Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Объем призмы

Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Развернуть структуру обучения

структуру обучения

Для нахождения объема призмы применяется общая универсальная формула: V = Sh где:

V – объем призмы

Vn – объем призмы, в основании которой лежит правильный многоугольник с n сторонами
Sb – площадь основания призмы
h – высота призмы
n – количество сторон правильного многоугольника, который лежит в основании призмы
a – длина стороны правильного многоугольника
Если в основании призмы лежит треугольник, то для нахождения ее объема можно применить формулы нахождения площади треугольника и умножить полученное значение на высоту призмы.

Объем треугольной призмы можно найти через высоту основания ha и сторону a, на которую эта высота опущена (Формула 2). Не путайте ha и h.
Объем треугольной призмы можно найти через радиус вписанной окружности r и сумму длин сторон основания (a,b,c).(Формула 3)
Объем треугольной призмы можно вычислить как произведение длин сторон основания на четыре радиуса описанной окружности R, умноженное на высоту призмы. (Формула 4) Также, зная радиус описанной окружности, объем треугольной призмы можно найти как произведение синусов всех углов основания на квадрат радиуса описанной окружности, умноженное на удвоенную высоту призмы (Формула 5). Если известен угол между двумя сторонами основания и сами эти стороны, то половина произведения сторон основания на синус угла между ними и на высоту призмы, также позволит вычислить ее объем (Формула 6).  Есть также формулы нахождения объема призмы для специальных случаев, когда в основании лежит геометрическая фигура с “особенностями”. Например, если в основании прямой призмы лежит равносторонний, прямоугольный или равнобедренный треугольник, тогда количество формул, которыми можно воспользоваться для расчета объем призмы, существенно расширяется: На рисунке выше правильная треугольная призма изображена

синим цветом

. Где:

V – объем правильной треугольной призмы

ha – высота основания, опущенная на сторону основания a
h – высота призмы
r – радиус вписанной в основание окружности
R – радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной призмы

Где:

V – объем призмы с прямоугольным треугольником в основании

h – высота призмы
α – угол основания, противолежащий стороне a (катету a) прямоугольного треугольника
β – угол основания, противолежащий стороне b (катету b) прямоугольного треугольника
a,b – катеты прямоугольного треугольника, который является основанием призмы
c – гипотенуза прямоугольного треугольника, который является основанием призмы
r – радиус вписанной в основание призмы окружности
R – радиус описанной вокруг основания призмы, которое является прямоугольным треугольником, окружности

Учтите, что если, вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то гипотенуза треугольника лежит на ее диаметре, то есть c = 2R. Поэтому, при необходимости, можно заменить в формулах c на (2R).

  Если в основании призмы лежит равнобедренный треугольник, для нахождения ее объема можно воспользоваться следующими формулами: где:

V– объем призмы с равнобедренным треугольником в основании

h – высота призмы
hb – высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание
a – длина одной из равных сторон равнобедренного треугольника, лежащего в основании призмы
b – основание равнобедренного треугольника
α – угол между сторонами и основанием равнобедренного треугольника
β – угол между равными сторонами равнобедренного треугольника, который лежит в основании призмы Если в основании прямой призмы лежит прямоугольник, то количество формул для нахождения объема такой призмы также будет больше:

где:

V – объем призмы, в основании которой лежит прямоугольник

Vc – объем куба
h – высота призмы
a – длина стороны основания
b – длина второй стороны основания
R – радиус окружности, описанной вокруг основания куба
r – радиус окружности, вписанной в основание куба

0  

 Призма. Параллелепипед. Куб. Решение задач | Описание курса | Площадь боковой поверхности призмы 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson1086/?LESSON_PATH=456.523.539.1086

Призма. Все что нужно знать для подготовки к ЕГЭ по математике

Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы



Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Привет!

Сейчас я расскажу тебе ВСЕ о призме. Без воды. Только то, что нужно.

Помни о своей цели! Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Это самый лучший материал в инете.

Не веришь?

Посмотри отзывы внизу статьи и ты все поймешь… И, кстати, можешь оставить свои.

Ладно, хватит болтать – к делу!

формула объема призмы Необычная формула объёма призмы Объем правильной треугольной призмы Объем правильной четырёхугольной призмы Объем правильной шестиугольной призмы Площадь поверхности призмы А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате. ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Теперь я хочу услышать тебя!

Определение призмы

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Объем и площадь призмы

формула объема призмы:

 ,

где   — площадь основания,

  — высота.

 

Необычная формула объема призмы:

 ,

где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

А теперь подробнее….

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями. Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем ещё раз:

А теперь: рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.
  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то – четырёхугольной и так далее.
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но , к счастью, не в твоих задачах.
  • А у тебя будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

У прямой призмы:
  • все боковые грани прямоугольники;
  • все сечения проходящие через боковые рёбра – прямоугольники;
  • и даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро – прямоугольники.
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

1) Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

2) Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

3) Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

формула объема призмы

  –площадь основания

  – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

– то же самое, что

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

  – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Найдём объём:

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника

Подставляем в формулу объёма:

 .

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна  , боковое ребро равно  .

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Значит,  .

Объем правильной шестиугольной призмы

Что же такое  ? Как найти?

Смотри: шестиугольник   состоит из шести одинаковых правильных треугольников.

Значит:  

Ну и теперь  .

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

 

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

 , где   – периметр основания.

 .

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

Все боковые грани – прямоугольники. Значит  .

  – это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

 .

ПРИЗМА. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Определение

  • Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

2. Виды призм:

  • Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
  • Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.
  • Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

3. Объем и площадь призмы:

  • формула объема призмы:  , где   — площадь основания,   — высота.
  • Необычная формула объема призмы:  , где   – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,   – длина бокового ребра.
  • Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.  .

Теперь я хочу услышать тебя!

Я постаралась сжато, без воды рассказать о том, что такое призма.

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Или знаешь другой хороший материал на эту тему? 

Источник: https://youclever.org/book/prizma-1

Объемы тел. Объем пирамиды и объем призмы. урок. Геометрия 11 Класс

Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Вычислить объём тела – это значит сравнить его с эталоном, например с кубическим сантиметром. Сравнение происходит с помощью формул.

Пирамида – это геометрическая фигура, которая состоит из многоугольника, точки, не лежащей в плоскости многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

На рисунке 1 изображена пирамида SABCD. Точка S не лежит в плоскости основания (многоугольника ABCD) и соединена с вершинами многоугольника. Перпендикуляр SH – высота пирамиды.

Рис. 1. Пирамида

Формула для вычисления объёма пирамиды:

, где S – площадь основания пирамиды (ABCD), h – высота пирамиды ()

Если плоскость, тогда вершину S можно двигать по плоскости β в любом направлении, объём пирамиды при этом не изменится. Фигуры, у которых одинаковые объёмы, называются равновеликими. То есть пирамиды SABCD и  равновеликие.

Призма – это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями – параллелограммы.

На рисунке 2 изображена наклонная призма. Многогранники  и  в основаниях лежат в параллельных плоскостях, равны и расположены так, что боковые рёбра () между собой параллельны.

Рис. 2. Наклонная призма

Формула для вычисления объёма призмы:

 , где S – площадь основания ( или ), h – высота между основаниями, которая получается при опускании перпендикуляра из любой точки основания на плоскость, в которой лежит другое основание этой призмы ().

Если мы рассмотрим пирамиду , то её объём будет равен:

, где V­ – объём призмы

Дано:  – треугольная призма;  – объём призмы;  – секущая плоскость (рис. 3).

Найти: 1.  – объём пирамиды ; 2.  – объём фигуры над секущей плоскостью; 3.  – объём пирамиды ; 4.  – объём пирамиды

Решение:

1. Найдём объём пирамиды :

 , где  – объём призмы

Так как , то

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

2. Для нахождения объёма верхней части из общего объёма вычтем объём нижней части, то есть объём пирамиды :

3. Найдём объёмпирамиды  и . Для этого рассмотрим боковую грань призмы .Это параллелограмм, следовательно, площадь треугольника  равна площади треугольника . А так как эти треугольники являются основаниями пирамид  и , то такие пирамиды равновеликие, то есть их объёмы равны и в сумме дают объём верхней части .

Ответ: 1. ; 2. ; 3.; 4.

Дана правильная треугольная призма  (рис. 4), площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .

Дано: ; ;  ;  – секущая плоскость.

Найти:

Решение:

Секущая плоскость делит призму на две фигуры.

1. Найдём объём призмы .

 ,  – площадь основания призмы,  – высота призмы

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

2. Найдём объём пирамиды , то есть части призмы, находящейся над секущей плоскостью .

 , где  – основание пирамиды,  – высота пирамиды

3. Искомый нами объём – это объём фигуры , которая находится под секущей плоскостью  , следовательно, её объём равен:

Ответ:  

Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны  и , высота пирамиды равна 4. Найти объём данной пирамиды.

Дано: ; ; (рис. 5).

Найти:

Решение:

Вспомним формулу вычисления объёма усечённой пирамиды:

1.  , где   – высота усечённой пирамиды,  – площадь нижнего основания (),  – площадь верхнего основания ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

2. Дана правильная усечённая пирамида, следовательно, в основаниях лежат равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника равна:

 , где a – длина стороны треугольника

Площадь нижнего основания:

Площадь верхнего основания:

3. Подставляем известные значения в формулу объёма усечённой пирамиды:

Ответ:

Расстояние между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 3; 4; 5, боковое ребро равно 10. Найдите объём призмы.

Дано: ; ; ; ; ;  (рис. 6).

Найти:

Решение:

В решении этой задачи используем такую формулу нахождения объёма призмы:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

 , где  – площадь перпендикулярного сечения;  – боковое ребро призмы.

Чтобы получить расстояние между боковыми рёбрами, берём любую точку K на одном из рёбер (в нашем случае ), проводим перпендикуляр (KL) к этому ребру в одной плоскости и перпендикуляр (KN) к этому же ребру в другой плоскости.

Боковое ребро перпендикулярно по построению двум пересекающимся прямым из плоскости KLN, следовательно, все боковые рёбра перпендикулярны этой плоскости, поэтому ; ; . Плоскость KLN – перпендикулярное сечение призмы.

Найдём площадь этой призмы:

 прямоугольный, так как видим, что сумма квадратов стороны  и  равна квадрату стороны  (теорема Пифагора). Площадь прямоугольного треугольника равна

 , где a и b – длина катетов

Подставим значение площади перпендикулярного сечения и длины боковой грани в формулу объёма призмы:

Ответ:

На данном уроке мы повторили формулы расчёта объёмов призмы и пирамиды. Решили задачи с использованием этих формул.

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Clck.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
  2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
  3. В прямом параллелепипеде  диагонали  и  взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/11-klass/povtorenie/ob-emy-tel-ob-em-piramidy-i-ob-em-prizmy

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

 Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=Sосн . h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

Sбок=Pосн.h 

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн.h, то получим:

Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.

Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.

Пример призмы

В этом примере:— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.

— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро.

Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник: https://novstudent.ru/treugolnaya-prizma-vse-formulyi-i-primeryi-zadach/

Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы

Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Геометрия 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА

    Распечатать

Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат впараллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны сэтими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которогоявляются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.Призма является разновидностью цилиндра.Элементы призмы.
Основания (ABCDE, KLMNP) – 2 грани, являющиесяконгруэнтными многоугольниками, которые лежатв плоскостях, параллельных друг другу.Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждаяиз граней, не считая оснований. Все боковые грани – этопараллелограммы.Боковая поверхность – сумма боковых граней.Полная поверхность – сумма основания и боковойповерхности.Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороныбоковых граней.
Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Онперпендикулярен этим плоскостям.Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат однойграни.Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а такжедиагональ основания.Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получаетсяпараллелограмм, либо — ромб, прямоугольник, квадрат.Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярнойбоковому ребру призмы.Свойства призмы.
  • Основания призмы – это равные многоугольники.
  • Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
  • Боковые ребра призмы параллельные и равны.

площади основания.

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы:

S=P*l,где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

  • Площадь боковой поверхности прямой призмы:

S=P*h,где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих

боковых рёбрах.

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням.
  • Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:V = Sohгде V – объем призмы,So – площадь основания призмы,h – высота призмы.
Привальная четырехугольная пирамида.        Свойства правильной четырехугольной призмы.
  • Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;
  • Верхнее и нижнее основания параллельны;
  • Боковые грани имеют вид прямоугольников;
  • Все боковые грани равны между собой;
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям;
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны;
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;
  • Углы перпендикулярного сечения – прямые;
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.Виды призм.Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом.Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.Остальные призмы являются наклонными.Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковыеграни такой призмы — одинаковые прямоугольники.Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называетсяполуправильным многогранником.

Дополнительные материалы по теме: Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы

Источник: https://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Prizma-Obyem-Prizmy.html

Формулы объемов призм треугольных различных видов

Объем треугольника призмы. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

Любое твердое тело в трехмерном пространстве обладает некоторым объемом. Вычислением этой характеристики геометрических фигур занимается стереометрия. В данной статье рассмотрим, что такое призма треугольная, и по какой формуле объем призмы треугольной может быть рассчитан.

Треугольная призма

Эта фигура относится к классу призм, поэтому она, как любой представитель этого класса, состоит из двух одинаковых и параллельных оснований и параллелограммов.

Основаниями являются треугольники произвольного типа (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и другие), боковые же стороны могут быть произвольными параллелограммами, ромбами, квадратами и прямоугольниками.

Число боковых сторон равно трем. Рисунок ниже демонстрирует, о какой фигуре пойдет речь.

На этом рисунке мы видим геометрическую фигуру, которая состоит из пяти сторон, девяти ребер и шести вершин. Стороны мы уже охарактеризовали.

Что касается ребер, то любое из них можно отнести к одному из двух типов: либо ребро принадлежит одному из оснований (в этом случае оно является стороной треугольного основания), либо оно образовано пересечением боковых граней (боковое ребро). Важным свойством призмы является равенство всех ее боковых ребер.

Все треугольные призмы классифицируются по двум признакам:

  • прямые и наклонные;
  • правильные и неправильные.

Прямая призма обладает прямоугольными боковыми сторонами. Если ее основания будут равносторонними треугольниками, тогда она будет правильной. Далее мы приведем формулы объема призмы треугольной прямой, правильной фигуры, призмы с прямоугольным треугольником и фигуры наклонной.

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

V = So × h

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

So = 1 / 2 × ha × a

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Формула объема треугольной призмы правильной

Многогранник, который мы изучаем, будет правильным, если две его грани являются одинаковыми треугольниками равносторонними и три грани — это одинаковые прямоугольники. Формулу для объема такой призмы несложно получить из выражения общего вида, записанного в пункте выше. Чтобы это сделать, рассчитаем сначала площадь основания:

So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

Значение высоты треугольника ha получено, исходя из того факта, что для равностороннего основания она является также медианой и биссектрисой. Таким образом, площадь So является функцией только одного параметра (стороны a).

Формулу объема для изучаемой призмы можно получить, если умножить на высоту выражение выше:

V = √3 / 4 × a2 × h

Поскольку для рассматриваемой фигуры высота равна длине бокового ребра b, то полученное выражение также можно переписать через параметры a и b.

Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании

Прямоугольный треугольник представляет собой фигуру из трех сторон, две из которых пересекаются под прямым углом. Эти стороны называются катетами. Обозначим их a1 и a2. Третья сторона называется гипотенузой (a3). Из планиметрии известно каждому школьнику, что если взять половину произведения катетов, то можно получить площадь рассматриваемого треугольника, то есть:

So = a1 × a2 / 2

Так как призма является прямой, то достаточно умножить на So длину ее бокового ребра b, чтобы получить объем фигуры:

V = a1 × a2 × b/2

Объем правильной фигуры через значение ее диагонали

Треугольная призма является самой простой фигурой из своего класса, поэтому она обладает всего одним единственным типом диагонали. Это диагонали трех ее параллелограммов.

Предположим, что имеется правильная фигура, диагональ которой равна d (это диагональ прямоугольника), а высота равна h. Как рассчитать ее объем?

Для начала следует определить значение стороны основания a. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

d2 = h2 + a2 =>a = √(d2 — h2)

Тогда формула объема треугольной призмы приобретает вид:

V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

В случае правильной призмы объем всегда является функцией двух параметров (h и d в данном выражении).

Источник: Navolne

Источник: https://klevo.net/formuly-obemov-prizm-treugolnyh-razlichnyh-vidov/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий