Параллелепипед прямоугольный и его диагонали. Параллелепипед и куб. Визуальный гид (2019)

Прямоугольный параллелепипед. урок. Геометрия 10 Класс

Параллелепипед прямоугольный и его диагонали. Параллелепипед и куб. Визуальный гид (2019)

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА1, ВВ1, DD1, СС1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда – это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),

АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),

АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1, B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед – это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник.

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.

АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ­1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD  =  90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Так как , а , то. Поскольку СС1 = АА1, то что и требовалось доказать.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 =

Рис. 6

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

Рис. 7

Решение:

 см.

Ответ:   см.

Рисунок

Дан куб АВСDА1В1С1D1 (рис. 8). Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.

Рис. 8

Доказательство:

Прямые ВС1 и В1С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ1С1С.

Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ1С1, а значит, и прямой ВС1, которая лежит в этой плоскости.

Имеем, прямая ВС1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым В1С и DC плоскости, значит А1В1D. Значит, прямая ВС1 перпендикулярна плоскости А1В1D.

Плоскость АВС1 проходит через перпендикуляр ВС1 ко второй плоскости А1В1D, значит, плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.

Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.

Список литературы по теме “Прямой параллелепипед”, “Ребра прямоугольного параллелепипеда”, “Основание параллелепипеда”, “Поверхность параллелепипеда”, “Длина диагонали параллелепипеда”

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание для закрепления темы “Основание параллелепипеда”, “Поверхность параллелепипеда”, “Основание прямоугольного параллелепипеда”, “Вершины параллелепипеда”, “Основание прямого параллелепипеда”, “Измерения параллелепипеда”

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Задания 8, 14 стр. 68.
  3. Каково взаимное расположение двух смежных граней прямого параллелепипеда? А не смежных?
  4. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и его гранями в прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c.
  5. Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1, если AB = 5 см, AD = 4 см, AA1 = 7 см, а двугранный угол при ребре AA1 равен 30°.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/pryamougolnyy-parallelepiped

Параллелепипед, куб. Подробная теория с примерами

Параллелепипед прямоугольный и его диагонали. Параллелепипед и куб. Визуальный гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое параллелепипед

Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом? Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Так и есть:

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Основные понятия

Смотри, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Свойства параллелепипеда

  • Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

  • Боковые ребра параллелепипеда равны:
  • Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Вот так:

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все гранипрямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.  .

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

  – прямоугольный, поэтому

  – тоже прямоугольный!

Поэтому

 ,

Подставим:

Вывели формулу.

Куб

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

 ,

То есть

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна  . Найти полную поверхность».

Пользуясь нашей формулой:  , мы узнали, что  , то есть  .

Значит полная поверхность – шесть площадей квадратов со стороной   -равна:

 .

Видишь как быстро? И ты применяй!

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определения:

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с   гранями), все грани которой — параллелограммы.
Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого   боковые грани – прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники
Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

2. Свойства:

  • Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
  • Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений.  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/parallelepiped-kub-1

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Параллелепипед прямоугольный и его диагонали. Параллелепипед и куб. Визуальный гид (2019)

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D2=AD2+DC2+C_1C2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$а$ – длина;

$b$ – ширина;

$с$ – высота(она же боковое ребро);

$P_{осн}$ – периметр основания;

$S_{осн}$ – площадь основания;

$S_{бок}$ – площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ – площадь полной поверхности;

$V$ – объем.

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.п}=2(ab+bc+ac).$

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

$V={1}/{3}S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

Площадь треугольника.

  • $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$.
  • $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
  • Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ – это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
  • $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.
  • $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ – радиус описанной окружности.
  • Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.
  • Для равностороннего треугольника $S={a2√3}/{4}$, где $а$ – длина стороны. 

В основании лежит четырехугольник.

  1. Прямоугольник.
    $S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.
  2. Ромб. $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба.

    $S=a2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.

  3. Трапеция.
    $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.
  4. Квадрат.
    $S=a2$, где $а$ – сторона квадрата.

Пример:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Решение:

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

$V={S_{прямоугольника}·h}/{3}={a·b·h}/{3}$, где $a$ и $b$ – стороны прямоугольника.

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

$СС_1=АА_1=4$

$V={А_1В_1·A_1D_1·СС_1}/{3}={8·12·4}/{3}=128$

Ответ: $128$

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС2+ВС2=АВ2$

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pryamiugolnyi_parallelepiped

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий