Примеры решений. Задачи на классическое определение вероятности.Примеры решений В ящике лежит некоторое

Классическое определение вероятности – теория и решение задач

Примеры решений. Задачи на классическое определение вероятности.Примеры решений В ящике лежит некоторое

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми, если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

  1. При подбрасывании монеты полную группу создают два случайных события: появление «герба» (событие ) и появление «числа» (событие ).
  2. При подбрасывании двух монет полная группа состоит из четырёх событий: :

Первая монета           Вторая монета           События

1) «герб»                    «герб»                        

2) «герб»                    «число»                     

3) «число»                  «герб»                        

4) «число»                  «число»                     

Или сокращённо – «ГГ», – «ГЧ», – «ЧГ», – «ЧЧ».

События называются равновозможными, если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через , которые влияют на событие при всех возможных случаях, а через – вероятность случайного события , тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Свойства вероятности

Классическая вероятность рассмотрена, а теперь разберём основные и важные свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равняется единице.

Например, если в ведёрке все шариков белые, тогда событию , наугад выбрать белый шарик, влияют случаев, .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равняется нулю.

Свойство 3. Вероятностью случайного события есть положительное число:

.

Значит, вероятность любого события удовлетворяет неравенство:

Теперь решим несколько примеров на классическое определение вероятности.

Примеры классического определения вероятности

Пример 1

Задача

В корзине 20 шариков, из них 10 белых, 7 красных и 3 чёрных. Наугад выбирается один шарик. Выбран белый шарик (событие ), красный шарик (событие ) и чёрный шарик (событие ). Найти вероятность случайных событий .

Решение

Согласно условию задачи, способствуют , а случаев из возможных, поэтому по формуле (1):

– вероятность белого шарика.

Аналогично для красного:

И для чёрного: .

Ответ

Вероятность случайного события , , .

Пример 2

Задача

В ящике лежат 25 одинаковых электроламп, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная.

Решение

По условию задачи все лампы одинаковые и выбирается только одна. Всего возможностей выбрать . Среди всех 25 лампа две бракованные, значит, оставшихся пригодных лампа . Поэтому по формуле (1) вероятность выбора пригодной электролампы (событие ) равняется:

.

Ответ

Вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная = .

Пример 3

Задача

Наугад подбрасываются две монеты. Найти вероятность таких событий:

1) – на обеих монетах выпало по гербу;

2) – на одной из монет выпал герб, а на второй – число;

3) – на обеих монетах выпали числа;

4) – хотя бы один раз выпал герб.

Решение

Здесь имеем дело с четырьмя событиями . Установим, какие случаи способствуют каждой из них. Событию способствует один случай, это когда на обеих монетах выпал герб (сокращённо «ГГ»).

Чтобы разобраться с событием , представим, что одна монета серебряная, а вторая – медная. При подбрасывании монет могут быть случаи:

1) на серебряной герб, на медной – число (обозначим – «ГЧ»);

2) на серебряной число, на медной – герб ( – «ЧГ»).

Значит, событию способствуют случаи и .

Событию способствует один случай: на обеих монетах выпали числа – «ЧЧ».

Таким образом, события или (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) образовывают полную группу событий, все эти события несовместимы, так как в результате подбрасывания происходит только одна из них. Кроме того, для симметричных монет все четыре события равновозможные, поэтому их можно считать случаями. Всех возможных событий – четыре .

Событию способствует только одно событие, поэтому его вероятность равняется:

.

Событию способствуют два случая , поэтому:

.

Вероятность события такая же, как и для :

.

Событию способствуют три случая: ГГ, ГЧ, ЧГ и поэтому:

.

Так как рассмотрены события ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, которые равновозможные и создают полную группу событий, тогда появление любой из них – это достоверное событие (обозначим её буквой , которой способствуют все 4 случая . Поэтому вероятность:

.

Значит, подтверждается первое свойство вероятности.

Ответ

Вероятность события .

Вероятность события .

Вероятность события .

Вероятность события .

Пример 4

Задача

Подкидываются два игральных кубика с одинаковой и правильной геометрической формой. Найти вероятность всех возможных сумм на обеих гранях, что выпадают.

Решение

Чтобы было удобнее решать задачу, представьте, что один кубик белый, а второй – чёрный. С каждой из шести граней белого кубика и также может выпасть одна из шести граней чёрного кубика, поэтому всех возможных пар будет .

Так как возможность появления граней на отдельном кубике одинаковая (кубики правильной геометрической формы!), тогда одинаковой будет возможность появления каждой пары граней, причём, в результате подбрасывания выпадает только одна из пар. Значи события несовместимы, единовозможные. Это случаи, и всех возможных случаев – 36.

Теперь рассмотрим возможность значения суммы на гранях. Очевидно, что самая маленькая сумма 1 + 1 = 2, а самая большая 6 + 6 = 12. Оставшаяся часть суммы вырастает на единицу, начиная со второй.

Обозначим событий, индексы которых равняются сумме очков, что выпали на гранях кубиков.

Для каждой из этих событий выпишем благоприятные случаи при помощи обозначений , где – сумма, – очки на верхней грани белого кубика и  – очки на грани чёрного кубика.

Значит, для события:

для – один случай (1 + 1);

для – два случая (1 + 2; 2 + 1);

для – три случая (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

для – четыре случая (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

для – пять случаев (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

для – шесть случаев (1 + 6;  2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

для – пять случаев (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

для – четыре случая (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

для – три случая (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

для – два случая (5 + 6; 6 + 5);

для – один случай (6 + 6).

Таким образом значения вероятности такие:

Ответ

Пример 5

Задача

Троим участникам перед фестивалем предложили тянуть жребий: каждый из участников по очереди подходит к ведёрку и наугад выбирает одну из трёх карточек с номерами 1, 2 и 3, что означает порядковый номер выступления данного участника.

Найти вероятность таких событий:

1) – порядковый номер в очереди совпадает с номером карточки, то есть порядковым номером выступления;

2) – ни один номер в очереди не совпадает с номером выступления;

3) – только один из номеров в очереди совпадает с номером выступления;

4) – хотя бы один из номеров в очереди совпадёт с номером выступления.

Решение

Возможными результатами выбора карточек – это перестановки из трёх элементов , количество таких перестановок равняется . Каждая из перестановок и есть событие. Обозначим эти события через . Каждому событию припишем в скобках соответствующую перестановку:

; ; ; ; ; .

Перечисленные события равновозможные и единовозможные, то есть, это и есть случаи. Обозначим так: (1ч, 2ч, 3ч) – соответствующие номера в очереди.

Начнём с события . Благоприятный только один случай   поэтому:

.

Благоприятными для события – два случая и , поэтому:

.

Событию способствуют 3 случая: , поэтому:

.

Событию , кроме , способствует ещё и , то есть:

.

Ответ

Вероятность события – .

Вероятность события – .

Вероятность события – .

Вероятность события – .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/klassicheskoe-opredelenie-verojatnosti/

Урок-практикум по теме

Примеры решений. Задачи на классическое определение вероятности.Примеры решений В ящике лежит некоторое

Цели урока:

  1. Учебная: повторение понятий и формул комбинаторики, определения и свойств вероятности; совершенствование изученного материала.
  2. Развивающая: формирование умений применять приёмы анализа, сопоставления, обобщения, оформления результатов учебной деятельности; формирование важных психофизиологических качеств личности (интеллектуальных, зрительных, слуховых и т.д.).
  3. Воспитательная: воспитание культуры речи, построения плана деятельности; воспитание сознательной дисциплины и норм поведения; формирование умений осуществлять взаимосотрудничество и взаимоконтроль учебно-познавательной деятельности, учебно-практической деятельности; формирование умений осуществлять самоконтроль хода и результатов учебной деятельности.

План урока:

  1. Повторить основные правила и формулы комбинаторики.
  2. Повторить классическое определение и свойства вероятности;
  3. Применить классическое определение вероятности и свойства вероятности при решении задач.

I. Фронтальное повторение основных правил и формул комбинаторики:

Заполните пропуски:

1. Перестановкой из n элементов называется _________________ из n элементов по n элементов.

2. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-либо k действия. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье действие – ___ способами и так далее до … действия, то все k действий вместе можно выполнить ______________ способами.

3. Решить задачу.

В ящике из 18 яблок находятся 4 красного цвета, остальные зелёного. Наугад берут 5 яблок. Сколько существует способов их взятия так, чтобы среди них оказалось два красного цвета?

Решение:

Среди 5 взятых яблок должно быть 3 зелёных и 2 красных. Число способов выборки двух красных яблок из 4 имеющихся равно числу ___________________ . Число способов выборки трёх зелёных яблок из 14 имеющихся зелёных равно числу сочетаний из 14 по 3 . Общее число комбинаций составляет ___________________________________

Ответ: ________ способов взятия 3 зелёных и двух красных яблок из 18 имеющихся, среди которых 4 красных.

4. Упростить:

5. Решить задачу.

Сколькими способами можно разместить 3 иллюстрации на 10 страницах?

Решение: Так как количество числа размещений иллюстраций зависит и от порядка их следования, то данное число способов равно числу __________

___________________, т.е.

6. __________________________ из n элементов по m элементов ()

называется упорядоченное подмножество, содержащее m различных элементов данного множества.

7. Решить задачу.

Сколькими способами можно из бригады 25 человек выбрать 4 человека для работы на определенном участке ?

Решение:

Так как порядок выбранных 4 человек не имеет значения, то это число способов можно вычислить следующим образом: .

8. Решить задачу.

Клавиатура пианино состоит из 88 клавиш. Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, допуская повторения одних и тех же нот в одной фразе?

Решение:

В качестве первой ноты можно взять любую из 88, а так как повторения разрешаются, то для второй ноты мы имеем _______ возможностей, и поэтому, музыкальных фраз из ___________ нот существует . Продолжая рассуждения, получим , что число различных музыкальных фраз из 6 нот составляет ___________= 464404086784.

Выберите правильный ответ (оригиналы рисунков в Приложении 2)

II. При повторении определения и основных свойств вероятности можно выполнить следующие задания:

1. Рассмотреть решение задач:

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле Р (А) =  , получим Р (А) =  =  = 0,2.

Задача 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев есть n = 5 + 3. Число случаев m, благоприятствующих появлению события А, равно 3. По формуле Р (А) =  получим Р (А) =  = 0,375.

Задача 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12 + 8) по два: . Число случаев m, благоприятствующих событию А, составляет . По формуле Р (А) =  находим вероятность появления двух черных шаров: Р (А) =  =  =  = 0,147.

Выберите правильный ответ

Заполните пропуски:

1. Подопытом понимается выполнение комплекса условий, в результате которого__________ _____________ _________________________ ________________________________ ___________ ________________ ______________ _____________

2. Вероятностью события А называется ___________________ числа исходов

_____________ ________________ ______________ ______________к числу________

_____________ _________________, т.е. Р(А) = ……………………

3. Полной системой событий А1, А2, …Аn называется совокупность __________________ событий, наступление ____________ __________________

обязательно.

4. Задача. Даны 5 точек, никакие две из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад любые две из них, получим нужную нам прямую.

Решение. А – выбор искомой прямой. Число всех возможных исходов равно

количеству прямых, проходящих ________________ _________________________.

Так как прямая определяется однозначно ____________ точками, то каждая пара должна отличаться ___________________ одной точкой. Следовательно, число всех исходов испытаний равно числу __________ _______________ из ______ по _______, т.е. С

Искомой же является только ____________ пара точек, поэтому Р(А) =

5.Полной системой событийназывается несколько _______________________, что в результате опыта непременно должно произойти __________ одно из них.

6. Задача. Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

Решение:

Число всех исходов испытаний равно _______, так как любое из возможного числа очков на одной грани может сочетаться с любым числом очком на другой. Теперь вычислим, в каких случаях сумма очков _________________

Это будет в следующих случаях: 2+6, 3+5,____________________________

Таким образом, данному событию А благоприятствует _________ исхода. Поэтому,

Р(А) =

III. Самостоятельное выполнение заданий теста (можно с последующей проверкой на уроке)

– задания 1 варианта;

– задания 2 варианта

IV. Самостоятельное решение задач по вариантам.

Далее представлен один из десяти вариантов для самостоятельного решения задач.

  1. Вероятность облачного дня в течение недели равна 0,653. Какова вероятность солнечного дня?
  2. Из слова ФАКТОРИАЛ выбирается одна буква. Какова вероятность, что это буква А?
  3. На полку ставят 4-х томное издание. Какова вероятность того, что поставят в беспорядке?
  4. Колода в 36 карт делится пополам. Какова вероятность того, что одной половине не будет дам?
  5. Абитуриент не знает 15 вопросов программы из 45. В билете 2 вопроса Какова вероятность того, что он вытянет билет, где оба вопроса ему известны?
  6. В первой урне 3 белых и 6 чёрных шаров. Во второй 5 красных и 6 чёрных шаров. Из каждой урны не глядя берут по одному шару. Какова вероятность того, что из первой урны взят чёрный шар, а из второй – красный?
  7. Карточки с буквами А, Д, И, В, Н, О сложены в коробку. Какова вероятность того, что вынимая 5 последовательно одну за другой получится слово «ДИВАН»?
  8. Какова вероятность того, что выбранное наугад число от 1 до 90 не содержит цифры 5?

Задачи вариантов 1-9 представлены вашему вниманию следующим образом:

варианты 1-3 , варианты 4-6, варианты 7-9 – Приложение 1.

5.08.2010

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/583233/

2.2. Классическое определение вероятности

Примеры решений. Задачи на классическое определение вероятности.Примеры решений В ящике лежит некоторое

Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны.

Элементарное событие (исход) ω называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А (т. е. ω входит в число элементов, составляющих А).

Классической вероятностью события А называется отношение числа M элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу N всех элементарных событий этой схемы

.

Из определения вероятности следует, что Р (Ø) = 0, и .

Пример 2.7. В магазин поступило 40 новых цветных телевизоров, среди которых 7 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один телевизор для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов?

Решение. Число телевизоров, не имеющих скрытых дефектов, равно . Число всех элементарных исходов всех поступивших телевизоров равно . Следовательно, по классическому определению вероятности вероятность того, что отобранный телевизор не имеет скрытых дефектов (событие А), равна

.

Ответ:Р(А) = 0,825.

Пример 2.8. 1 сентября на первом курсе одного из факультетов запланированы по расписанию три лекции из 10 различных предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из трех предметов равновозможно.

Решение. Студенту необходимо из 10 лекций, которые могут быть поставлены в расписание, причем в определенном порядке, выбрать три. Следовательно, число всех возможных исходов испытания равно числу размещений из 10 по 3, т. е.

.

Благоприятный же случай только один, т. е. M = 1. Искомая вероятность будет равна

.

Ответ: .

Пример 2.9. В подъезде дома установили замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если в определенной последовательности набрать три цифры из возможных десяти. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации из трех цифр. На каждую попытку он тратит 15 секунд. Какова вероятность события А = {вошедшему удастся открыть дверь за один час}?

Решение. Так как цифры, входящие в набираемый номер, могут повторяться и порядок их набора играет существенную роль, то мы приходим к схеме размещений с повторениями. Число возможных вариантов набора трех цифр из 10 возможных равно За один час, тратя на набор комбинации 15 секунд, можно набрать 240 различных комбинаций, т. е. M = 240. Искомая вероятность

Ответ:

Пример 2.10. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

Решение. Так как каждый из 12 человек может родиться в любом из 12 месяцев года, то число всех возможных вариантов можно посчитать по формуле размещений с повторениями

Число благоприятных случаев получим, переставляя месяцы рождения у этих 12 человек, т. е.

.

Тогда искомая вероятность будет равна

Ответ:

Пример 2.11. На полке стоят 15 книг, 5 из них в переплете. Берут наудачу три книги. Какова вероятность того, что все три книги в переплете?

Решение. Опыт состоит в том, что из 15 книг отбирают 3, причем в каком порядке они отобраны, роли не играет. Следовательно, число возможных способов выбора будет равно числу сочетаний из 15 по 3, т. е.

Число благоприятных случаев будет равно числу сочетаний из 5 по 3, т. е.

Искомая вероятность

Ответ:

Пример 2.12. В кондитерской имеются 6 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 3 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислить вероятность того, что покупатель заказал пирожные разных видов.

Решение. Число всех возможных видов заказов 3 пирожных будет равно числу сочетаний с повторениями из 6 элементов по 3, т. е.

Число благоприятных случаев будет равно числу сочетаний из 6 по 3, т. е.

Ответ:

Пример 2.13. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в двух трехместных и одном четырехместном номерах. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?

Решение. Число всех возможных размещений 10 человек в двух трехместных и одном четырехместном номере равно числу перестановок из десяти элементов, среди которых 3 одного вида, 3 другого и 4 третьего, т. е.

После того как Иванов и Петров будут размещены в четырехместном номере, остальные 8 человек должны быть размещены в двух трехместных и на оставшиеся два свободных места в четырехместном номере, это можно будет сделать следующим образом:

Искомая вероятность

Ответ:

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/teoriia-veroiatnostei-praktikum-l-s-barkovskaia-l-v-stanishevskaia-iu-n-chertoritckii/2-2-klassicheskoe-opredelenie-veroiatnosti

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий