Отрезки касательных проведенных из одной точки равны. Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

Окружность. Основные теоремы

Отрезки касательных проведенных из одной точки равны. Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\). 

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} -\buildrel\smile\over{CA})\).

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB =\angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB – \angleMDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB – \angle MDA =\frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} -\frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} =\frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} – \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180\circ – \angle BDA – \angleCAD = 180\circ – \frac12\buildrel\smile\over{AB} – \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

Но \(\angle AMD = 180\circ – \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD}= \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180\circ – 2\alpha =2(90\circ – \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90\circ\), следовательно, \(\angle BAM =90\circ – \angle OAB = 90\circ – \alpha =\frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB},\buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\). 

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA2\).

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angleBCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM =0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA2\).

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):

}}\] Определения Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Вписанный угол – это угол, вершин”,”word_count”:1115,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://shkolkovo.net/theory/83

Касательные, касающиеся окружности

Отрезки касательных проведенных из одной точки равны. Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям



Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

1. Определения и основная теорема

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Итак.

Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

2. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда   разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла  , а другая дуга – внутри угла  .

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что   равен ПОЛОВИНЕ угла  ,   равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке – зеленого) угла  .

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим.   – радиус,   – касательная.

Значит ,  . Поэтому: .Но   (  и   – радиусы) .

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника   равна  .

Пишем:

Короче:

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что  .

3. Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке,  .

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись: проведём радиусы   и   и соединим   и  .

  –радиус.   – касательная, значит, . Ну, и так же  .

Получилось два прямоугольных треугольника   и  , у которых:

  •   – равные катеты
  •   – общая гипотенуза

(заглядываем в тему “Прямоугольный треугольник”, если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз   то .УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой  , пересекающей окружность, , где  – отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

4. Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные.
Две внешние общие касательные.

А всего – четыре – не больше, но может быть меньше.

Вот так:

Есть только две внешние общие касательные.
Или так: одна «внутренняя» и две «внешних».

А может быть вообще так:

только одна общая касательная:

И снова факты:

  1. Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
  2. Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом:внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

5. Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется

«окружности касаются внешним образом».

А вот такая картинка называется

«окружности касаются внутренним образом».

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!

КАСАТЕЛЬНЫЕ, КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

  • Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  • Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла:  , где
  •   – касательная,
  •   – хорда,
  •   – угол, внутри которого находится дуга  .
  • Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны:  
  • Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:  .
  • Секущая – прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках:   и  .
  • Для любой прямой  , пересекающей окружность:  ,где  – отрезок касательной.

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание Внутреннее касание 

Для двух окружностей с центрами   и  , и радиусами   и  :

  • при внешнем касании:  ;
  • при внутреннем касании:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/kasatelnye-kasayushhiesya-okruzhnosti-1

Касательная к окружности

Отрезки касательных проведенных из одной точки равны. Что такое касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, которая называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 1 прямая – касательная к окружности, точка Н – точка касания прямой и окружности с центром в точке О.

Доказательство

Дано: – касательная к окружности с центром в точке О, Н – точка касания (Рис. 2).

Доказать:ОН.

Доказательство:

Предположим, что ОН. Тогда радиус ОН является наклонной к прямой .

При этом перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой , меньше наклоннойОН, тогда расстояние от центра О окружности до прямой меньше радиуса.

Следовательно прямая и окружность будут иметь две общие точки, что противоречит условию: прямая – касательная. Поэтому наше предположение неверно, значит, ОН . Теорема доказана.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 637, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 639, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 640, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 658, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 692, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 23, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 712, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 877, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1147, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1171, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Нашли ошибку?

Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3510

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий