметь следующий вид:

Нам необходимо найти  и .

1-й способ:

Так как окружность проходит через точки  и , то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставляем эти координаты в уравнение и получаем систему уравнений:

Правые части данных уравнений равны, поэтому равны и левые части:

Подставим данное значение в одно из уравнений системы:

Радиус – это положительное число, поэтому радиус равен:

Мы нашли все три параметра, задающих уравнение окружности, выпишем это уравнение:

2-й способ

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре  к отрезку . Теорема Пифагора для треугольника  задает искомое уравнение (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

В треугольнике : катет , гипотенуза , катет . Согласно теореме Пифагора:

Таким образом, ордината центра окружности будет равна:

Выпишем уравнение окружности:

Ответ: .

Задачи на геометрическое место точек

Геометрический смысл уравнения окружности и неравенств, вытекающих из этого уравнения (см. Рис. 5)

1. Уравнению  удовлетворяют только те точки  и  плоскости, которые лежат на окружности с центром в точке с координатами  и радиусом .

2. Неравенству  удовлетворяют все точки, лежащие внутри окружности с центром в точке с координатами  и радиусом . Такое неравенство задает круг.

3. Неравенство  задает внешность круга (без окружности).

Рис. 5. Геометрический смысл уравнения окружности и неравенств, вытекающих из этого уравнения

Задача А

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

Решение

1.  

Выделяем полный квадрат:

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами  и радиусом  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

2. Площадь круга вычисляется по формуле:

Подставляем известное значение радиуса:

Ответ: .

Задача Б

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

Решение

Из данного неравенства видно симметрию по . То есть если  – это одно из решений неравенства, то  – тоже одно из решений (см. Рис. 7).

Рис. 7. Симметрия относительно

Таким образом, нам необходимо решить задачу при , а далее использовать симметрию относительно .

Пусть , тогда . Следовательно, имеем неравенство без модуля:

Выделяем полный квадрат:

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами  и радиусом  (см. Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Используем симметрию относительно  и получаем искомое геометрическое место точек, то есть множество всех точек, которые удовлетворяют неравенству  (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. У нас получились два одинаковых круга, поэтому для нахождения площади этой фигуры необходимо площадь круга умножить на 2:

Подставляем значение радиуса:

Ответ: .

Задача В

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

Решение

Из данного неравенства видно симметрию по  и по , то есть допускается замена  на ,  на . Таким образом, если  – это одно из решений неравенства, то и , ,  – тоже одно из решений (см. Рис. 10).

Нам необходимо решить задачу при , , а далее использовать симметрию относительно  и .

Рис. 10. Симметрия относительно  и

Пусть, , тогда , . Следовательно, имеем неравенство без модуля:

Выделяем полный квадрат:

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами  и радиусом  (см. Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Используем симметрию относительно  и  и получаем искомое геометрическое место точек, то есть множество всех точек, которые удовлетворяют неравенству  (см. Рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

2. У нас получилось 4 одинаковых круга, поэтому для нахождения площади этой фигуры необходимо площадь круга умножить на 4:

Подставляем значение радиуса:

Ответ: .

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Pm298.ru» (Источник)

2. Интернет портал «Profmeter.com.ua» (Источник)

3. хостинг  «» (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 961, 970 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9.

2. Доказать, что уравнение  является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/metod-koordinat/reshenie-zadach-po-teme-uravnenie-okruzhnosti

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий