Равнобокая трапеция вписанная в окружность свойства. Интересные свойства трапеции

Свойства трапеции

Равнобокая трапеция вписанная в окружность свойства. Интересные свойства трапеции

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое трапеция?

Трапеция, вписанная в окружность. ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ Трапеция. Основные понятия и определения Четвертое свойство трапеции Седьмое свойство трапеции ТРАПЕЦИЯ.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Вот, смотри:

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой.

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ??? И ответ: а вот и нет – тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке   и  )

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что   и   – внутренние односторонние углы при параллельных   и   и секущей  . Поэтому  . И точно так же   и   – внутренние односторонние углы при тех же параллельных   и  , но секущая теперь –  .

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.

Опять   и   – параллельные, а диагональ   – секущая. Поэтому  .

А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:

   

Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники   и   – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований:  .

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

 , то есть
Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований

А ещё:

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!

Трапеция. Основные понятия и определения

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или равнобокой.

Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.

Первое свойство трапеции

Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна  .

Почему?   и   – параллельны, а   и   – секущие, поэтому:

Второе свойство трапеции

Треугольники   и   подобны по двум углам. (  и   – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников   и   равен отношению оснований:

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А теперь формула:

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём  . Тогда четырехугольник   – параллелограмм. Возьмём середину   стороны   и середину   стороны  . Оба:   и   – снова параллелограммы (  и  ;   и  ). Ну вот, значит  , да ещё  .

Поедем дальше.

Проведём   – среднюю линию в  . Знаем, что   и  

Что же из всего этого следует?

  1.   (так как через точку   можно провести лишь одну прямую параллельную  , поэтому   и   – одна прямая  )
  2.    

Вот и доказали!

Четвертое свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
  (трапеция же!)
  (вписанный четырехугольник)
 . Ну, и так же  .

Пятое свойство трапеции

В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1)   – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2)   и   – середины оснований; 3)   – точка пересечения диагоналей.

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. 

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями  

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проведём   и  .

Обозначим  ;  .

Тогда:

Значит,   (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть  .
Но ведь   (так как   – параллелограмм)   .

ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

  • Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°:
  •   и  
  • Средняя линия трапеции ( ) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:  .
  • Средняя линия параллельна основаниям:  .
  • Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований:  .
  • Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.
  • Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей (  и  ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований:  .
  • Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:  .
  • Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:  .

 Свойства равнобедренной трапеции:

  • диагонали равны:  ;
  • углы при основании равны:  ;
  • сумма противолежащих углов равна  :  .
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:  .

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/trapetsiya-2

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Равнобокая трапеция вписанная в окружность свойства. Интересные свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции – параллельные стороны
  • Боковые стороны – две другие стороны
  • Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Рис.1Рис.2

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m – b

b = 2m – a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Определение.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. 1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h = sin γ ·d1 d2 = sin δ ·d1 d2
2m2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 – 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 – 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 = d 2 + ab – a(d 2 – c2)
a – b
d2 = c2 + ab – a(c2 – d 2)
a – b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a – h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a – h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab – d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab – d12

1. Формула площади через основания и высоту: 2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S = a + bc2 –((a – b)2 + c2 – d 2)2
22(a – b)

5. Формула Герона для трапеции

S = a + b√(p – a)(p – b)(p – a – c)(p – a – d)
|a – b|

где

p = a + b + c + d  – полупериметр трапеции.
2

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d1
4√p(p – a)(p – c)(p – d1)

где a – большее основание
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:
1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL = b   KN = ML = a   TO = OQ = a · b
22a + b

© 2011-2020 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/

Трапеция

Равнобокая трапеция вписанная в окружность свойства. Интересные свойства трапеции

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180\circ\).

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

1) Т.к. \(AD\parallel BC\), то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\), следовательно, \(\angleBAD+\angle ABC=180\circ\).

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angleBDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdotAD=S_{\triangle ACD}\).

Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangleCOD}\]

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN'\parallel AD\) (\(N'\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN'\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N'\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N'\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB'\perp AD, CC'\perp AD\). Пусть \(BB'\cap MN=M', CC'\capMN=N'\).

Тогда по теореме Фалеса \(M'\) и \(N'\) — середины отрезков \(BB'\) и \(CC'\) соответственно. Значит, \(MM'\) – средняя линия \(\triangleABB'\), \(NN'\) — средняя линия \(\triangle DCC'\). Поэтому: \[MM'=\dfrac12 AB', \quad NN'=\dfrac12 DC'\]

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB', CC'\perp AD\), то \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B'M'=M'B\). Значит, \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M'N'=B'C'=BC\).

Таким образом:

\[MN=MM'+M'N'+N'N=\dfrac12 AB'+B'C'+\dfrac12 C'D=\] \[=\dfrac12 \left(AB'+B'C'+BC+C'D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angleODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE= ED\).

Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\).

Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =\angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).

В итоге \(AB = AE – BE = DE – CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).

Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.

}}\] Определения Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельC”,”word_count”:847,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://shkolkovo.net/theory/58

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий