Прямоугольная трапеция описана около окружности площадь формула. Интересные свойства трапеции

Свойства трапеции

Прямоугольная трапеция описана около окружности площадь формула. Интересные свойства трапеции

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое трапеция?

Трапеция, вписанная в окружность. ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ Трапеция. Основные понятия и определения Четвертое свойство трапеции Седьмое свойство трапеции ТРАПЕЦИЯ.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой.

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ??? И ответ: а вот и нет – тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке   и  )

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что   и   – внутренние односторонние углы при параллельных   и   и секущей  . Поэтому  . И точно так же   и   – внутренние односторонние углы при тех же параллельных   и  , но секущая теперь –  .

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

Опять   и   – параллельные, а диагональ   – секущая. Поэтому  .

А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

   

Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники   и   – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований:  .

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

 , то есть
Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований

А ещё:

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Первое свойство трапеции

Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна  .

Почему?   и   – параллельны, а   и   – секущие, поэтому:

Второе свойство трапеции

Треугольники   и   подобны по двум углам. (  и   – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников   и   равен отношению оснований:

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём  . Тогда четырехугольник   – параллелограмм. Возьмём середину   стороны   и середину   стороны  . Оба:   и   – снова параллелограммы (  и  ;   и  ). Ну вот, значит  , да ещё  .

Поедем дальше.

Проведём   – среднюю линию в  . Знаем, что   и  

Что же из всего этого следует?

  1.   (так как через точку   можно провести лишь одну прямую параллельную  , поэтому   и   – одна прямая  )
  2.    

Вот и доказали!

Четвертое свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
  (трапеция же!)
  (вписанный четырехугольник)
 . Ну, и так же  .

Пятое свойство трапеции

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1)   – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2)   и   – середины оснований; 3)   – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями  

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проведём   и  .

Обозначим  ;  .

Тогда:

Значит,   (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть  .
Но ведь   (так как   – параллелограмм)   .

ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

  • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°:
  •   и  
  • Средняя линия трапеции ( ) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:  .
  • Средняя линия параллельна основаниям:  .
  • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований:  .
  • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
  • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей (  и  ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований:  .
  • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:  .
  • Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:  .

 Свойства равнобедренной трапеции:

  • диагонали равны:  ;
  • углы при основании равны:  ;
  • сумма противолежащих углов равна  :  .
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:  .

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/trapetsiya-2

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Прямоугольная трапеция описана около окружности площадь формула. Интересные свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции – параллельные стороны
  • Боковые стороны – две другие стороны
  • Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Рис.1Рис.2

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m – b

b = 2m – a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Определение.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. 1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
2m2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 – 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 – 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 = d 2 + ab – a(d 2 – c2)
a – b
d2 = c2 + ab – a(c2 – d 2)
a – b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a – h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a – h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab – d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab – d12

1. Формула площади через основания и высоту: 2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S = a + bc2 –((a – b)2 + c2 – d 2)2
22(a – b)

5. Формула Герона для трапеции

S = a + b√(p – a)(p – b)(p – a – c)(p – a – d)
|a – b|

где

p = a + b + c + d  – полупериметр трапеции.
2

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d1
4√p(p – a)(p – c)(p – d1)

где a – большее основание
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL = b   KN = ML = a   TO = OQ = a · b
22a + b

© 2011-2020 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий