Пример квадратного уравнения с двумя корнями. Методы решения квадратных уравнений. Примеры

Квадратные уравнения. Примеры решения

Пример квадратного уравнения с двумя корнями. Методы решения квадратных уравнений. Примеры

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х).

Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз.

В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше – существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный – ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение – то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения
за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.

С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q.

Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x2-26x+120=0.

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах. Найденное значение подставляем в формулу корней и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2×2+x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант

По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9×2-12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант
Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77; или

х2-18х+77=0.

Найдем дискриминант уравнения Вычисляем корни уравнения
Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

Задача 6. Разложить квадратное 10×2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант
Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями
Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2.

Выпишем дискриминант
упростим его и приравняем к нулю
Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения.

Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет – а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а, уравнение а(а+3)х2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0. Вычислим дискриминант
и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3.

Для второго находим дискриминант и корни уравнения

Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная.

Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.

В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи
Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Источник: https://yukhym.com/ru/matematika/kvadratnye-uravneniya-primery-resheniya.html

Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Пример квадратного уравнения с двумя корнями. Методы решения квадратных уравнений. Примеры

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x2 – 3 = 1;Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.

x2 = 4;

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня  -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.Проверка.

При x1 = -2  – истинно:

При x2 = -2- истинно.
Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение.

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x – 90;

x9;

б) 1 – x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Решение.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x3 + 4x – 1 – 8= x3 – 1 + 4+ 4x;
=0;
x1=1; x2=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x2=0  лишний корень.
Ответ: x1=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

Решение.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x2= x + 1. Корни этого уравнения:

x1 =

x2 =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним  приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5.

В результате мы получим уравнение
 = 12,  (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 – х) = 144,  являющееся следствием исходного.

Полученное уравнение приводится к виду x2 – 15x + 44 =0. 

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Отв. х1 = 4, х2= 11.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения•= 12, пишут уравнение  = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения  являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение-= 3.

Решение.

 Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

  Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

  x2 + 5x + 2 = x2 – 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

  4x – 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения  в квадрат, приходим к уравнению
16×2 – 40x + 25 = 9(x2 – Зх + 3), или

 7×2 – 13x – 2 = 0.

   Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2 =- не удовлетворяет.

 Ответ: x = 2.

  Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

  При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

 Пример 7. Решить уравнение 2×2 – 6x ++ 2 = 0.

 Решение.

  Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y2 + y – 10 = 0;
y1 = 2; y2 = -. Второй корень не удовлетворяет условию y0.Возвращаемся к x:

= 2;

x2 – 3x + 6 = 4;
x2 -3x + 2 = 0;
x1 = 1; x2 = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x1 = 1; x2 = 2.

 Пример 8. Решить уравнение+=

 Решение.

  Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t2 – 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня:  t1 = 2 t2 =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

  Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 – 2x = 8x – 8; x1 = 2.

  Аналогично, решив (**), находим x2 =.

  Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][fn(x) = gn(x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

 Ответ: х1 = 2, x2 =.

Источник: http://viripit.ru/Pag5_3.htm

Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

Пример квадратного уравнения с двумя корнями. Методы решения квадратных уравнений. Примеры

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Определение 1

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a·x2+b·x+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9·x2+16·x+2=0;  7,5·x2+3,1·x+0,11=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение 2

Числа a, b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x2, b – второго коэффициента, или коэффициента при x, а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6·x2−2·x−11=0 старший коэффициент равен 6, второй коэффициент есть −2, а свободный член равен −11. Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6·x2−2·x−11=0, а не 6·x2+(−2)·x+(−11)=0.

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или −1, то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y2−y+7=0 старший коэффициент равен 1, а второй коэффициент есть −1.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Определение 3

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1. При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.

Приведем примеры: квадратные уравнения x2−4·x+3=0, x2−x−45=0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1.

9·x2−x−2=0 – неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1.

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример 1

Задано уравнение 6·x2+18·x−7=0. Необходимо преобразовать  исходное уравнение в приведенную форму.

Решение

Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6. Тогда получим: (6·x2+18·x−7):3=0:3, и это то же самое, что: (6·x2):3+(18·x):3−7:3=0 и далее: (6:6)·x2+(18:6)·x−7:6=0. Отсюда: x2+3·x-116=0. Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.

Ответ:x2+3·x-116=0.

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a≠0. Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a·x2+b·x+c=0 было именно квадратным, поскольку при a=0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b·x+c=0.

В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Определение 4

Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.

Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При b=0 квадратное уравнение примет вид a·x2+0·x+c=0, что то же самое, что a·x2+c=0. При c=0 квадратное уравнение записано как a·x2+b·x+0=0, что равносильно a·x2+b·x=0.

При b=0 и c=0 уравнение примет вид a·x2=0. Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо обоих сразу.

Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, x2+3·x+4=0 и −7·x2−2·x+1,3=0 – это полные квадратные уравнения; x2=0, −5·x2=0; 11·x2+2=0, −x2−6·x=0 – неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:

  • a·x2=0, такому уравнению соответствуют коэффициенты b=0 и c=0;
  • a·x2+c=0 при b=0;
  • a·x2+b·x=0 при c=0.

Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнения a·x2=0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c, равные нулю. Уравнение a·x2=0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x2=0, которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a, не равное нулю.

Очевидный факт, что корень уравнения x2=0 это нуль, поскольку 02=0.

Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p, не равного нулю, верно неравенство p2>0, из чего следует, что при p≠0 равенство p2=0 никогда не будет достигнуто.

Определение 5

Таким образом, для неполного квадратного уравнение a·x2=0 существует единственный корень x=0.

Пример 2

Для примера решим неполное квадратное уравнение −3·x2=0. Ему равносильно уравнение x2=0, его единственным корнем является x=0, тогда и исходное уравнение имеет единственный корень – нуль.

Кратко решение оформляется так:

−3·x2=0,x2=0,x=0.

Решение уравнения a·x2+c=0

На очереди – решение неполных квадратных уравнений, где b=0, c≠0, то есть уравнений вида a·x2+c=0. Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

  • переносим c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c;
  • делим обе части уравнения на a, получаем в итоге x=-ca.

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения.

От того, каковы значения a и c зависит значение выражения  -ca: оно может иметь знак  минус (допустим, если a=1 и c=2, тогда -ca=-21=-2 ) или знак плюс (например, если a=−2 и c=6, то -ca=-6-2=3 ); оно не равно нулю, поскольку c≠0. Подробнее остановимся на ситуациях, когда  -ca0.

В случае, когда -ca0, а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x=-b±D2·a и, подставив соответствующие значения, получим: x=-2±282·1. Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:

x=-2±2·72

x=-2+2·72 или x=-2-2·72

x=-1+7 или x=-1-7

Ответ: x=-1+7​​​​​​, x=-1-7.

Пример 7

Необходимо решить квадратное уравнение −4·x2+28·x−49=0.

Решение 

Определим дискриминант: D=282−4·(−4)·(−49)=784−784=0. При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x=-b2·a.

Тогда:

x=-282·(-4)x=3,5

Ответ:x=3,5.

Пример 8

Необходимо решить уравнение 5·y2+6·y+2=0

Решение

Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a=5, b=6 и c=2. Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D=b2−4·a·c=62−4·5·2=36−40=−4. Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:

x=-6±-42·5,

x=-6+2·i10 или x=-6-2·i10,

x=-35+15·i  или x=-35-15·i.

Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: -35+15·i, -35-15·i.

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней x=-b±D2·a (D=b2−4·a·c) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2·n, к примеру, 2 · 3 или 14·ln5=2·7·ln5). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a·x2+2·n·x+c=0. Действуем по алгоритму: определяем дискриминантD=(2·n)2−4·a·c=4·n2−4·a·c=4·(n2−a·c), а затем используем формулу корней:

x=-2·n±D2·a,x=-2·n±4·n2-a·c2·a,x=-2·n±2n2-a·c2·a,x=-n±n2-a·ca.

Пусть выражение n2−a·c будет обозначено как D1 (иногда его обозначают D'). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

 x=-n±D1a, где D1=n2−a·c.

Легко увидеть, что что D=4·D1, или D1=D4. Иначе говоря, D1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D1 такой же, как знак D, а значит знак D1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Определение 11

Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом  2 · n , необходимо: 

  • найти D1=n2−a·c;
  • при D10 определить два действительных корня по формуле x=-n±D1a.

Пример 9

Необходимо решить квадратное уравнение 5·x2−6·x−32=0.

Решение

Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2·(−3). Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5·x2+2·(−3)·x−32=0, где a=5, n=−3 и c=−32.

Вычислим четвертую часть дискриминанта: D1=n2−a·c=(−3)2−5·(−32)=9+160=169. Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:

x=-n±D1a,x=–3±1695,x=3±135,

x=3+135 или x=3-135

x=315 или x=-2

Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.

Ответ: x=315 или x=-2.

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12·x2−4·x−7=0 явно удобнее для решения, чем 1200·x2−400·x−700=0.

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200·x2−400·x−700=0, полученную делением обеих его частей на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12·x2−42·x+48=0. Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6. Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2·x2−7·x+8=0.

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 16·x2+23·x-3=0 перемножить с НОК(6, 3, 1)=6, то оно станет записано в более простом виде x2+4·x−18=0.

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на −1. К примеру, от квадратного уравнения −2·x2−3·x+7=0 можно перейти к упрощенной его версии 2·x2+3·x−7=0.

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x=-b±D2·a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

x1+x2=-ba и x2=ca.

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3·x2−7·x+22=0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 73, а произведение корней – 223.

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

x12+x22=(x1+x2)2-2·x1·x2=-ba2-2·ca=b2a2-2·ca=b2-2·a·ca2.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kvadratnyh-uravnenij/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий