Последняя теорема ферма. Ферма великая теорема. Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях

Последняя теорема ферма. Ферма великая теорема. Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

23 июня исполнилось 25 лет с момента взбудоражившего всех объявления от Эндрю Уайлса, в котором он заявил о получении доказательства великой теоремы Ферма – наиболее известной в математике задачи возрастом 350 лет.

История, окружающая доказательство Уайлса – семь лет он тайно работал над этим проектом, разрыв в доказательстве, обнаружившийся после июньского объявления, элегантное решение, опубликованное год спустя в совместной работе, написанной Уайлсом вместе с его бывшим студентом Ричардом Тэйлором, получение рыцарского звания в 2000 – вошло в анналы математических легенд.

После прорыва Уайлса часто можно услышать рассуждения о наступлении новой «золотой эры» в математике, особенно в теории чисел – области, к которой и принадлежит теорема Ферма. Методы, представленные Уайлсом и Тейлором, сегодня являются частью инструментария специалистов по теории чисел, считающих историю Великой теоремы закрытой. Но эта история тронула не только специалистов по теории чисел. Мне неожиданно напомнили об этом события 2017 года, когда в промежуток из нескольких дней два логика, делавших доклад на двух разных континентах, указали на способы улучшения доказательства Теоремы – и рассказали о том, насколько удивились их коллеги, когда специалисты по теории чисел не выказали к их идеям никакого интереса. Логики выражали эти идеи на языках своих соответствующих специальностей – теории множеств и теоретической информатики. Сделанные ими предложения по сути своей были истинными, и, возможно, когда-нибудь поднимут новые вопросы, не менее интересные, чем у Ферма. Однако мне сразу же стало ясно, что эти вопросы не имеют отношения к специалистам по теории чисел, и любые иные предположения отражают глубокое непонимание природы доказательства Уайлса и целей теории чисел в целом. Корни этого непонимания можно обнаружить в простоте утверждения Теоремы, которая и отвечает за большую часть её привлекательности: если n – любое положительное целое число, большее 2, то невозможно найти три таких положительных числа, a, b и c, что:

Это ярко контрастирует с тем случаем, когда n равно 2: любой человек, изучавший евклидову геометрию, вспомнит, что 32 + 42 = 52, что 52 + 122 = 132, и так далее (этот список бесконечен).

За последние несколько столетий математики пытались объяснить наличие такого контраста, и каждый раз терпели неудачу, оставляя, однако, за собой целые новые ветви математики.

Среди этих ветвей – крупные области современной теории чисел, привлечённой Уайлсом для своего успешного решения, а также множество фундаментальных идей в каждой части науки, затронутой математиками. И однако никто до Уайлса не мог доказать утверждение Ферма.

Специалисты по информатике недавно ощутили радостное возбуждение, узнав о прогрессе, достигнутом в автоматическом подтверждении доказательств – амбициозной попытке реализовать формалистский подход к математике на практике. Для формалистов, математическое доказательство – это список утверждений, удовлетворяющих строгим ограничениям:

  1. Заявления в начале списка должны включать в себя общепринятые идеи. В строгой интерпретации сюда входят только аксиомы формальной теории множеств, обычно из формальной системы, известной, как ZFC (система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Это совершенно непрактично, поэтому мы также разрешаем включать сюда уже доказанные теоремы – к примеру, Великую теорему для случая n=4, который уже сам Ферма доказал в XVII веке.
  2. Каждое следующее утверждение должно получаться применением правил логической дедукции к предыдущим утверждениям.
  3. Наконец, доказанная теорема должна быть на последнем месте в списке.

Математическую логику разрабатывали в надежде установить математику на прочную основу – как аксиоматическую систему, свободную от противоречий, которая способна рассуждать, не скатываясь в нелогичность. Хотя работа Курта Гёделя показала несбыточность этой мечты, многие философы от математики, а также некоторые логики (небольшое, но активное меньшинство, если верить специалистам по теории множеств), всё ещё относятся к ZFC и упомянутым требованиям, как к некоей конституции от математики. Однако математики никогда не записывают доказательства таким способом. Логический анализ доказательства Уайлса указывает на множество шагов, не учитывающих ZFC, тая в себе потенциал для скандала: если математики придумывают правила, не проверяя их на конституционность, откуда они знают, что все они имеют в виду одно и то же? Автоматическая проверка доказательств, кажется, предлагает решение этой проблемы. Она подразумевает переформулировку доказательства через набор раздельных заявлений, каждое из которых записано непротиворечивым языком, который компьютер может считать, а затем и подтвердить конституционную верность каждого шага. Этот трудоёмкий метод с успехом применялся ко многим длинным и сложным доказательствам, наиболее известное из которых – доказательство гипотезы Кеплера о наиплотнейшей упаковке сфер, сделанное Томасом Хейлсом. Проверка доказательства Уайлса давно считалась одной из главных целей. Поэтому мой друг, специалист по информатике, был искренне разочарован, что поиски «чистых математиков, безапелляционно поддерживающих использование автоматических инструментов в построении их аргументов», как он это сформулировал, пока не дают результатов.
“Арифметика” Диофанта издания 1670 года, в котором в основной текст включена и печально известная заметка Ферма. В переводе она звучит так: «Кубу невозможно быть суммой двух кубов, четвёртой степени невозможно быть суммой двух четвёртых степеней, или, в общем, любому числу, представляющему собою степень, большую второй, невозможно быть суммой двух таких же степеней. Я открыл воистину чудесное доказательство этого предположения, для размещения которого здесь эти поля слишком узки». Первое, что не учитывает это разочарование — что доказательство Уайлса, пусть сложное, имеет простую основу, которую легко объяснить обывательской аудитории. Допустим, что, в противоречие с утверждением Ферма, существует тройка положительных целых чисел a, b, c таких, что

(A) ap + bp = cp

для некоего нечётного простого p (а достаточно рассматривать только простые числа). В 1985 году Герхард Фрей показал, что a, b и c можно перегруппировать в (B) новое уравнение, под названием «эллиптическая кривая» со свойствами, которые, как все считали, невозможны. Точнее говоря, уже давно было известно, как выразить эту эллиптическую кривую через (С) представление Галуа которое является бесконечным набором уравнений, связанных как с эллиптической кривой, так и друг с другом чёткими правилами. Связь между этими шагами была хорошо известна в 1985 году. К тому времени большинство специалистов по теории чисел были убеждены – хотя доказательства пока не было – что каждому представлению Галуа можно назначить, опять-таки, по чётким правилам, (D) модулярную функцию, что-то вроде двумерного обобщения знакомых из тригонометрии функций синуса и косинуса. Итоговое звено было получено, когда Кен Рибет подтвердил предположение Жан-Пьера Сера о том, что свойства модулярной функции, заданные формой эллиптической кривой Фрея, подразумевают существование (E) ещё одной модулярной функции веса 2 и уровня 2. Однако таких функций существовать не может. Следовательно, не существует ни модулярной функции (D), ни представления Галуа (С), ни уравнения (B), ни решения (A). Оставалось лишь найти отсутствующее звено между (С) and (D), которое математики назвали гипотезой модулярности.

Это звено было объектом семилетних поисков Уайлса. С нашей текущей точки зрения тяжело в полной мере оценить отважность этого рискованного предприятия. Через двадцать лет после того, как Ютака Танияма и Горо Шимура в 1950-х впервые сообщили о связи между (B) и (D) через (С), математики постепенно пришли к выводу, что это должно быть так.

Именно эту надежду высказал в очень популярной работе Андре Вейл, которая идеально вписалась в крайне влиятельную программу Ленглендса, названную в честь канадского математика Роберта Ленглендса. Эта связь была слишком хорошей для того, чтобы не быть правдой. Однако гипотеза модулярности казалась совершенно недостижимой.

Объекты типов (С) и (D) были слишком разными.

Специалист по информатике не пояснил, связано ли его разочарование с тем, что специалистам по теории чисел было неважно, что доказательство было ограничено поисками критически важного звена между (С) и (D), или что оно простиралось на всём промежутке от (A) до (E). Не буду пытаться разобраться в этом. Но если логикам нужно было только формально подтвердить опубликованное доказательство связи между (С) и (D), то их ожидания были слишком завышенными. Во-первых, Уайлс доказал лишь чуть более, чем достаточно для того, чтобы гипотеза модулярности завершала дедукцию «от (A) до (E)». Полную гипотезу модулярности установили несколько лет спустя Кристоф Бройль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тэйлор. Но это не бросает тень на работу Уайлса! Наоборот, то, что такое большое количество ведущих мировых специалистов по теории чисел пошли по стопам работы Уайлса всего через несколько месяцев после её появления, говорит о её богатстве. К примеру, чуть позже, осенью 2016 года, 10 математиков встретились в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси, и смогли доказать наличие связи между эллиптическими кривыми и модулярными функциями в новых условиях. Все они использовали разные пути для понимания структуры доказательства Уайлса, появившегося, когда некоторые из них ещё были детьми. Если бы их попросили описать это доказательство в виде последовательности логических выводов, они, несомненно, выдали бы 10 разных его вариантов. Каждый из них напоминал бы путь от (A) до (E), описанный выше, но был бы гораздо более детальным. Тем не менее – и это всегда упускают из философского взгляда на доказательства – каждый из этих десяти приписал бы авторство своего доказательства Уайлсу. Они бы ссылались на них тем же образом, что и на другие доказательства, изучаемые ими в разъяснительных статьях или на учебных курсах, которые они посещали или которые преподавали. И хотя каждый из десяти опустил бы какие-нибудь детали, в целом все они были бы правы. Что же такое доказательства Уайлса, если оно может иметь так много разных вариантов? В математической философии принято относиться к опубликованному доказательству, как к приближению к идеальному формализованному доказательству, которое в принципе можно проверить на компьютере, применяющем правила формальной системы. Идеальное доказательство не загрязняется ничем, что находится за пределами формальной системы – так, будто бы каждый закон нёс на себе метку, подтверждающую его конституциональную оправданность. Но такой подход противоречит тому, что сами математики говорят о своих доказательствах. Математики не применяют идеологических или философских лакмусовых тестов, но я убеждён, что большинство моих коллег согласятся с Майклом Фрэнсисом Атья, заявившим, что доказательство – «это итоговая проверка, но не основа чего-либо». Опубликованное доказательство явно не является основой чего-либо.

Уайлс и специалисты по теории чисел, уточнявшие и расширявшие его идеи, несомненно не ожидали получить предложения от двух логиков.

Но – в отличие от многих людей, наблюдающих за теорией чисел издалека – они определённо понимали, что к такому доказательству, как к тому, что опубликовал Уайлс, не стоит относиться, как к некоему артефакту в себе.

Наоборот, доказательство Уайлса – это стартовая точка открытого диалога, который является слишком неуловимым и живым, чтобы ограничивать его серьёзными пределами, чуждыми данной теме.

  • великая теорема ферма
  • научный метод
  • логика
  • информатика
  • теория чисел

Хабы:

  • Математика
  • Научно-популярное

Источник: https://habr.com/post/461179/

Разоблачаем ! Великая теорема Ферма доказана ?

Последняя теорема ферма. Ферма великая теорема. Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма
В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слы­шавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоми­наний — невозможность доказать теорему .

Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и про­фессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма , очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула  а в степени n + b  в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2.

Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.Почему она так знаменита? Сейчас узнаем …
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства.

Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2.

В чем же она состоит?Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны».

Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство.

Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки.

Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений.

Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):
А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:

А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение xn+yn=zn. И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4.

Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве­ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие.

К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа­тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5.

В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя.

Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам.

Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен.

Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.Вскоре он умер естественной смертью.

Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма.

За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:

Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке … . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.

Профессор Э. М. ЛандауВ 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая – свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен­ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи­ческой точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер­ма.

Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио­нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до­казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда …

[источники]источник
http://zablugdeniyam-net.ru/fakty/velikaya-teorema-ferma-do-six-por-ne-dokazana/
Саймон Сингх «Великая теорема Ферма» -http://atlakatl.gorod.tomsk.ru/index-1272495565.php
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-21724/

А для любителей математики добавлю еще рассуждения о Золотом сечении и симметрии или вот например вы знаете, почему по прямой дальше, чем по дуге ?. Ну и на всякий случай напомню, где можно почитать ВСЕ РАЗОБЛАЧЕНИЯ !

Источник: https://masterok.livejournal.com/1230401.html

Теорема Ферма

Последняя теорема ферма. Ферма великая теорема. Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Материал из Lurkmore

«— Вы выиграли, Саймон, — прошептал чёрт, глядя на математика с беззлобным уважением. — Даже я не мог за это короткое время изучить математику настолько, чтобы одолеть такую трудную задачу. Чем больше я в неё углублялся, тем хуже шло дело. Неединственное разложение на множители, идеальные числа — о Ваал!.. Вы знаете, — доверительно сообщил он, — даже лучшие математики других планет, а они ушли далеко от вас, не добились решения. Эх, один молодчик на Сатурне — он немного напоминает гриб на ходулях — в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Но и он спасовал. — Дьявол вздохнул. —»
— А. Порджес, Саймон Флэгг и дьявол

Великая теорема Ферма — утверждение, сформулированное Пьером Ферма в древнем 1637 и ставшее главным бредо- и лулзогенератором в математике.

Всего-то. И что в ней все нашли?

[править] О чем речь?

Давным-давно, еще в античной Греции, дедушка Пифагор придумал и доказал теорему имени себя, ту самую, которая «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Практически сразу обнаружились пифагоровы тройки — такие наборы из трех натуральных чисел, что если взять отрезки таких длин, то получится прямоугольный треугольник. Задача несложная, в лучшие годы ее давали в школе, а тройка «3, 4, 5» была известна еще египетским фараонам.

Сабж является прямым аналогом этой задачки, только чуть более сложным. Здесь степени не вторые, а любые натуральные больше двух.

Короче говоря, великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений при n > 2. Всего-навсего.

[править] Начало

Ферма смотрит на тебя как на простое число

XVII век от Рождества Христова. Франция. Тулуза. Юристу Ферма патологически нечего делать по вечерам. В те славные времена интернета ещё не было, письма были бумажными, а юрист Ферма — честным.

Соответственно, ходить на местные аналоги дискотеки ему было не комильфо, бухать с VIP-друзьями в кабаке тоже не рекомендовалось, а полагалось сидеть дома и скучать. Посему у Пьера нашего Ферма появилось невинное увлечение: он занимался математикой.

В частности, сидел, почитывал и порешивал книжку «Арифметика» за авторством Диофанта, учёного древнегреческого разлива, да обобщал задачки, ибо мужик был умный.

Вообще, Ферма много чего сделал хорошего, доброго и вечного, но тут не будем говорить о его вкладе ни в матан, ни в теорию чисел, ни во все остальное. Речь пойдет о ВТФ.

В знаменитом экземпляре «Арифметики» он на полях написал формулировку и, ставшее мемом: «Я доказал этот поистине удивительный факт, но поля этой книги слишком узки для доказательства». Потом он начал писать письма, предлагая своим коллегам решить эту «простенькую задачу». Теорема пошла в массы, и всё завертелось на следующие триста лет.

[править] Анамнез

С мыслью о методе Колывагина — Флаха Эндрю Уайлс взирает на окружающий мир

Коллеги Ферма начали срать кирпичами: задачка по виду простенькая, как два пальца об асфальт, но не получается. Блеать, нихуя не получается, то есть вообще.

От самого Ферма осталось доказательство для случая n = 4, а в легендарном доказательстве, надо полагать, была ошибка, или оно, аки второй том «Мёртвых душ», было спалено в приступе белой горячки. Эйлер, к которому задача попала через Мерсенна, доказал для n = 3 и грустил, пытаясь разродиться доказательством в общем случае.

Ни-че-го, пусто-пусто. Впоследствии многие пробовали доказать эту теорему, но все фейлили.

Показательно, что в своё время Гильберт, когда его спросили, не пробовал ли и он доказать ВТФ, разразился долгой речью, мол, само по себе это не нужно, бла-бла-бла, очень уже и так много клёвых методов придумали, пытаясь доказать, да и вообще, он не специалист. Ну да, конечно.

Когда старый хитрец отдал Б-гу душу, у него в черновиках нашли не одну сотню страниц с попытками доказать ВТФ.

Но Гильберт был прав в том, что всякого вкусного и интересного при попытках доказательства изобрели немало: для специалистов один метод бесконечного спуска чего стоит — а ведь это далеко не всё, желающим гугл в помощь.

Наконец, в середине XX века двумя японцами, Симурой и Таниямой, была сформулирована некая гипотеза, суть которой доступна чуть более чем никому. А потом неким Рибетом было доказано, что из нее следует ВТФ.

Забрезжил свет в конце тоннеля, и в 90-е, Уайлс, британский аналог нашего Перельмана, доказал эту гипотезу и, соответственно, сабж. Тут тоже не обошлось без драмы: в первом доказательстве была найдена ошибка, которую Уайлс, подвергаемый травле бокланов со всего света, всё-таки исправил.

Исправлял год и с большим трудом, но сдюжил. Его работу снова проверили, на этот раз ошибок не нашли. Epic win.

[править] А лулзы?

О, этого добра навалом. Подобно мобилистам, изобретающим вечный двигатель, по сей день существуют фермисты, которые ищут простое доказательство ВТФ. Зайдя на любой форум фриков, можно насладиться их бредом. Сколько их, нашедших то самое, элементарное доказательство.

Многие из них разъехались по палатам с Наполеоном, иные продолжают бомбардировать все инстанции: институт Клея, академию наук, МГУ и все остальное со своими доказательствами.

Эдмунд Ландау, немецкий математик и лентяй, напечатал специальные бланки со следующим текстом: «уважаемый %username%, первая ошибка в вашем доказательстве Великой теоремы Ферма находится на %d странице в %d строке». ИЧСХ, обленился настолько, что поиск ошибок поручал своим студентам в качестве домашнего задания.

В 1972 году журнал «Квант» опубликовал статью о ВТФ, снабдив замечанием: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Не надо думать, что после доказательства ВТФ ферматисты успокоились, нет. Доказательство же негодное, сложное.

Они ищут элементарное, доступное школьнику, доказательство, но поскольку все они сами с трудом знают школьную программу, получается рафинированный бред.

Ознакомиться с этой чушью можно где угодно, например, на форуме dxdy, и там же можно познакомиться с гигатоннами кирпичей, высираемых тамошними завсегдатаями от этих текстов. Но фрики неуёмны.

Из забавных историй можно вспомнить байку, описанную в книжке Сингха, про некоего немца, которому ВТФ спасла жизнь. Пациента бросила телка, он обанкротился, жизнь была лютое говно, и херр решил застрелиться, причем ровно в полночь.

Приведя свои дела в порядок, насколько это было возможно, увидел, что времени только 9 вечера, и решил подождать. Немец же: Ordnung muss sein. Ну и присел подоказывать ВТФ. Увлекся этим делом, а когда вспомнил, что решил стреляться, было уже крепко за полночь.

Поняв, что это знак, решил отложить суицид до лучших худших времен… А потом дела пошли на поправку, и закончил он свой жизненный путь преуспевающим бизнесменом и весьма богатым человеком. На радость наследничкам херр завещал тому, кто докажет ВТФ, изрядную по тем временам сумму.

Что стало с премией неизвестно, надо полагать за время XX века она обесценилась, пруфов, в общем, не будет.

Почему же в деле доказательства ВТФ такой лютый пиздец и откуда столько фриков? Ну как же, такая простая формулировка, впрочем в теории чисел таких много.

А при доказательстве легко ухватиться за простую идею и начать сводить задачу к другим. Ничего, правда, не получится, это дело бесконечное. Видимо потому, что сам этот факт случайно частный случай более общего эффекта.

Той самой теоремы Таниямы-Симуры. Такое в математике частенько бывает. А еще это так, потому что это так.

[править] Кроме того

ВТФ — далеко не последняя теорема, формулировка которой доступна любому идиоту, с чудовищно сложным доказательством или вообще не имеющая вразумительного решения. Гуглить, к примеру, проблему Гольдбаха, проблему близнецов или гипотезу Коллатца.

Много всякого неизвестного и непонятного осталось про простые числа. Простые числа такие простые.

Опять же проблема о нулях дзета-функции Римана, положительное решение которой принесет мир в души криптографов и физиков, а отрицательное неопровержимо докажет, что наш мир чуть менее, чем целиком состоит из НЁХ.

Да и гипотеза Пуанкаре, которую доказал Перельман, относится туда же. Так что, есть еще много возможностей обессмертить свое имя, доказав какой-нибудь математический факт, или попасть в стационар, в комнату с мягкими стенами и улыбчивыми санитарами, что более вероятно.

Забавно, но ВТФ, при всей ее знаменитости, одна из наиболее бессмысленных гипотез сама по себе. Большинство остальных знаменитых гипотез имеет глубокий, или не очень, прикладной смысл.

Особенно это, конечно, относится к гипотезе о нетривиальных нулях дзета-функции, но и другие проблемы, в общем-то, тоже могли бы принести пользу.

Даже теорема о модулярах, через которую доказывается ВТФ, имеет некоторое применение в теории криптостойкости.

Но известность получила в первую очередь ВТФ. Надо полагать, что в этом виновата ее формулировка и романтическая история с потерянным доказательством, впрочем кто его знает?

[править] Алсо

В багтрекерах, mailing list'ах и прочих форумах западные коллеги «последним постом Ферма» («Fermat's last post») называют сообщение топикстартера о том, что он нашел простое решение проблемы, после чего ТС исчезает вместе со своим решением, так и не успев вместить его на поля сообщения.

Источник: https://lurkmore.to/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0%20%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0

Кому поля не жмут

Последняя теорема ферма. Ферма великая теорема. Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Функционирует при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям (Роспечать)

15 марта стало известно, что премию Абеля в 2016 году получит Эндрю Уайлз за доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых и следующее из этой гипотезы доказательство великой теоремы Ферма. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

Теорема Ферма, доказанная более 20 лет назад, до сих пор привлекает внимание математиков. Отчасти, это связано с ее формулировкой, которая понятна даже школьнику: доказать, что для натуральных n>2 не существует таких троек целых ненулевых чисел, что an + bn = cn.

Это выражение Пьер Ферма записал на полях «Арифметики» Диофанта, снабдив замечательной подписью «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство [этого утверждения], но поля книги слишком узки для него». В отличие от большинства математических баек, эта — настоящая.

Вручение премии — прекрасный повод вспомнить десять занимательных историй, связанных с теоремой Ферма.

1

До того, как Эндрю Уайлз доказал теорему Ферма, ее правильнее было называть гипотезой, то есть гипотезой Ферма. Дело в том, что теорема — это по определению уже доказанное утверждение. Однако, почему-то к этому утверждению приклеилось именно такое название.

2

Если в теореме Ферма положить n = 2, то у такого уравнения существует бесконечно много решений. Эти решения называются «пифагоровы тройки». Такое название они получили потому, что им соответствуют прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются именно такими наборами чисел.

Генерировать пифагоровы тройки можно с помощью таких вот трех формул (m2 — n2, 2mn, m2 + n2). В эти формулы надо подставлять разные значения m и n, и в результате будут получаться нужные нам тройки.

Главное тут, впрочем, убедиться, что полученные числа будут больше нуля — длины не могут выражаться отрицательными числами.Кстати, легко заметить, что если все числа в пифагоровой тройке умножить на некоторое ненулевое, получится новая пифагорова тройка.

Поэтому разумно изучать тройки, в которых у трех чисел в совокупности нет общего делителя. Схема, которую мы описали, позволяет получить все такие тройки — это уже совсем не простой результат.

3

1 марта на 1847 года заседании Парижской академии наук сразу два математика — Габриэль Ламе и Огюстен Коши — объявили, что находятся на пороге доказательства замечательной теоремы. Они устроили гонку, публикуя кусочки доказательства.

Большинство академиков болело за Ламе, поскольку Коши был самодовольным, нетерпимым к чужому мнению религиозным фанатиком (и, разумеется, совершенно блестящим математиком по совместительству).

Однако, матчу не суждено было завершиться — через своего друга Жозефа Лиувилля немецкий математик Эрнст Куммер сообщил академикам, что в доказательствах Коши и Ламе есть одна и та же ошибка. В школе доказывается, что разложение числа на простые множители единственно.

Оба математика полагали, что если смотреть на разложение целых чисел уже в комплексном случае, то это свойство — единственность — сохранится. Однако это не так.

Примечательно, что если рассматривать только m + i n, то разложение единственно. Такие числа называются гауссовыми. Но для работы Ламе и Коши потребовалось разложение на множители в циклотомических полях. Это, например, числа, в которых m и n — рациональные, а i удовлетворяет свойству ik = 1.

4.

Теорема Ферма для n = 3 имеет понятный геометрический смысл. Представим себе, что у нас есть много маленьких кубиков. Пусть мы собрали из них два больших куба. В этом случае, понятное дело, стороны будут целыми числами.

Можно ли найти два таких больших куба, что, разобрав их на составляющие мелкие кубы, мы бы могли собрать из них один большой куб? Теорема Ферма говорит, что так сделать никогда нельзя. Забавно, что если задать тот же вопрос для трех кубов, то ответ утвердительный.

Например, есть вот такая четверка чисел, открытая замечательным математиком Шринивасом Рамануджаном:

33 + 43 + 53 = 63

5

В истории с теоремой Ферма отметился Леонард Эйлер. Доказать утверждение (или даже подступиться к доказательству) у него толком не получилось, однако он сформулировал гипотезу о том, что уравнение

x4 + y4 + z4 = u4

не имеет решения в целых числах. Все попытки найти решение такого уравнения в лоб оказались безрезультатны. Только в 1988 году Науму Элкиесу из Гарварда удалось найти контрпример. Он выглядит вот так:

2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 .

Обычно эту формулу вспоминают в контексте численного эксперимента. Как правило, в математике это выглядит так: есть некоторая формула. Математик проверяет эту формулу в простых случаях, убеждается в истинности и формулирует некоторую гипотезу.

Затем он (хотя чаще какой-нибудь его аспирант или студент) пишет программу для того, чтобы проверить, что формула верна для достаточно больших чисел, которые руками не посчитать (про один такой эксперимент с простыми числами мы совсем недавно писали). Это не доказательство, конечно, но отличный повод заявить о гипотезе.

Все эти построения базируются на разумном предположении, что, если к некоторой разумной формуле есть контрпример, то мы найдем его достаточно быстро.

Гипотеза Эйлера напоминает, что жизнь гораздо разнообразнее наших фантазий: первый контрпример может быть сколь угодно большим.

6

На самом деле, конечно, Эндрю Уайлз не пытался доказать теорему Ферма — он решал более сложную задачу под названием гипотеза Таниямы-Шимуры. В математике есть два замечательных класса объектов. Первый называется модулярными формами и представляет собой по сути функции на пространстве Лобачевского. Эти функции не меняются при движениях этой самой плоскости.

Второй называется «эллиптическими кривыми и представляет собой кривые, задаваемые уравнением третьей степени на комплексной плоскости. Оба объекта очень популярны в теории чисел. В 50-х годах прошлого века два талантливых математика Ютака Танияма и Горо Шимура познакомились в библиотеке Токийского университета.

В то время особой математики в университете не было: она просто не успела восстановиться после войны. В результате ученые занимались по старым учебникам и разбирали на семинарах задачи, которые в Европе и США считались решенными и не особенно актуальными. Именно Танияма и Шимура обнаружили, что между модулярными формами и эллиптическими функциями есть некое соответствие.

Свою гипотезу они проверили на некоторых простых классах кривых. Оказалось, что она работает. Вот они и предположили, что эта связь есть всегда. Так появилась гипотеза Таниямы-Шимуры, а спустя три года Танияма покончил с собой. В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей показал, что если теорема Ферма неверна, то, следовательно, неверна гипотеза Таниямы-Шимуры.

Из этого вытекало, что доказавший эту гипотезу, докажет и теорему. Именно это и сделал — правда не совсем в общем виде — Уайлз.

7

На доказательство гипотезы Уайлз потратил восемь лет. И во время проверки рецензенты нашли в ней ошибку, которая «убивала» большую часть доказательства, сводя на нет все годы работы. Один из рецензентов по имени Ричард Тейлор взялся заделать вместе с Уайлзом эту дырку.

Пока они работали, появилось сообщение, что Элкиес, тот самый, который нашел контрпример к гипотезе Эйлера, нашел и контрпример и к теореме Ферма (позже оказалось, что это была первоапрельская шутка). Уайлз впал в депрессию и не хотел продолжать — дырка в доказательстве никак не закрывалась.

Тейлор уговорил Уайлза побороться еще месяц.

Случилось чудо и к концу лета математикам удалось сделать прорыв — так на свет появились работы «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлза (pdf) и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлза. Это было уже правильное доказательство. оно было в 1995 году.

8

В 1908 году в Дармштадте скончался математик Пауль Вольфскель. После себя он оставил завещание, в котором давал математическому сообществу 99 лет, чтобы найти доказательство великой теоремы Ферма.

Автор доказательства должен был получить 100 тысяч марок (автор контрпримера, кстати, не получил бы ничего). Согласно распространенной легенде, сделать такой подарок математикам Вольфскеля побудила любовь.

Вот как описывает легенду Саймон Сингх в своей книге «Великая теорема Ферма»:

История начинается с того, что Вольфскель увлекся красивой женщиной, личность которой так никогда и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, загадочная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе.

Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера.

Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, действительно ли ему удалось обнаружить серьезный пробел, или сделанное Куммером предположение было обоснованным.

Если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать гораздо проще, чем полагали многие.

Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления.

Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной.

Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

Впрочем, есть и альтернативная версия. Согласно ей, Вольфскель занялся математикой (и, собственно, теоремой Ферма) из-за прогрессирующего рассеянного склероза, который помешал заниматься ему любимым делом — быть врачом. А деньги математикам он оставил, чтобы не оставлять своей жене, которую к концу жизни просто ненавидел.

9

Попытки доказать теорему Ферма элементарными методами привели к появлению целого класса странных людей под названием «ферматисты». Они занимались тем, что производили огромное количество доказательств и совершенно не отчаивались, когда в этих доказательствах находили ошибку. На мехмате МГУ был легендарный персонаж по фамилии Добрецов.

Он собирал справки из разных ведомств и, пользуясь ими, проникал на мехмат. Делалось это исключительно для того, чтобы найти жертву. Как-то ему попался молодой аспирант (будущий академик Новиков). Он, по наивности своей, принялся внимательно изучать стопку бумаг, которую Добрецов подсунул ему со словами, мол, вот доказательство.

После очередного «вот ошибка…» Добрецов забрал стопку, запихнул ее в портфель. Из второго портфеля (да, он ходил по мехмату с двумя портфелями) он достал вторую стопку, вздохнул и сказал: «Ну тогда посмотрим вариант 7 Б».

Кстати, большинство таких доказательств начинается с фразы «Перенесем одно из слагаемых в правую часть равенства и разложим на множители».

10

Рассказ о теореме будет неполон без замечательного фильма «Математик и черт».

В разделе 7 этой статьи первоначально говорилось, что Наум Элкиес нашел контрпример к теореме Ферма, который впоследствии оказался ошибочным. Это неверно: сообщение о контрпримере было первоапрельской шуткой. Приносим извинения за неточность.

Андрей Коняев

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Узнайте, каковы ваши шансы умереть в случае заражения коронавирусом

Источник: https://nplus1.ru/news/2016/03/17/ferma

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий