Треугольник равнобедренный прямой острый. Равнобедренный треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Равнобедренный треугольник. Подробная теория с примерами

Треугольник равнобедренный прямой острый. Равнобедренный треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний



Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту.

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (  и  ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

    (ещё говорят,  – общая)

И, значит,  ! Почему? Да мы просто найдём и  , и   из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что  )

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны  
  • Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.    

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).
II. Если в каком-то треугольнике
  • высота и медиана или
  • высота и биссектриса или
  • биссектриса и медиана

проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:
Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

  • Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
  • Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
  • Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
  • Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
  • Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике   стороны   и   равны, а  . Найти  .

Решаем:

Сначала рисунок.

Что здесь – основание? Конечно,  .

Вспоминаем, что если  , то и  .

Обновлённый рисунок:

Обозначим   за  . Чему там равна сумма углов треугольника?  ?

Пользуемся:

Вот и ответ:  .

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике    ,  . Найти  .

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз  , то  .

Треугольник-то – равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть  .

Теперь «вычёркиваем из жизни»  , рассмотрим только  .

Итак, в   имеем:  

Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)

Осталось найти  :  .

Ответ:  .

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Равнобедренный треугольник. Средний уровень

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок:   и   – боковые стороны,   – основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке:  ).
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки   высоту  .

Что получилось? Треугольник   разделился на два прямоугольных треугольника   и  . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет  .

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

  •   ( Вот – углы при основании равны)
  •   (  оказалась биссектрисой)
  •   (  оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой  ) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

  • Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  • Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса,проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в   оказались равны   и  .

Проведём высоту  . Тогда

  – как прямоугольные по катету и острому углу.

Значит,  .

Доказали, что   – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Тогда снова   по катету и острому углу. Значит, опять  .

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

  – по двум катетам  

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

Подытожим:

  1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
  2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

  •   – боковые стороны,
  •   – основание.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны:  
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой:   – высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника:

  1. Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  2. Если в некотором треугольнике совпадают:
    а) высота и биссектриса или
    б) высота и медиана или
    в) медиана и биссектриса,
    проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: //youclever.org/book/ravnobedrennyj-treugolnik-1

Урок 1

Треугольник равнобедренный прямой острый. Равнобедренный треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Тема: «Равнобедренный треугольник и его свойства»

Тип урока: урок изучения нового материала.

В совместной деятельности с учителем ввести понятия: равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, рассмотреть свойства равнобедренного треугольника, свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника, проведенных к основанию.

В результате урока учащиеся знают понятия равнобедренного и равностороннего треугольников, знают свойства равнобедренного треугольника и умеют их применять при решении задач.

  • Репродуктивный
  • Частично-поисковый
  • Эвристическая беседа
  • Метод УДЕ

Форма обучения: фронтальная.

Средства обучения: традиционные, презентация.

  • Мотивационно-ориентировочная часть (10 мин)
  • Содержательная часть (20 мин)
  • Рефлексивная часть (15 мин)

В начале урока провести проверку готовности рабочего места учащихся.

-Здравствуйте дети. Откроем тетради, запишем число, классная работа.

Мотивационно – ориентировочная часть.

-С какой фигурой мы работаем на уроках геометрии? (На уроках мы начали работать с треугольником.)

-Что такое треугольник? (Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.)

-Из каких же элементов состоит треугольник? (вершины и стороны)

Сформулируйте определение периметра треугольника. (периметром треугольника называется сумма длин всех сторон треугольника)

-Какие углы называются смежными? (два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой).

-Какие свойства смежных углов мы знаем? (в сумме дают 180).

Какие углы называются вертикальными? (два угла называются вертикальными если стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла)

Какое свойство вертикальных углов мы знаем? (вертикальные углы равны) (задание в презентации)

(задание в презентации)Добавьте условие, чтобы треугольники были равны п первому признаку.

-Сформулируйте первый признак равенства треугольников. (спросить ученика) (если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

-С какими понятиями мы познакомились на прошлом уроке? (На прошлом уроке мы познакомились с медианами, биссектрисами и высотами треугольника)

-Как называется отрезок BK на рисунке? (Отрезок BK называется биссектрисой треугольника ABC.) (презентация)

-Дайте определение биссектрисы треугольника. (Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника)

-Как называется отрезок CH на рисунке? (Отрезок CH называется высотой треугольника.) (презентация)

-Дайте определение высоты треугольника. (Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.)

-Как называется отрезок AM на рисунке? (Отрезок AM на рисунке называется медианой треугольника.) (презентация)

-Дайте определение медианы треугольника. (Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.)

-Продолжаем работать с треугольником.

-Что же мы знаем о треугольниках? Какие бывают треугольники, если сравнивать углы? (Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным. Если в треугольнике есть прямой угол, то он называется прямоугольным. Если в треугольнике есть тупой угол, то он называется тупоугольным. )

Определите вид треугольника (презентация)

Классификацию треугольников по углам мы знаем. Может быть существует классификация и по сторонам. На сегодняшнем уроке попробуем ее найти.

Давайте обратим внимание на треугольники, лежащие перед вами на парте. Измерим стороны этих треугольников (перед учениками лежат по два треугольника, у каждого варианта свои. Они измеряют стороны треугольника, далее учитель спрашивает результаты у одного из учеников, записывает их на доске и узнает у всех ли учеников с одного варианта такие результаты).

Давайте посмотрим на результаты, которые у нас получились. Какую особенность можно заметить? (у этих треугольников по две равные стороны)

Правильно. В геометрии такие треугольники называются равнобедренными. Сформулируйте определение равнобедренного треугольника (равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны).

Верно. Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Как думаете,как называется треугольник у которого все стороны равны?(равносторонний)

-На уроке мы поговорим о равнобедренном треугольнике,его свойствах и применении свойств в решении задач. Запишите в тетради тему урока «Равнобедренный треугольник и его свойства»

Вернемся к нашим треугольникам. Давайте измерим углы, прилежащие к основаниям этих треугольников (ученики с помощью транспортира измеряют углы, учитель записывает результаты на доске).

Что у нас получилось? (углы при основании равны). А углы каких треугольников мы измеряли? (равнобедренных). Верно. Мы получили утверждение о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Но мы могли что-то неправильно измерить или я ошиблась, когда вырезала треугольники. Так что, чтобы пользоваться этим утверждением надо его доказать. Попробуем это сделать.

-что нам дано? (треугольник АВС-равнобедренный, АС-основание треугольника)

Что нудно доказать? (нужно доказать, что угол А равен углу С)

Треугольник АВС равнобедренный. Что нам это дает? (АВ=ВС). Верно.

-С помощью чего мы можем доказать равенство углов в треугольнике? (с помощью равенства треугольников, содержащих эти углы).

Есть ли у нас такие треугольники? (нет)

Тогда давайте проведем биссектрису угла А и обозначим ее АD.Что мы получили, проведя биссектрису? (ABD=DBC)

-Теперь у нас есть необходимые треугольники? (да). Какие? (ABD, BCD)

-Что вы можете сказать об этих треугольниках? (AB=BC, BD-общая сторона, ABD=DBC) Что из этого следует?(ABDDBC равны по первому признаку равенства треугольников)

-Сформулируйте этот признак. ((спросить ученика) (если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

-Что следует из равенства треугольников? (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

– Какое равенство углов нам нужно? (А=С). Доказали ли мы это равенство? (да)

Верно. Доказанное нами утверждение называется теоремой. Отметим ее в учебнике. (док-во в тетрадь)

Нарисуйте равнобедренный треугольник. (один из учеников вызывается к доске, остальные в тетрадях). Обозначьте основание АС.

Проведите биссектрису угла В, медиану ВD и высоту ВН. Что мы видим на рисунке? (они совпали). К какой стороне в треугольнике АВС мы проводили биссектрису? (к основанию). Верно. Какое утверждение мы в итоге получили? (в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой). Попробуем это доказать.

-Что нам дано? (АВС – равнобедренный, АС – основание,BD– биссектриса ΔABC)

Что нужно доказать? (доказать, что BD-медиана и высота).

ВD– биссектриса. Что из этого следует? (АВD=СВD).Верно.

-Что такое медиана треугольника? (Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника)

-Что нам нужно найти для определения медианы? (равенство отрезков AD=DC)

-С помощью чего мы можем найти равенство отрезков? (через равенство треугольников)

-Равенство каких треугольников нам надо доказать? (АВD и СВD).

-Что нам дано в этих треугольниках? (АВ=ВС, ВD-общая, АВD=СВD, значит АВD= СВD (по первому признаку равенства треугольников)

-Что следует из равенства этих треугольников? (Из равенства АВD= СВD следует, что AD=DC, АDB=CDB)

– Что означает равенство отрезков AD=DC? (равенство отрезков означает, что D-середина стороны BC). Что нам это дает? ( BD-медиана треугольника ABC).

– Мы доказали, что биссектриса BD является медианой, что еще осталось доказать? (осталось доказать, что BD– высота треугольника ABD)

– Что такое высота треугольника? (Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.)

-Что называется перпендикуляром к прямой? (перпендикуляр- это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющий с ней угол в 90 градусов)

-Что можете сказать об углах АDB=CDB? (эти углы смежные)

-Что вы знаете о смежных углах? (сумма смежных углов равна 180 градусов)

Что мы ранее доказали про углы АDB и CDB? (что они равны).

-Тогда чему равен каждый из углов АDB и CDB? (АDB=CDB=90 градусов)

-Что следует из равенство этих углов? (BD-является так же высотой

треугольника ABC )Верно. Все ли мы доказали, что было необходимо? (да). Доказанное утверждение так же называется теоремой. Отметим ее в учебнике. (Док-во в тетрадь).

Рефлексивно-ориентировочная часть.

-Давайте теперь порешаем задачи используя все знания о равнобедренном треугольнике.

Устно решаются задачи с презентации.

Далее один ученик вызывается к доске, остальные решают задачи на местах.

№117 Что нам дано?(АВ=ВС, CD=DE)

Что нужно доказать? (

Доказательство:

Какие стороны равны на рисунке? (АВ=ВС) Что из этого следует? (треугольник АВС – равнобедренный)

Какой можно сделать вывод? (). Почему? (в равнобедренном треугольники углы при основании равны). Верно. (записать в тетрадь)

А какие еще стороны равны? (СD=DE). Что нам это дает? (треугольник CDE – равнобедренный). Какой вывод можно сделать? как углы при основании). (записать в тетрадь)

Как называются углы ВАС и ECD? (вертикальные). Что из этого следует? (они равны)

(записать в тетрадь)

Равенство каких углов мы установили? ( , .

Какой вывод можно из этого сделать? (. Доказали ли мы то, что требовалось? (да). (записать в тетрадь) .

-Давайте подведем итоги нашего урока. Что нового вы узнали сегодня на уроке? (изучили понятия равнобедренного и равностороннего треугольников, открыли свойства равнобедренного треугольника, научились решать задачи используя все знания о равнобедренном треугольнике)

– Наш урок подходит к концу. Давайте запишем домашнее задание.

ДЗ: выучить определения равнобедренного и равностороннего треугольников, выучить с доказательствами свойства равнобедренного треугольника, № 106,№113

– Всем спасибо за урок. До свидания.

Источник: //infourok.ru/urok-ravnobedrenniy-treugolnik-3201437.html

Урок по теме

Треугольник равнобедренный прямой острый. Равнобедренный треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Цели урока:

  • Образовательная: знать определение равнобедренного, равностороннего треугольников, формулировки и доказательство теорем об углах при основании равнобедренного треугольника.
  • Развивающая: уметь применять эти теоремы и определения в решении задач.
  • Воспитательная: воспитывать у учащихся потребность в доказательных рассуждениях.

Оборудование:

мультимедийная презентация(Приложение).

Литература:

Л.С. Атанасян. “Геометрия 7–9”. Москва. “Просвещение” 2008 г.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение учащимся цели и задачи урока: на уроке проведем математический диктант, изучим новую тему. (Слайд 1)

“Равнобедренный треугольник”, проведем тренировочные упражнения по теме.

II. Математический диктант.(Слайд 2)

№ 1. Назовите вершины треугольника.

№ 2. Назовите стороны треугольника.

№ 3. Проведите в этом треугольник отрезок АО, так что бы образовался прямой угол АОС, точка О лежит на прямой СО. Как называется отрезок АО?

№ 4. Вершину С треугольника АВС соедините с серединой стороны АВ, обозначьте эту точку К. Как называется отрезок СК? (Слайд 3)

№ 5. Начертите треугольник MNK. Проведите в нем биссектрису из вершины N. Назовите эту биссектрису. Запишите те выводы, которые можно сделать на основании определения биссектрисы треугольника.

№ 6. Проведите в этом треугольнике медиану из вершины М. Обозначьте медиану. Запишите те выводы, которые можно сделать на основании определения медианы треугольника.

№ 7. Проведите в этом же треугольнике МNK высоту из вершины К. Обозначьте высоту.

Запишите те выводы, которые можно сделать на основании определения высоты треугольника.

Проверка выполнения математического диктант. (Слайд 4)

III. Объяснение новой темы.

Запишите тему урока “Равнобедренный треугольник. (Слайд 5).

– Данный треугольник равнобедренный. Что интересного заметили на чертеже? (Две стороны треугольника равны.)

– А теперь попробуйте дать определение равнобедренного треугольника. (Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.)

– Постройте в тетради равнобедренный треугольник и запишите определение равнобедренного треугольника.

– В равнобедренном треугольнике стороны имеют свои названия. Равные стороны называются боковыми (Слайд 5), а третья сторона – основанием (Слайд 5).

– Записываем названия сторон на чертеже у себя в тетради.

Отработка названия сторон равнобедренного треугольника.

Задание 1. (Слайд 6)

Дано: CDE с основанием DE.

  1. Назовите боковые стороны.
  2. Назовите углы при основании.
  3. Назовите угол, противолежащий основанию этого треугольника.

Задание 2.(Слайд 7)

Дан MKD, где MK=KD.

  1. Назовите боковые стороны.
  2. Назовите основание.
  3. Углы при основании.
  4. Угол, противолежащий основанию.

Задание 3. (Слайд 8)

  1. Какие из треугольников являются равнобедренными? (CDE, KMN.)
  2. Треугольник NTP можно отнести к равнобедренным? (Можно.)
  3. Почему? (Две стороны по определению равнобедренного треугольника равны.)
  4. Тогда назовите боковые стороны, основания. (Можно любые стороны назвать боковыми, тогда третья – основание.)

Вывод: Равносторонний треугольник является частным видом равнобедренного треугольника.

Треугольник NTP – имеет равные стороны. Этот треугольник называется равносторонним.

– Начертите в тетради равносторонний треугольник. Покажите, что он равносторонний. (Слайд 9–10).

– Посмотрите на экран еще раз, какие бывают треугольники. (Разносторонние, равнобедренные, и частный вид равнобедренного треугольника – равносторонние.)

Физкульминутка.

(Слайд 11) Тренировочное упражнение.

Отработка умения применять определения равнобедренного и равностороннего треугольников.

(Слайд 12)

№ 108.

Дано:

ABC – равнобедренный,

AB=AC, =40см,

BCD – равносторонний

=45см,

Найти: АВ, ВС

Решение самостоятельно.

Проверка.(Слайд 13)

Решение:

= AB + AC + BC=2AB+BC, по определению равнобедренного треугольника, т.к. AB = AC;

= BD + DC + BC = 3AB, по определению равностороннего треугольника, т. к. BD=DC=BC.

BC===15 см.

=40 см, 40 =2AB+BC=2AB = 15, AB = =12,5см.

Записываем ответ. Ответ: 15 см, 12,5 см.

– Где может находиться т. D? (В нижней полуплоскости относительно прямой BC.)

IV. Рассмотрим свойства равнобедренного треугольника. (Слайд 14)

Приложение

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВС – равнобедренный.

Сформулируем формулировку теоремы, пользуясь словами

“Если…, то…”

“Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны”.

Доказательство:

Проведем дополнительное построение AD – биссектриса.

Что должны показать на чертеже?

()

– Как доказать равенство углов .

(Надо доказать равенство треугольников )

BA=AC – по условию, AD –общая, AD – биссектриса.

– По какому признаку треугольники равны?

(По первому признаку равенства треугольников.)

– Справедливо и обратное утверждение. Сформулируйте его пользуясь словами

“ Если…, то..”.

“Если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный”.

– Доказательство обратной теоремы запишете самостоятельно дома.

V. Итог урока:

– Что нового узнали на уроке? (Узнали равнобедренные и равносторонние треугольники.)

– Дайте определение этих треугольников.

(Ответ учащихся).

Свойство равнобедренного треугольника.

– Сформулируйте теоремы.

VI. Домашняя работа: п. 18, доказательство обратной теоремы, № 109.

26.04.2009

Источник: //urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/530970/

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Треугольник равнобедренный прямой острый. Равнобедренный треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3.

    В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

  • Теорема 4.

    В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD.
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABD и Δ BCD∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
  • Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD

Вывод:

  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Формулы сторон равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

  • b = 2a \sin( \beta /2)= a \sqrt { 2-2 \cos \beta }
  • b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон(а):

  • a=\frac { b } { 2 \sin(\beta /2) } = \frac { b } { \sqrt { 2-2 \cos \beta } }
  • a=\frac { b } { 2 \cos\alpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

  • L = a sina
  • L = \frac { b } { 2 } *\tg\alpha
  • L = a \sqrt { (1 + \cos \beta)/2 } =a \cos (\beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

  • L = \sqrt { a { 2 } -b { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=\frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Источник: //bingoschool.ru/blog/235/

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий