Построить график y 3x 1. Преобразования графиков с модулем

Основные правила преобразования графиков функций. урок. Алгебра 9 Класс

Построить график y 3x 1. Преобразования графиков с модулем

Наверняка многие из вас могут быстро и правильно построить графики некоторых функций, не прибегая к вычислениям значений точек. Всем известно, что график функции  – это прямая, а график функции  – это парабола. Но как построить, например, график функции , не вычисляя значения точек? Для этого существуют правила преобразования графиков функций.

Предположим, что у нас есть функция  (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одним и тем же значениям аргумента соответствуют противоположные значения функций. Графически это означает, что графики расположены симметрично относительно оси абсцисс. То есть заданная парабола () зеркально отобразится относительно оси  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Графики функций  и

Таким образом, если у нас есть произвольный график , то для построения графика  необходимо график  симметрично отразить относительно оси  (см. Рис. 2). Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси .

Рис. 2. Преобразование симметрии относительно оси

Преобразование симметрии – зеркальное отражение относительно прямой. График  получается из графика функции преобразованием симметрии относительно оси .

На рисунке 3 показаны примеры симметрии относительно оси .

Рис. 3. Симметрия относительно оси Ox

Предположим, что у нас есть функция  (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика  больше на 3 единицы. Графически это означает, что график функции  находится на 3 единицы выше, чем график функции  (см. Рис. 4).

Рис. 4. Графики функций  и

График  получается из графика функциипараллельным переносом последнего вдоль оси ординат на  единиц вверх, если , и на  единиц вниз, если  (см. Рис. 5, 6).

Рис. 5. Параллельный перенос вдоль оси  (при )

Рис. 6. Параллельный перенос вдоль оси  (при )

Предположим, что у нас есть функция  (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика  больше в 2 раза. Графически это означает, что график функции  сужается по сравнению с графиком функции  (см. Рис. 7).

Рис. 7. Графики функций  и

Если необходимо построить график функций , то из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика  меньше в 2 раза, чем у . Графически это означает, что график функции  расширяется по сравнению с графиком функции  (см. Рис. 8).

Рис. 8. Графики функций  и

Чтобы построить график функции , где  и , нужно ординаты точек заданного графика умножить на .

Такое преобразование называется растяжением от оси  с коэффициентом , если , и сжатием к оси, если  (см. Рис. 9, 10).

Рис. 9. Растяжение от оси

Рис. 10. Сжатие к оси

Предположим, что у нас есть функция , необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одинаковым значениям функции соответствуют значения аргумента, отличающиеся на 2 единицы. Это означает, что график данной функции переместился на 2 единицы относительно оси ординат влево (см. Рис. 11), так как для получения одинаковых значений функций приходится брать значения аргумента на 2 меньше:

, при

 при

Следовательно, если необходимо было построить график функции , то сдвиг на 3 единицы относительно оси ординат был бы вправо (по сравнению с графиком функции ) (см. Рис. 11).

Рис. 11. Графики функций ,  и

График  получается из графика функции параллельным переносом последнего на  единиц влево, если , и на  единиц вправо, если  (см. Рис. 12, 13).

Рис. 12. Параллельный перенос влево при

Рис. 13. Параллельный перенос вправо при

Обратите внимание на то, что по этому принципу из графика  не построить график , ведь мы добавили 1 не ко всем вхождениям  в это выражение. А вот график  построить можно, сдвинув исходный график на 1 влево (см. Рис. 14).

Рис. 14. Графики функции  и

График функции , где  и , получается из графика функции сжатием с коэффициентом  к оси (если  указанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом ) (см. Рис. 15, 16).

Рис. 15. Сжатие к оси

Рис. 16. Растяжение от оси

Подобное преобразование мы уже рассматривали в случае построения графика функции .

Ранее мы рассматривали преобразование симметрии относительно оси Ox, то есть функция умножалась на (-1). Рассмотрим случай, когда на (-1) умножается только аргумент.

В этом случае график симметрично отображается относительно оси ординат, так как значения функций будут одинаковы при противоположных значениях аргумента:

для функции :

при

при

для функции :

при

при

График  получается из графика функции преобразованием симметрии относительно оси (см. Рис. 17).

Рис. 17. Преобразование симметрии относительно оси Oy

Построение графиков  и

Пусть дан график , построим график . Для начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, те точки, в которых значения функции положительны или равны 0, остаются на месте, а все точки, в которых значения отрицательны, – отражаются относительно оси  (см. Рис. 18).

Рис. 18. Графики функций  и  (красным цветом выделена общая часть этих графиков)

Для того чтобы построить график , нужно часть исходного графика, лежащую выше оси , оставить без изменения, а нижнюю отразить наверх относительно оси .

Пусть дан график , построим график . Для начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, все точки с положительными или равными нулю абсциссами остаются без изменения, а все точки с отрицательными – заменяются точками с противоположными абсциссами (см. Рис. 19).

Рис. 19. Графики функций  и  (красным цветом выделена общая часть этих графиков)

Для того чтобы построить график , нужно часть исходного графика, соответствующую значениям , оставить без изменений и отразить ее относительно оси  для значений .

Построить график функции .

Решение

Построим график заданной функции последовательно (см. Рис. 20):

1. Строим график .

2. График  получается из графика  параллельным переносом последнего на 2 единицы вправо.

3. График  получается из графика функции  параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на 3 единицы вверх.

Рис. 20. Иллюстрация к задаче

Мы могли бы сделать операции в обратном порядке, то есть сначала поднять график  на 3 единицы вверх, а потом получившийся график сдвинуть вправо на 2 единицы (см. Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к задаче

Обратите внимание, что не все графики функций можно строить в произвольном порядке. Например, для построения графика  сначала нужно построить график , затем график  (растяжение от оси ), а далее – график  (параллельный перенос вдоль оси ординат) (см. Рис. 22). Если же сделать в другой последовательности, то есть построить , то далее на 2 придется умножить всё выражение.

 – ПРАВИЛЬНО

 – НЕПРАВИЛЬНО

Рис. 22. Иллюстрация к задаче

Пример

Построить график .

Решение

1. Строим график  (гипербола) (см. Рис. 23).

2. Строим график  (из аргумента вычитается 2, следовательно, сдвигаем график  на 2 единицы вправо) (см. Рис. 23).

3. Строим график  (домножение функции на (-1), следовательно, отражаем график  относительно оси ) (см. Рис. 24).

4. Строим график  (добавление 2 к функции, следовательно, сдвигаем график  на 2 единицы вверх) (см. Рис. 24).

5. Строим график  (модуль функции, следовательно, отражаем нижнюю часть графика  относительно оси , а верхнюю оставляем без изменений) (см. Рис. 25).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче

Рис. 24. Иллюстрация к задаче

Рис. 25. Иллюстрация к задаче (искомый график)

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.

5. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра 9 кл. С углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт учебного центра «Резольвента» (Источник)

2. Интернет-сайт «Инфоурок» (Источник)

3. Интернет-сайт (Источник)

Домашнее задание

1. Упражнения 64, 66, 68 (б, г), 69 (в, ж), 70 (и) (стр. 65-69) Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра 9 кл. (Источник).

2. Даны графики функций: а) ; б) ; в)

Какое уравнение будет иметь функция, график которой образуется из данных графиков функций: 1. при параллельном переносе вверх на 3 единицы; 2. при растяжении в 3 раза; 3. при параллельном переносе вправо на 3 единицы?

3. Постройте график функции .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/osnovnye-pravila-preobrazovaniya-grafikov-funktsiy

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Построить график y 3x 1. Преобразования графиков с модулем

Неопубликованная запись

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. 

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение, получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая “галочка”.

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y».  Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть. 

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны! 

А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:

Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2! 

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет “шире”, расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум, потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «−1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:

Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!

Выводы:

  1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
  2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
  3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль.
  4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:
  • Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
  • Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
  • Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
  • Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/grafiki_s_moduliem

Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие) | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс | Поурочные планы по алгебре и математике

Построить график y 3x 1. Преобразования графиков с модулем

Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)

09.07.2015 11216 0

Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Как, зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(-х) + 2?

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как, зная график функции у = f(х), построить график функции у = -f(х) – 1?

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули.

Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f(х) с областью определения D(f), график которой представлен на рисунке.

Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.

1) Построение графика функции у = |f(x)|

f/(x), если Дх)>0,

По определению модуля получим:  Это означает, что для построения графика функции у = |f(x)| надо сохранить часть графика функции у = f(x), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f(х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Построение графика функции у = f(|x|)

Г/О), если Дх)>0,

Раскроем модуль и получим:  Поэтому для построения графика функции у = f(|x|) надо сохранить часть графика функции у = f(х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3) Построение графика уравнения |у| = f(x)

По определению модуля имеем, что при f(х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f(х) и у = -f(х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| =f(х) надо сохранить часть графика функции у = f(х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Заметим, что зависимость |у| = f(х) не задает функцию, т. е. при х ∈ (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f(х).

Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.

Пример 1

Построим график функции 

Выделим в этой функции целую часть  Такой график получается при смещении графика функции у = -1/x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.

Пример 2

Построим график функции 

В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Пример 3

Построим график функции 

Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.

Пример 4

Построим график уравнения 

В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.

Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.

Пример 5

Построим график функции 

Используем график функции  построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.

Пример 6

Построим график функции 

Выражения х – 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.

Получим:

1. При 

2. При 

3. При 

Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.

Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.

Пример 7

Построим график уравнения 

Выражение у – х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую – биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 – точки, расположенные над прямой у – х; 2 – точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях.

В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у – х > 0. Раскрывая модуль, получим: у – х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у – х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2.

Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

IV. Контрольные вопросы

1. Как, используя график функции у = f(х), построить график функции у = |f(х)|?

2. С помощью графика функции у = f(х) постройте график функции y = f(|x|).

3. Как с помощью графика функции у = f(x) построить график уравнения |у| = f(х)?

V. Задание  на уроке

§ 1, № 12 (а, б); 15 (а, в).

VI.  Задание на дом

§ 1, № 12 (в, г); 15 (б, г).

VII. Творческие задания

1. Постройте график линейной функции и уравнения:

2. Постройте график квадратичной функции и уравнения:

3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:

4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока

Источник: https://tak-to-ent.net/load/625-1-0-16968

Обучение учащихся построению графиков функций с модулем

Построить график y 3x 1. Преобразования графиков с модулем

Обучение учащихся построению графиков функций с модулем

Построение графиков, содержащих модуль, осуществляется двумя способами:

  1. На основании определения модуля

Построение графика функции

Приведем пример построения графика функции

Построение графика функции

Приведем пример построения графика функции

  1. На основании правил геометрического преобразования графиков функций.

Какие геометрические преобразования, можно использовать при построении графиков функций? (параллельный перенос вдоль осей ОХ и ОУ, симметричное отображение относительно осей или точки)

Построение графика .

Чтобы построить график функции , если известен график функции , нужно оставить на месте ту его часть, где , и симметрично отобразить относительно оси Х другую его часть, где .

Алгоритм построения графика:

1. Построить график функции ,

2. Часть графика , лежащая над осью ОХ, сохраняется, а часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

Построение графика .

Чтобы построить график функции , если известен график функции , нужно оставить на месте ту его часть, где , а при отобразить построенную часть симметрично относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика:

Построить график функции ,

При график сохраняется, а при отображается построенная часть симметрично относительно оси ОУ.

  • Приведем пример построения графика функции 

В “основе” его лежит график функции, он выглядит так :

Теперь построим график

Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

  • Теперь построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию ,

а в другой (левее) – график функции

  • Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) – график по третьему уравнению:

Строим:

4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

В основе опять знакомый нам график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

 при этом сдвинутся обе части: правая – вправо, левая – влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше – видно больше)

График этой функции, умноженной на два,

выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

5.Очень интересно выглядит график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) – второе:

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по разному:

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

А на интервале [4; ∞)  так:

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

Строим:

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

График изменится:

10. Наконец, последний график мы построим для функции

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единице по оси у:

“Опрокинем” все, что ниже оси х, вверх,

и не забудем поделить все ординаты на 2:

Источник: https://infourok.ru/obuchenie-uchaschihsya-postroeniyu-grafikov-funkciy-s-modulem-1094279.html

Преобразования графиков с модулем

Построить график y 3x 1. Преобразования графиков с модулем

Внимание: мелкие рисунки увеличиваются щелчком левой клавиши мыши.

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы “Графики функций и их преобразования”, то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

Модуль переменной (абсолютная величина значения) определяется следующим образом:

    |x| = x, если х ≥ 0,
    |x| = −x, если х < 0.

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

    I  График функции y = f (|x|) симметричен относительно оси ординат. Он состоит их двух ветвей. Построение графика функции y = f(|x|) можно осуществить так:

  1. Построить график функции y = f(x).
  2. Исключить его часть, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс. (Например, просто стереть ластиком, если график был построен карандашом.)
  3. Построить левую ветвь графика (при отрицательных x) симметричным отображением его правой ветви относительно оси Oy.

II  Функция y = |f (x)| характерна тем, что не имеет отрицательных значений. Чтобы построить график такой функции, нужно:

  1. Построить график функции y = f(x).
  2. Участок графика, расположенный ниже оси абсцисс (при отрицательных y) развернуть на верхнюю половину координатной сетки преобразованием симметрии относительно оси Ox.

   

В этом примере оба графика получены из графика функции  y = x − 3. Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|), второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)|.

III  При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции y = √|x|__.

    1.  2.  3.  4.  5.
1.   y = √x_2.   y = √|x|__3.   y = √|x − 1|_____  4.   y = √|x| − 1 _____5.   y = |√x − 1_|

IV  Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x).
Для этого нужно:

  1. Построить график функции y = f(x).
  2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
  3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

Эти графики также получены из графика функции y = √x_.

    6.  7.
1.   |y| = √x_2.   |y| = |√x_ − 1|

Пример 1.

Задан график функции y = x2.
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x2 − 2|x| − 5.

Заметим, что x2 = |x|2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1)2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции f(x) = (x − 1)2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1)2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1)2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

    1.  2.  3.  4.  5.
1.   y = x22.   y = (x − 1)23.   y = (x − 1)2 − 64.   y = (|x| − 1)2 − 65.   |y| = (|x| − 1)2 − 6

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 2.

Задан график функции y = x2.
Построить график функции y = |x2 − 2x − 5|.

Сумма модулей

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Пример 3.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1|.

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1|, используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3. На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Теперь проверьте себя.

Пример 4.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x|.

      Перейти  на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Источник: http://mathematichka.ru/school/functions/Function_Graph_Modul.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий