Решение уравнений с степенями. Степенные или показательные уравнения

Показательные уравнения. Более сложные случаи. урок. Алгебра 11 Класс

Решение уравнений с степенями. Степенные или показательные уравнения

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция – это функция вида , где основание степени  и  Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при  возрастает, при  убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При  когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При  наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель – свести каждое из них к простейшему.

Пример 1:

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Пример 2:

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Пример 3:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

1.

2.

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень  и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

Пример 4:

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену:  (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Пример 5:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену:  (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Решение отдельных показательных уравнений является ключом к решению систем показательных уравнений.

Пример 6 – решить систему:

В обоих уравнениях приведем основания степеней к простым числам:

Получили систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных, такие системы мы умеем решать, например, методом подстановки:

Ответ: (1;3)

Итак, мы рассмотрели решение разнообразных сложных показательных уравнений, вывели методики их сведения к простейшим показательным уравнениям. На следующем уроке перейдем к решению показательных неравенств.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 465, 471;

2.      Решить уравнение:

3.      Решить систему уравнений:

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-uravneniya-bolee-slozhnye-sluchai

Показательные уравнения – алгебра, уроки

Решение уравнений с степенями. Степенные или показательные уравнения

Просмотр
содержимого документа

Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах=b (a>0, а1).

Решение показательного уравнения вида af(x)=ag(x) (a>0, а1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).

Следствие. Пусть a>0, а1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as=at, то s=t.

Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. ; ; х=4.

Ответ: 4

Пример 2. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Задание 1. Решите уравнение…

1) =1252) =3) 27х=4) = ‑25) =625
6) =7) 6х=12968) =89) =10) = ‑2,5

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или .

Решая квадратное уравнение, находим х1=2, х2=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.

Ответ: 2; 4

Задание 2. Решите уравнение…

1)2)3)
4)5)6)
7)8)9)
10)

Пример 4. Решите уравнение 102х ‑ 5=100.

Решение. 102х ‑ 5=100; 102х ‑ 5=102; 2х ‑ 5=2; отсюда х=3,5.

Ответ: 3,5

Пример 5. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Задание 3. Решите уравнение…

1) 35 – 2х=812) 48+5х=13) 32 –х=274) 4х2+х=165) 2х+2=128
6) 2х+1=167) 2х – 1=328) 3х2 –х=19) 9 –х=2710) 4 –х=16

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16=2421/2=24,5.

Из уравнения 2х2‑6х‑2,5=24,5 получаем х2‑6х ‑2,5=4,5, откуда х= ‑1 и х=7.

Ответ: ‑ 1; 7

Пример 7. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Пример 8. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ:

Задание 4. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 9. Решите уравнение .

Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; ; ;

; ; x= ‑ 2.

Ответ: ‑ 2

Пример 10. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Пример 11. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ: 1

Задание 5. Решите уравнение…

1)2)3) =4)
5)6)7)8)
9)10) =

Пример 12. Решите уравнение .

Решение. Воспользуемся свойством степени:

; ; . Отсюда х=2.

Ответ: 2

Задание 6. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. ; ; ; 2x=3; x=.

Ответ:

Пример 14. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 2: .

Ответ:

Пример 15. Найдите корень уравнения .

Решение. Преобразуем правую часть уравнения: .

Получаем уравнение

Ответ:

Задание 7. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 16. Решите уравнение .

Решение. По определению корня имеем: .

Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; .

; 9(x – 1)=4(2 – x); 9x – 9=8 – 4x; 13x=17; x=.

Ответ:

Задание 8. Решите уравнение…

1) =2) =43) =4) =27
5) =6) (=7) =8) 16 ‑1=2x
9) (=10) 8 ‑1=2x/2

Пример 17. Решите уравнение .

Решение. ; ; |x+1|=2  

Ответ: 1; ‑ 3

Задание 9. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. ; ; 1=x – 2; x=3.

Ответ: 3

Задание 10. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6)
7)8)
9)10)

Решение показательных уравнений разложением на множители

Этот способ используется в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.

Причем, если a>1, выносится степень с меньшим показателем; если 00, b0, являются однородными.

Путем деления обеих частей таких уравнений на они сводятся к квадратным уравнениям вида .

Пример 27. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

.

Разделим обе части полученного уравнения на :

. Пусть Тогда .

Корни этого уравнения t1=1, t2=.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:  .

Ответ: 0; ‑ 1

Задание 15. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6)
7)8)
9)10)

Метод почленного деления

Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями на одну из степеней.

При этом удобнее делить на степень с большим показателем.

Пример 28. Решите уравнение 9х+6х=24х.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4х≠0, получим +=2, +‑2=0. Обозначим =у, у>0, получим у2+у ‑2=0; y1= ‑2; у2=1. ‑2 не удовлетворяет условию у>0. Имеем =1. х=0.

Ответ: 0

Задание 16. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6)
7)8)

Логарифмирование

Уравнения вида af(x)=bg(x) (a>0, a≠1, b>0, b≠1), где f(x) и g(x) – элементарные функции, решаются логарифмированием обеих частей.

Уравнения вида , где a>0, a1 имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: . Тогда .

Пример 29. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 3.

Получаем: ; ; ; .

Ответ:

Задание 17. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Пример 30. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Умножим обе части уравнения на положительное выражение , получим:, откуда и .

, , значит, указанному промежутку принадлежит только корень .

Ответ: 0,5; 2 и 2;  0,5

Пример 31. Решите уравнение .

Решение. Поскольку и при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 2:

; .

Далее раскроем скобки и выразим х: х+1=(2 – х), откуда х+х=2 – 1, x=.

Ответ:

Задание 18. Решите уравнение…

1)2)3)4)
5)6)7)8)
9)10)

Показательно-степенные уравнения

Уравнения вида (переменная в основании и в показателе степени) называются показательно-степенными.

Уравнения этого вида не являются ни показательными, ни степенными. Их корнями являются решения системы: , а также те значения х, для которых f(x)=1 (если при этих значениях определены функции y(x) и h(x)), и те значения х, для которых f(x)0.

При этом, если f(x)=0, то h(x)N и y(x)N; если f(x)0, получим +у=4, т.е. y2‑4y+1=0. у1=2+, у2=2 ‑ , тогда =2+ или =2 ‑ .

Отсюда х1=2, х2= ‑ 2.

Ответ: 2; ‑ 2

Задание 22. Решите уравнение…

1)2)
3)4)
5)6) +
7)8)
9)

Пример 38. Вычислите , если .

Решение. ==

==

=.

Ответ:

Задание 23. Вычислите…

1) , если
2) , если
3) , если
4) , если
5) , если

Пример 39. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

. Разделим обе части уравнения на и получим уравнение .

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку :

Получим число: .

Ответ: ;

Пример 40. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. .

Заданному промежутку принадлежат числа ; .

Ответ: ; ; .

Пример 41. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Пусть тогда исходное уравнение запишется в виде ; , ; .

; .

; .

С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку:

Получим числа: и .

Ответ: ; ;

Источник: https://mega-talant.com/biblioteka/pokazatelnye-uravneniya-85757.html

49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения

Решение уравнений с степенями. Степенные или показательные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.

I тип: уравнение вида

где (6.2)

Имеет решение, если > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:

Тогда

(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: Уравнение вида

где (6.4)

По свойству равенства степеней равносильно уравнению

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

(6.5)

Где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.

Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

И способы их решения

Всюду далее F(X), G(X), H(X) Некоторые выражения с неизвестной X, F(X) > 0.

I тип: уравнение вида

(6.6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида

(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение

Решение.1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

т. е.

Приходим к линейному уравнению

Откуда

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Пришли к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

По свойству степеней:

Получаем ответ: Х = 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:

Корнями последнего уравнения являются значения

Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

т. е.

Получили ответ: Х = 3.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:

Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда

Откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение.1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Рис. 6.12

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:

или

Заменим Получим

При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: Х = 2.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X = 2, 3, …, N, … .

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:

Вводим замену

Получаем квадратное уравнение откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X ¹ 2.

Решением является совокупность

Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: X = 1, X = 3.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/algebraicheskie-uravneniia-i-neravenstva-funktcii-logarifmy/49-pokazatelnye-uravneniia-pokazatelno-stepennye-uravneniia

Показательные уравнения и неравенства

Решение уравнений с степенями. Степенные или показательные уравнения

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств.

В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3.

Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные.

В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений.

О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

Свойствоa > 10 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: x = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3×2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3.

Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число).

Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении.

В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Репетитор по математике в Тропарёво
Сергей Валерьевич

Источник: https://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%813-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%BA

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий