Способы размножения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Способы размножения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2013-02-14

» СТАТЬИ » АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ » Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение на множители – это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль – попробовать  разложить левую часть на множители.

Перечислим основные  способы разложения многочлена на множители:

  • вынесение общего множителя за скобку
  • использование формул сокращенного умножения
  • по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
  • способ группировки
  • деление многочлена на двучлен
  • метод неопределенных коэффициентов

В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.1. Вынесение общего множителя за скобку.Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.Схема вынесения общего множителя выглядит так:

Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен:  

Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.

1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.

2. Устанавливаем, что переменная  содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная  содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.

Переменная  содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.

Итак, общий множитель равен 

3. Выносим за скобки множитель  пользуясь схемой, приведенной выше:

Пример 2. Решить уравнение: 

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :

Итак, получили уравнение 

Приравняем каждый множитель к нулю:

или 

Получаем  –   корень первого уравнения.

Корни квадратного уравнения  :

или 

Ответ: -1, 2, 4

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Если  количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.

1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых, то пытаемся применить формулу разности квадратов:

или формулу разности кубов:

Здесь буквы и обозначают  число или алгебраическое выражение.

2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов:

3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы:

или формулу квадрата разности:

Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

Здесь  и  – корни квадратного уравнения 

Пример 3.  Разложить на множители выражение:

Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:Пример 4. Разложить на множители выражение: Рещение. Перед нами разность квадратов  двух выражений.

Первое выражение: , второе выражение: Применим формулу для разности квадратов:Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:Пример 5. Разложить на множители выражение: Решение. Перед нами  многочлен, состоящий из трех слагаемых.

Заметим, что ; ;  Так как перед удвоенным произведением стоит знак “минус”, воспользуемся формулой для квадрата разности:Внимание!  Коэффициенты обоих членов трехчлена, которые являются квадратами одночленов, положительны.Пример 6.

Разложить на множители квадратный трехчлен Приготовим для разложения квадратного трехчлена готовую форму: Впишем значения корней в готовую форму:Внесем множитель 3 во вторую скобку: И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2013/02/14/razlozhenie-mnogochlena-na-mnozhiteli-chast-1

Разложение многочлена на множители: примеры, правило

Способы размножения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами.

Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…

+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  – это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1

Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816

Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что

2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.

x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i

Получив корни, запишем

x2+13x+1=x–16+356·ix–16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.

Решение

Видим, что x1=0  – это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:

D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52

Тогда следует, что

4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx–1+52x–1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

xiКоэффициенты многочленов
13-1-9-18
113+1·1=4-1+4·1=3-9+3·1=-6-18+(-6)·1=-24
-113+1·(-1)=2-1+2·(-1)=-3-9+(-3)·(-1)=-6-18+(-6)·(-1)=-12
213+1·2=5-1+5·2=9-9+9·2=9-18+9·2=0
215+1·2=79+7·2=239+23·2=55
-215+1·(-2)=39+3·(-2)=39+3·(-2)=3
315+1·3=89+8·3=339+33·3=108
-315+1·(-3)=29+2·(-3)=39+3·(-3)=0

Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)

Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60

Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 – это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 

Решение

Запишем и получим:

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372

Отсюда следует, что

2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3

Значит:

x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)

После разложения на множители получим, что

x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.

Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.

После применения разности квадратов, получим

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6

Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/razlozhenie-mnogochlena-na-mnozhiteli/

Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов. урок. Алгебра 7 Класс

Способы размножения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

-Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

;

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

;

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

-Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

;

Сгруппируем  первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

;

Вынесем общие множители в группах:

;

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

;

– Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение подробно:

;

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:

;

Сегодня мы выучим еще один способ – метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

 – формула квадрата суммы(разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение:

;

Итак, первое выражение это , а второе .

Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:

;

Свернем полный квадрат суммы:

;

Преобразуем полученное выражение:

;

Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:

;

Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере.

После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.

Перейдем к решению примеров.

Пример 1 – разложить на множители:

;

Найдем выражения, которые стоят в квадрате:

;

Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:

;

Прибавим и отнимем удвоенное произведение:

;

Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::

;

Распишем по формуле разности квадратов:

;

Пример 2 – решить уравнение:

;

В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :

;

У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

;

Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:

;

Применим формулу разности квадратов:

;

Итак, имеем уравнение

Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:

 или

Решим первое уравнение:

, ;

Решим второе уравнение:

, ;

Ответ:  или

Пример 3:

;

Поступаем аналогично предыдущему примеру – выделяем квадрат разности:

;

Применяем формулу разности квадратов:

;

Получили уравнение

Значит  или ,  или ;

Вывод: мы рассмотрели новый метод разложения многочлена на множители – метод выделения полного квадрата, он базируется на знании и формул сокращенного умножения. Мы выполнили несколько различных примеров на закрепление техники применения данного метода.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. ЕГЭ по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 382, ст.135;

Задание 2 – выделить полный квадрат: а) ; б) ; в) ; г)

Задание 3 – решить уравнение: а) ; б) ; в)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli-metod-vydeleniya-polnogo-kvadrata-kombinatsiya-metodov

Решение уравнений способом разложения многочлена на множители

Способы размножения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

Цели урока: научиться применять формулы сокращенного умножения при решении уравнений; развивать логическое мышление учащихся.

Оборудование: презентация, таблица с формулами сокращенного умножения, тесты.

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент. Сообщить тему и цели урока учащимся.

  1. Выполнить тест. Рефлексия.

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

2) Вопросы учащимся:

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

  1. На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

  1. Решить уравнение двумя способами. Вызвать к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

  1. Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Ответ: -3; -1.

  1. Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Ответ: 1; -6

  1. Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х4+4х3+6х2+4х+1 есть (х+1)4). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

11

121

1331

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

( (х+1)4=0, х=-1).

  1. Решите устно уравнение

((х+1)3=0,х=-1).

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

  1. Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

  1. Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

(х=2 или х=6).

Вопросы:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х2-2х-1=0 3х2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

Д/З §31-34 изучить

№ 953, 1010, 949

Источник: https://infourok.ru/reshenie-uravneniy-sposobom-razlozheniya-mnogochlena-na-mnozhiteli-796141.html

Урок 7: Разложение многочленов

Способы размножения многочлена на множители. Как разложить на множители алгебраическое уравнение

План урока:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Применение разложение многочленов на множители

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = 2(1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 )

Обозначим сумму

2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

x + 29 = 2(1 + x)

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

x + 29 = 2(1 + x)

x + 29 = 2 + 2x

2x – x = 29 – 2

x = 512 – 2 = 510

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = x + 29 = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

38.42 – 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 – 29.5 * 38.4

Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:

38.42 – 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 – 29.5 * 38.4 = 38.42 – 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 – 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 – 29.5) + 61.6(38.4 – 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 – 29.5) = 8.9*100 = 890

Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение

814 – 97 + 312

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

9 = 32

81 = 92 = (32)2 = 34

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

814 – 97 + 312 = (34)4 – (32)7 + 312 = 316 – 314 + 312

Вынесем 312:

316 – 314 + 312 = 312(34 – 32 + 1) = 312 * (81 – 9 + 1) = 312 * 73

Произведение 312•73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 814 – 97 + 312 делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) = (a2 + 3a)(a2 + 3a) + 2(a2 + 3a) = (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2)

Далее произведем замену 3a = 2a + a:

(a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) = (a2 + 3a)(a2 + 2a + a + 2) = (a2 + 3a)((a2 + 2a) + (a + 2) = (a2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

(x – y)(x + y) – 2x(x – y)

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х – у:

(x – y)(x + y) – 2x(x – y) = (x – y)(x + y – 2x) = (x – y)(y – x)

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

(x – y) = -(y – x)

Тогда можно записать:

(x – y)(y – x) = -(y – x)(y – x) = -(y – x)2

Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у – х)2. Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:

(s – 1)(s + 1) = 0

s – 1 = 0 или s + 1 = 0

s = 1 или s = -1

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Ответ: –1; 1.

Пример. Решите уравнение 5w2 – 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

5w2 – 15w = 0

5w(w – 3) = 0

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

5w = 0 или (w – 3) = 0

w = 0 или w = 3

Ответ: 0; 3.

Пример. Найдите корни уравнения k3– 8k2 + 3k– 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k3– 8k2 + 3k– 24 = 0

(k3– 8k2) + (3k– 24) = 0

k2(k – 8) + 3(k – 8) = 0

(k3 + 3)(k – 8) = 0

k2 + 3 = 0 или k – 8 = 0

k2 = -3 или k = 8

Заметим, что уравнение k2 = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Ответ: 8.

Пример. Найдите корни уравнения

(2u – 5)(u + 3) = 7u + 21

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

(2u – 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u – 5)(u + 3) – 7u – 21 = 0

(2u – 5)(u + 3) – 7(u + 3) = 0

(2u – 5 – 7)(u + 3) = 0

(2u – 12)(u + 3) = 0

2u – 12 = 0 или u + 3 = 0

u = 6 или u = -3

Ответ: – 3; 6.

Пример. Решите уравнение

(t2 – 5t)2 = 30t – 6t2

Решение:

(t2 – 5t)2 = 30t – 6t2

(t2 – 5t)2 – (30t – 6t2) = 0

(t2 – 5t)(t2 – 5t) + 6(t2 – 5t) = 0

(t2 – 5t)(t2 – 5t + 6) = 0

t2 – 5t = 0 или t2 – 5t + 6 = 0

Далее решим по отдельности эти уравнения:

t2 – 5t = 0

t(t – 5) = 0

t = 0 или t – 5 = 0

t = 0 или t = 5

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

t2 – 5t + 6 = 0

t2 – 2t – 3t + 6 = 0

t(t – 2) – 3(t – 2) = 0

(t – 3)(t – 2) = 0

T – 3 = 0 или t – 2 = 0

t = 3 или t = 2

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

Ответ: 0, 2, 3, 5

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-6-razlozhenie-mnogochlenov

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий