Определить площадь многоугольника по известным сторонам. Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника и его элементов. урок. Геометрия 9 Класс

Определить площадь многоугольника по известным сторонам. Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

Правильным многоугольником называется такой выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Вот фрагмент правильного n-угольника:  – сторона,  – длина этой стороны,  – угол (рис. 1). Все стороны равны, и все углы тоже равны:

Рис. 1. Выпуклый многоугольник

Такой выпуклый n-угольник называется правильным.

У правильного n-угольника есть важные особенности.

1. Серединные перпендикуляры всех сторон пересекаются в одной точке (), в центре описанной окружности, радиусом окружности является отрезок ;  и т. д.

2. Все биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке . Значит, в n-угольник можно вписать окружность,  – середины сторон, это точки касания,  – это радиус вписанной окружности.  

Итак, есть описанная окружность и есть вписанная окружность, центр один и тот же (точка ), эта точка называется центром правильного n-угольника, а радиусы  являются важными элементами этого -угольника(рис. 2).

Далее отметим, что имеем равенство треугольников ,  и т. д.

Если мы зафиксируем , то важнейшими элементами n-угольника являются: длина стороны (); длина радиуса описанной окружности (); длина радиуса вписанной окружности (); периметр (); площадь (. Первые 4 элемента линейные. При заданном  любой из линейных элементов однозначно задает n-угольник, а значит, и все его основные элементы.

Рис. 2. Правильный многоугольник с описанной и вписанной окружностями

Зададим (рис. 3), требуется найти все остальные элементы (), заметим, что  у нас – фиксированное число.

Рис. 3. Элементы многоугольника

Решение

Решение основано на треугольнике .

 – это центр n-угольника, центр вписанной и описанной окружности;

 – это вершина, она лежит на описанной окружности, значит,  – это и есть радиус.

 – это половина стороны, потому что точка  – это точка касания с вписанной окружностью.

Важно, что мы знаем (∠, а  – половина этого угла).

 – радиус описанной окружности;  – радиус вписанной окружности;

 – половина стороны.

Если нам дан радиус, то, по существу, нам необходимо решить прямоугольный треугольник, в котором дана гипотенуза () и острый угол.

Чтобы найти катет (), необходимо гипотенузу () умножить на синус противолежащего угла ():

Задача решена, методика решения остальных задач такая же.

Дано:

Найти:

Решение

Решение основано на .

Находим (рис. 4),  – гипотенуза, чтобы найти гипотенузу, необходимо катет разделить на синус противолежащего угла.

Находим (рис. 4),  – катет, чтобы найти катет через другой катет, необходимо этот другой катет умножить на котангенс прилежащего угла:

Осталось найти :

Рис. 4. Радиусы описанной и вписанной окружностей

Задача решена.

Дано:

Найти:

Решение

 – это периметр ()

Ответ:.

Частные случаи

Важнейшим частным случаем является правильный треугольник.

Задача 4

Первый способ

Дано: ;

Найти:

Решение

Задача решена.

Второй способ

Рис. 5. Радиусы описанной и вписанной окружности

Рисунок 6.

Чтобы найти катет () (рис. 5), необходимо гипотенузу умножить на :

Катет, лежащий против угла в, равен половине гипотенузы:

Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на :

Задача решена.

Вывод

Мы познакомились с понятием «правильный многоугольник», узнали, каковы его элементы, и вывели формулы для их вычисления, решили типовые задачи, рассмотрели задачи частного случая.

Список литературы

  1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
  3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Задание 1. Верно ли утверждение:

а) любой правильный многоугольник является выпуклым;

б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

Задание 2. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен  см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Задание 3. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/formuly-dlya-vychisleniya-ploschadi-pravilnogo-mnogougolnika-i-ego-elementov

Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Определить площадь многоугольника по известным сторонам. Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Рис.1Рис.2

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:

Все стороны и углы одинаковы:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

1. Все стороны равны:
a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O

4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n – 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: 7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:
1. Формула площади n-угольника через длину стороны:
2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Рис.3

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Рис.4

Правильный четырехугольнику – квадрат.

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 – 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 – √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 – 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

© 2011-2020 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/regular_polygon/

Правильные многоугольники

Определить площадь многоугольника по известным сторонам. Площадь многоугольника через радиус вписанной окружности

О нас
Демоверсии
Учебные пособия
Справочник по математике
Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Многоугольники

      Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

      Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

      Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

      Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

      Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

      Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольникаСторона правильного многоугольникаРадиус вписанной окружностиРадиус описанной окружностиПериметрПлощадь
narRPS
Число вершин правильного многоугольника  n  
Сторона правильного многоугольника  a  
Радиус вписанной окружности  r  
Радиус описанной окружности  R  
Периметр  P  
Площадь  S  

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = anВыражение периметра через сторону
ПлощадьВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
ПлощадьВыражение площади через сторону
СторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного n – угольника

Выражение периметра через сторону

P = an

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного n – угольника

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через сторону

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного n – угольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = 3aВыражение периметра через сторону
Площадь

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через сторону
ПлощадьВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного треугольника

Выражение периметра через сторону

P = 3a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади правильного треугольника

Выражение площади через сторону

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Выражение площади через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Формулы для стороны правильного треугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = 6aВыражение периметра через сторону
ПлощадьВыражение площади через сторону
ПлощадьS = 3arВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус вписанной окружности
Сторонаa = RВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрP = 6RВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьВыражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного шестиугольника

Выражение периметра через сторону

P = 6a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

Выражение периметра через радиус описанной окружности

P = 6R

Формулы для площади правильного шестиугольника

Выражение площади через сторон

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

S = 3ar

Выражение площади через радиус вписанной окружности

Выражение площади через радиус описанной окружности

Формулы для стороны правильного шестиугольника

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

Выражение стороны через радиус описанной окружности

a = R

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

ВеличинаРисунокФормулаОписание
ПериметрP = 4aВыражение периметра через сторону
ПлощадьS = a2Выражение площади через сторону
Сторонаa = 2rВыражение стороны через радиус вписанной окружности
ПериметрP = 8rВыражение периметра через радиус вписанной окружности
ПлощадьS = 4r2Выражение площади через радиус вписанной окружности
СторонаВыражение стороны через радиус описанной окружности
ПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружности
ПлощадьS = 2R2Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра квадрата

Выражение периметра через сторону

P = 4a

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

P = 8r

Выражение периметра через радиус описанной окружности

Формулы для площади квадрата

Выражение площади через сторону

S = a2

Выражение площади через радиус вписанной окружности

S = 4r2

Выражение площади через радиус описанной окружности

S = 2R2

Формулы для стороны квадрата

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

a = 2r

Выражение стороны через радиус описанной окружности

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/regular.htm

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий