Рисунки имеющие ось симметрии. Осевая и центральная симметрия

Презентация по геометрии на тему

Рисунки имеющие ось симметрии. Осевая и центральная симметрия

Инфоурок › Геометрия ›Презентации›Презентация по геометрии на тему “Осевая и центральная симметрия” (9 класс)

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд 2 слайдОписание слайда:

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Герман Вейль

3 слайд 4 слайдОписание слайда:

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большин-стве случаев симметрич-ны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обо-ях. Симметричны многие детали механизмов.

5 слайд 6 слайдОписание слайда:

Мысли великих… Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. Л.Н.Толстой. Русский художник Илья Ефимович Репин Портрет писателя Л.Н.Толстого. 1887 г. //ilya-repin.ru/master/repin9.php

7 слайдОписание слайда:

О чём гласит предание… В японском городе Никко находятся красивейшие ворота страны. Они необычайно сложные, со множеством фронтонов и изумительной резьбой.

Но в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном, рисунок полностью симметричен. Для чего это было нужно? //www.walls-world.

ru/download-wallpapers-4109-original.html

8 слайдОписание слайда:

Как говорит предание, симметрия была нарушена намеренно, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве и не разгневались на него. //www.walls-world.ru/download-wallpapers-4109-original.html

9 слайдОписание слайда:

Виды симметрии: Осевая симметрия (зеркальная) Центральная симметрия «Симметрия» – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей

10 слайдОписание слайда:

Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии.

11 слайдОписание слайда:

Алгоритм построения А А1 О Точка А симметрична точке А1 относительно точки О. О – центр симметрии. Отметим на листе бумаги произвольные точки O и A. Проведём через точки прямую OA. На этой прямой отложим от точки O отрезок OA1, равный отрезку AO, но по другую сторону от точки O.

12 слайдОписание слайда:

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1 А А1 О АО = ОА1 Точка О – центр симметрии Прообраз точки А1 Образ точки А

13 слайдОписание слайда:

Фигуры , симметричные относительно точки (примеры)

14 слайдОписание слайда:

Если внимательно рассмотреть данные орнаменты и фигуры, можно заметить, что все они имеют центр симметрии.

15 слайдОписание слайда:

Рассмотрим пример: Выполнить построение трапеции, симметричной данной, относительно точки O. A B C D A1 B1 C1 D1 O 1) Проведём от вершин трапеции через точку O лучи AO, BO, CO, DO. 2) Построим на лучах точки, симметричные вершинам трапеции, относительно точки O.

16 слайдОписание слайда:

В А С О В1 А1 С1 Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному, относительно точки O.

17 слайдОписание слайда:

Фигура называется симмет-ричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка отно-сительно прямой a также при-надлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Рассмотрите данные фигуры.

Каждая из них состоит как бы из двух полови-нок, одна из ко-торых является зеркальным отра-жением другой. Каждую из этих фигур можно сог-нуть «пополам» так, что эти поло-винки совпадут.

Говорят, что эти фигуры симмет-ричны относи-тельно прямой – линии сгиба.

18 слайдОписание слайда:

Алгоритм построения А А1 а 1) Проведём через точку А прямую АO,перпендикулярную оси симметрии a. 2) С помощью циркуля отло-жим на прямой АO отрезок OА1, равный отрезку OА. О

19 слайдОписание слайда:

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если: эта прямая проходит через середину отрезка АА1, а перпендикулярна АА1 . А А1 а a – ось симметрии. Точка А симметрична точке А1 относительно прямой а. О

20 слайдОписание слайда:

М М1 N1 N P b Точки М и М1 , N и N1, симметричны относительно прямой b. Точка P симметрична самой себе относительно прямой b.

21 слайдОписание слайда:

Фигуры, обладающие осевой симметрией

22 слайдОписание слайда:

Прямоугольник имеет две оси симметрии

23 слайдОписание слайда:

Ромб имеет две оси симметрии

24 слайдОписание слайда:

У равностороннего треугольника три оси симметрии

25 слайдОписание слайда:

Квадрат имеет 4 оси симметрии

26 слайдОписание слайда:

У окружности бесконечно много осей симметрии. Любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии

27 слайдОписание слайда:

Ось симметрии имеют плоские и пространственные фигуры. Например: Задание. Из данных фигур выберите те, которые имеют ось симметрии. Есть ли среди них такие, которые имеют более одной оси симметрии?

28 слайдОписание слайда:

На листе бумаги изображена «ёлочка». Концы её нижних «веток» обозначьте буквами A и A1; Проведите прямую l – ось симметрии; Перегните «ёлочку» по прямой l; Что происходит с точками A и A1 ? А если посмотреть на рисунок сверху, то как будут расположены точки A и A1 к прямой l ? Какими будут эти точки относительно прямой l ?

29 слайдОписание слайда:

B C А C1 B1 A1 а Задание. Выполнить построение треугольника, симметричного данному относительно прямой a.

30 слайд 31 слайдОписание слайда:

F А Б E Г O 1 2 Какие буквы обладают осевой симметрией? Какие буквы не обладают симметрией?

32 слайдОписание слайда:

Какие буквы обладают центральной симметрией? А О М Х К 1 Ответ: О, Х.

33 слайдОписание слайда:

Распределите данные фигуры по трём столбикам таблицы: «Фигуры, обладающие центральной симметрией», «Фигуры, обладающие осевой симметрией», «Фигуры, имеющие обе симметрии». 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

34 слайдОписание слайда:

1 2 3 2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 Фигуры, обладающие центральной симметрией Фигуры, обладающие осевой симметрией Фигуры, имеющие обе симметрии

35 слайдОписание слайда:

Прекрасный, безграничный, На взгляд совсем привычный, Но чем-то необычный Со словом «симметричный» Открылся мир вокруг.

36 слайд 37 слайдОписание слайда:

В 1961 году, как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика Примеры симметрий в ботанике: Осевая симметрия Центральная симметрия

38 слайдОписание слайда:

Центральная симметрия характерна для цветов и плодов растений. Разрез голубики, черники, вишни и клюквы представляет собой окружность. А окружность имеет центр симметрии.

39 слайдОписание слайда:

Осевая симметрия в животном мире

40 слайдОписание слайда:

Центральная симметрия Центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни.

41 слайд 42 слайд 43 слайд 44 слайдОписание слайда:

Молекула воды имеет плоскость симметрии – прямая вертикальная линия

45 слайдОписание слайда:

Молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота)

46 слайдОписание слайда:

Молекула метана СН4

47 слайдОписание слайда:

Симметрия электрического и магнитного поля

48 слайдОписание слайда:

Симметричное распространение электромагнитных волн.

49 слайдОписание слайда:

Конечное число типов кристаллов.

50 слайдОписание слайда:

Продемонстрируем осевую симметрию на примерах наземного и воздушного транспорта, где ось симметрии проходит вдоль направления движения

51 слайдОписание слайда:

Кто из нас зимой не любовался снежинками? Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией

52 слайд 53 слайдОписание слайда:

Центральная симметрия Осевая симметрия

54 слайд 55 слайд 56 слайдОписание слайда:

№1. Каким видом симметрии обладает каждое из предложенных изображений? 1 2 3 4 5 6

57 слайдОписание слайда:

№2. Проведи оси симметрии и центр симметрии у фигур 1 В 2 В

58 слайд 59 слайдОписание слайда:

Какие фигуры имеют одну ось симметрии? 1) Равносторонний треугольник; 2) Параллелограмм; 3) Угол Какая из фигур имеет три оси симметрии? 1) Ромб; 2) Равносторонний треугольник; 3) Отрезок. №4 I в. II в.

60 слайдОписание слайда:

а б а б №5. Какие фигуры симметричны относительно прямой а? 1 в. 2 в.

61 слайд

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра “Инфоурок”?

Краткое описание документа:

Общая информация

Источник: //infourok.ru/prezentaciya_po_geometrii_na_temu_osevaya_i_centralnaya_simmetriya_9_klass-378093.htm

Урок 32. Осевая и центральная симметрии

Рисунки имеющие ось симметрии. Осевая и центральная симметрия

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличиеопределённого порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времёниспользовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,художестве, строительстве.
Симметрия широко распространена и в природе, гдене было вмешательства человеческой руки.

Её можно наблюдать в форме листьев ицветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллическихтел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Симметрияв геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Дветочки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) поразные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричнымиотносительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскостисимметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённойпрямой (оси).

Две точки  А и  В симметричны относительно прямой  а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезкаАВ  и перпендикулярнак нему.

Каждая точка прямой  а  симметрична самой себе.

ПРИМЕР:

АО= ОВ, АВ а.

Точка  А симметрична сама себе.

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точкаотносительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямая – ось симметрии фигуры, афигура обладает осевой симметрией.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Иногда у фигур несколько осей симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.

ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренныйтреугольник имеет одну ось симметрии.
Равностороннийтреугольник имеет три оси симметрии.
Квадрат имеет четыре осисимметрии.
Прямоугольник имеет двеоси симметрии
Ромб имеет две осисимметрии
Окружность имеетбесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,является осью симметрии.
Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являютсяпараллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А1В1С1, симметричный треугольнику  АВС относительно красной прямой линии (ось симметрии).

Для этого проведём из вершинытреугольника  АВС  прямые,перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

Измерим расстояние от вершин треугольникадо получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие жерасстояния.

Соединим получившиеся точки отрезками иполучим треугольник  А1В1С1, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.Построить его симметрию относительно прямой l,не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрияявляется движением, то отрезок  АВ отобразится на равный ему отрезок А'В'.
Для его построения сделаемследующее: проведём через точки  А  и  В  прямые  m  и  n  перпендикулярнопрямой  l.Пусть 

ml = Х, nl = Y.

Далее проведём отрезки 

А'Х= АХ  и В'Y = ВY.

ЗАДАЧА:

Построить симметричныйтреугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить егосимметрию относительно стороны  ВС.

Сторона  ВС  при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует изопределения). Точка  А  перейдёт в точку  А1  следующим образом:

АА1⊥ ВС, АН = НА1.

Треугольник  АВС  перейдёт в треугольник  А1ВС.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрию относительно точки называют центральнойсимметрией.

Две точки  А  и  В симметричны относительно точки  О, если  О – середина отрезка  АВ. Точка  О  называется центром симметрии.

Точка  О  симметрична самойсебе.

Фигурасимметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежатна прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равныхрасстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точкаотносительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигуры, обладающие центром симметрии.

ПРИМЕР:

Окружность, центр окружностиявляется её центром симметрии.

Параллелограмм, его центромсимметрии является точка пересечения диагоналей.

Прямая имеет бесконечно многоцентров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А1В1С1, симметричный треугольнику  АВС относительно центра (точки)О.

Для этого соединим точки  А,В,С  с центром  О  и продолжим эти отрезки.

Измерим отрезки  АО,ВО, СО  и отложим сдругой стороны от точки  О  равные им отрезки 

АО= ОА1, ВО = ОВ1, СО = ОС1.

Соединим получившиеся точкиотрезками и получим треугольник  

А1В1С1, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.Построить его симметрию относительно точки С, лежащей на прямой  l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрияявляется движением, то отрезок  АВ отобразится на равный ему отрезок А''В''.
Для его построения сделаемследующее: проведём прямые  АС  и  ВС. Далее проведём отрезки
А''С = АС  и  В''С = ВС.

ЗАДАЧА:

Построить симметричныйтреугольник для данного треугольника относительно какой-либо его вершины.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить егосимметрию относительно вершины  А.

Вершина  А  при центральной симметрии перейдёт в самусебя (следуетиз определения). Точка  В  перейдётв точку  В1  следующим образом  ВА = АВ1, а точка  С  перейдётв точку  С1  следующим образом  СА = АС1. Треугольник АВС  перейдётв треугольник  АВ1С1.


Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости.

Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат  хОу. Ознакомимся с координатной записью некоторыхперемещений.

1) При осевой симметрииотносительно оси  Оу  точка  Р(х, у) отображается наточку  Р'

с координатами:


х' =–х,

у' =у.

2)При осевой симметрии относительно оси  Ох  точка  Р(х, у) отображается наточку  Р'
с координатами:


х' =х,

у' =–у.

3) При повороте на  90°  вокруг начала координат ось  Ох переходит в ось  Оу  так, что положительное направление переходитв положительное, а ось  Оу  отображается на ось  Ох  так, чтоположительное направление переходит в отрицательное. Поэтому  Р(х, у)  отображается наточку  Р'
с координатами:


х' =–у,

у' =х.

4) При центральной симметрии

каждая из осей координатотображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит вотрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому

Объединим результаты в таблицу
“,”author”:”Автор: krasavtsev52″,”date_published”:”2020-03-21T19:13:00.000Z”,”lead_image_url”:”//1.bp.blogspot.com/-TDghY-zNa24/XUjimBfmuvI/AAAAAAAAtRo/UMs9LejFU6EJWDgMBXwX7dsy6XwizAClwCLcBGAs/w1200-h630-p-k-no-nu/14.png”,”dek”:null,”next_page_url”:”//krasavtsev.blogspot.com/p/1-ru-ua.html”,”url”:”//krasavtsev.blogspot.com/2019/08/geometria32.html”,”domain”:”krasavtsev.blogspot.com”,”excerpt”:”Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении част…”,”word_count”:968,”direction”:”ltr”,”total_pages”:2,”pages_rendered”:2}

Источник: //krasavtsev.blogspot.com/2019/08/geometria32.html

Осевая симметрия – виды, свойства и примеры фигур

Рисунки имеющие ось симметрии. Осевая и центральная симметрия

Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности. 

Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.

Что такое симметрия

Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.

В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.

Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.

Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром. 

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Осевая симметрия

Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.

Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии

Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же – центр симметрии.

В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром. 

Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.

Рис. 4 Примеры осевой симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики. 

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Источник: //nauka.club/matematika/geometriya/osevaya-simmetriya.html

Осевая и центральная симметрии. Проводим урок с ЭФУ

Рисунки имеющие ось симметрии. Осевая и центральная симметрия

Статьи

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Математика (5-6)

Математика

Разберемся, как провести урок в 6 классе по теме «Осевая и центральная симметрии» с использованием ЭФУ.

05 февраля 2020

  1. Зайдите на бесплатный сервис «Классная работа» от LECTA. В помощь учителю на сервисе «Классная работа» представлены поурочные планы по математике — календарно-тематическое планирование и методические рекомендации к каждому этапу урока. Поурочные разработки по математике содержат интерактивные материалы для изучения каждой темы и интерактивные задания для каждого урока, математические диктанты и проверочные работы для организации проверки знаний.
  2. Откройте ЭФУ «Математика. 6 класс» (УМК А.Г. Мерзляка). Нужная нам тема рассматривается в параграфе 44.  
  3. Откройте в сервисе «Классная работа» поурочные разработки к этому учебнику. Тема «Осевая и центральная симметрии» рассматривается на трех занятиях — 127-129. Планы данных уроков вы можете скачать в этой статье, ко всем остальным занятием — по ссылке выше. 

Поурочные разработки к УМК «Математика. 6 класс» А.Г. Мерзляка разработаны в соответствии с основными положениями ФГОС ООО и легли в основу системы уроков, в каждом из которых собрано все необходимое для проведения занятия в шестом классе. 

Из курса математики 5 класса учащиеся уже узнали, как выглядят и строятся фигуры, имеющие ось симметрии. Перед изучением темы «Осевая и центральная симметрии» будет целесообразно повторить материал 5 класса. Следует разъяснить учащимся, что построение фигуры во многих случаях возможно по положению ключевых точек.

Учитель: Отрезок можно определить положением концов, треугольник — расположением вершин. Какие еще примеры вы можете назвать?
Ученики: Квадрат по 4 точкам, например… И ромб!
Учитель: Верно. Чтобы построить фигуру, которая будет симметрична нашему треугольнику или ромбу, нам необходимо отразить ее ключевые точки. 

Для закрепления этого интуитивно-наглядного понимания, учитель может предложить детям перегнуть лист бумаги, на котором изображены симметричные фигуры.

.

Понятие симметрии

Слово «симметрия» происходит от греческого symmetria, что означает соразмерность. В нашем случае, симметрия — это свойство геометрических фигур к отображению.

Учитель: Симметрия используется в рисунках, орнаментах, архитектуре с давних времен. Где еще симметрию могут использовать люди?

Ученики: при строительстве домов; в изготовлении предметов быта.
Учитель: верно, но ведь симметрия распространена не только там, где творил человек! Мы видим симметричные объекты природы каждый день. Назовите мне три таких объекта!
Ученики: Бабочка, цветы, форма листа! Морская звезда, снежинка, яблоко в разрезе.  Симметрий, как это не покажется вам странным и любопытным, много, но мы будем рассматривать две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).  

Заметим, что любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны (Рис.131). Все точки фигуры, имеющей ось симметрии, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек (Рис. 132).

Прямоугольник, ромб и квадрат. Осевая и центральная симметрии. урок. Геометрия 8 Класс

Рисунки имеющие ось симметрии. Осевая и центральная симметрия

На этом уроке мы рассмотрим ещё одну характеристику некоторых фигур – осевую и центральную симметрию. С осевой симметрией мы сталкиваемся каждый день, глядя в зеркало.

Центральная симметрия очень часто встречается в живой природе. Вместе с тем, фигуры, которые обладают симметрией, имеют целый ряд свойств.

Кроме того, впоследствии мы узнаем, что осевая и центральная симметрии являются видами движений, с помощью которых решается целый класс задач.

Данный урок посвящён осевой и центральной симметрии.

Определение

Две точки  и  называются симметричными относительно прямой , если:

1.      прямая проходит через середину отрезка ;

2.      прямая  перпендикулярна отрезку.

На Рис. 1 изображены примеры симметричных относительно прямой  точек  и ,  и .

Рис. 1

Отметим также тот факт, что любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой.

Симметричными относительно прямой могут быть и фигуры.

Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой прямой точка также принадлежит фигуре. В этом случае прямая  называется осью симметрии. Фигура при этом обладает осевой симметрией.

Рассмотрим несколько примеров фигур, обладающих осевой симметрией, и их оси симметрии.

Пример 1

Угол обладает осевой симметрией. Осью симметрии угла является биссектриса. Действительно: опустим из любой точки угла перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до пересечения с другой стороной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

 (так как  – общая сторона,  (свойство биссектрисы), а треугольники – прямоугольные). Значит, . Поэтому точки  и  симметричны относительно биссектрисы угла.

Из этого следует, что и равнобедренный треугольник обладает осевой симметрии относительно биссектрисы (высоты, медианы), проведённой к снованию.

Пример 2

Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии (биссектрисы/медианы/высоты каждого из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

Пример 3

Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4

Пример 4

Ромб также обладает двумя осями симметрии: прямые, которые содержат его диагонали (см. Рис. 5).

Рис. 5

Пример 5

Квадрат, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, обладает 4 осями симметрии (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пример 6

У окружности осью симметрии является любая прямая, проходящая через её центр (то есть содержащая диаметр окружности). Поэтому окружность имеет бесконечно много осей симметрии (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим теперь понятие центральной симметрии.

Определение

Точки  и  называются симметричными относительно точки , если:  – середина отрезка .

Рассмотрим несколько примеров: на Рис. 8 изображены точки  и , а также  и , которые являются симметричными относительно точки , а точки  и  не являются симметричными относительно этой точки.

Рис. 8

Некоторые  фигуры являются симметричными относительно некоторой точки. Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для любой точки фигуры точка, симметричная ей, также принадлежит данной фигуре. Точка  называется центром симметрии, а фигура обладает центральной симметрией.

Рассмотрим примеры фигур, обладающих центральной симметрией.

Пример 7

У окружности центром симметрии является центр окружности (это легко доказать, вспомнив свойства диаметра и радиуса окружности) (см. Рис. 9).

Рис. 9

Пример 8

У параллелограмма центром симметрии является точка пересечения диагоналей (см. Рис. 10). 

Рис. 10

Решим несколько задач на осевую и центральную симметрию.

Задача 1.

Сколько осей симметрии имеет отрезок ?

Решение:

Отрезок имеет две оси симметрии. Первая из них – это прямая, содержащая отрезок (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). Вторая – серединный перпендикуляр к отрезку, то есть прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

Ответ: 2 оси симметрии.

Задача 2.

Сколько осей симметрии имеет прямая ?

Решение:

Прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Одна из них – это сама прямая (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). А также осями симметрии являются любые прямые, перпендикулярные данной прямой.

Ответ: бесконечно много осей симметрии.

Задача 3.

Сколько осей симметрии имеет луч ?

Решение:

Луч имеет одну ось симметрии, которая совпадает с прямой, содержащей луч (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой).

Ответ: одна ось симметрии.

Задача 4.

Доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим ромб . Докажем, к примеру, что прямая  является его осью симметрии. Очевидно, что точки  и  являются симметричными сами себе, так как лежат на этой прямой. Кроме того, точки  и  симметричны относительно этой прямой, так как . Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Проведём через точку  перпендикуляр к прямой  и продлим его до пересечения с . Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники прямоугольные (по построению), кроме того, в них:  – общий катет, а  (так как диагонали ромба являются его биссектрисами).

Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно прямой . Это означает, что  является осью симметрии ромба.

Аналогично можно доказать этот факт и для второй диагонали.

Доказано.

Задача 5.

Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм . Докажем, что точка  является его центром симметрии. Очевидно, что точки  и ,  и  являются попарно симметричными относительно точки , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит параллелограмму (см. Рис. 12).

Рис. 12

Соединим точку  с точкой  и продлим линию до пересечения с противоположной стороной. Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два угла).

Действительно:  (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам),  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых),  (как вертикальные углы). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: .

Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно точки . Это означает, что  является центром симметрии параллелограмма.

Доказано.

На этом уроке мы заканчиваем изучение темы «виды четырёхугольников» (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат). Мы рассмотрели осевую и центральную симметрию и её примеры для различных геометрических фигур. Кроме того, были решены несколько задач на эту тему.

На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы: «Площадь».

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. № 59, 60. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. Дан угол  и точка , которая лежит внутри него. Построить угол, симметричный углу  относительно точки .
  3. Постройте окружность радиусом . Проведите прямую, которая не проходит через центр окружности. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.

Источник: //interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/pryamougolnik-romb-i-kvadrat-osevaya-i-tsentralnaya-simmetrii

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий