Тригонометрические уравнения. Как решать систему тригонометрических уравнений по математике

Решение тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения. Как решать систему тригонометрических уравнений по математике

В данной статье остановимся кратко на решении задач C1 из ЕГЭ по математике. Эти задания представляют собой уравнения, которые требуется, во-первых, решить (то есть найти их решения, причем все), во-вторых, осуществить отбор решений по тому или иному ограничению.

В последние годы на ЕГЭ по математике в заданиях C1 школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения, поэтому в данной статье разобраны только они.

Примеры структурированы по методам решения уравнений, от самых элементарных, до достаточно сложных.

Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии. Приведем их здесь в справочном виде.

Основные тригонометрические формулы

Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Пример 1. Найдите корни уравнения

принадлежащие промежутку

Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем (на всякий случай, эта запись означает, что числа и принадлежат множеству целых чисел):

Арккосинус есть число, заключенное в интервале от до , косинус которого равен .

Арксинус  есть число, заключенное в интервале от  до , косинус которого равен .

Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка косинус которого был бы равен Это число Используя это, получаем:

Вообще, значения тригонометрических функций от основных аргументов нужно знать. Их совсем чуть-чуть:

Таблица значений тригонометрических функций

Хотя на самом деле запоминать их вовсе не обязательно. Существует очень простой алгоритм, используя который, можно в уме легко вычислять значения тригонометрических функций всех основных аргументов. Просто у каждого он свой. Придумайте его и для себя. Просто посмотрите на эту таблицу. Числа в ней расположены не случайным образом, определенная закономерность есть, постарайтесь ее найти.

Итак, вернемся к нашему заданию. Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку  Воспользуемся для этого методом двойных неравенств. Вы помните, что и — целые числа:

1)

2)

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку

Показать ответОтвет:

Решение линейных тригонометрических уравнений

Пример 2. Найдите корни уравнения

принадлежащие промежутку

Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на , уравнение тогда примет вид:

Подберем такое число, синус которого равен а косинус равен Например, пусть это будет число . С учетом этого перепишем уравнение в виде:

Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности и Это и есть ключ к решению. Имеем:

Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток :

1)

2) 

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку

Показать ответОтвет:

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Пример 3. Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезке

Решение. Сразу оговорим ограничения, накладываемые на переменную в этом уравнении: Откуда взялось это ограничение? Правильно, функция не существует при этих значениях Используем замену переменной: Тогда уравнение принимает вид:

Переходим к обратной замене:

Осуществляем отбор решений. Проведем его на этот раз с использованием единичной окружности.

Отбор корней с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: Обратите внимание на один существенный момент. На рисунке точки и принадлежат оси тангенсов, а точки и — единичной окружности. Очень важно понимать, зачем это нужно для решения данной задачи.

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №3. Дано уравнение

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

Показать ответОтвет:

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Пример 4. Дано уравнение

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

Решение. Равносильными преобразования приводим уравнение к виду:

Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности.

Отбор решений с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из всех этих серий:

Задача для самостоятельного решения №4. Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку

Показать ответОтвет:

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Обратите внимание! Писать, что нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению  которое, в свою очередь, больше или равно нулю.

Решаем первое уравнение системы:

Нужно, чтобы  поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение:

Показать ответОтвет: Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Данное уравение равносильно системе:

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту:

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:

Показать ответОтвет: Пример 7. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: то есть Разобьем решение на два случая:

1) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Условию удовлетворяет только последняя серия.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:

Показать ответОтвет: 

ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня.

Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу.

Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.

Репетитор математики
Сергей Валерьевич

Источник: https://yourtutor.info/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%BD%D0%B0-%D0%B5%D0%B3%D1%8D-%D0%BF%D0%BE-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5

Скачать материал

Тригонометрические уравнения. Как решать систему тригонометрических уравнений по математике

Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)

09.07.2015 12088 1142

Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите неравенство:

Вариант 2

Решите неравенство:

III. Изучение нового материала

На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.

1. Простейшие системы уравнений

К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений 

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную  и подставим во второе уравнение:  Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение  или  Введем новую переменную t = sin у.

Имеем квадратное уравнение 3t2 – 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1).

Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого  Теперь легко найти неизвестную:  Итак, система уравнений имеет решения  где n ∈ Z.

Пример 2

Решим систему уравнений 

Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим:  Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем:  откуда 

Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х – у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k.

Если бы вместо k было также поставлено n, то решения имели бы вид:  При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными xи у: х = 3у (чего нет на самом деле).

Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k= n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.

2. Системы вида 

Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы  или  Отметим очевидное ограничение:     и  Само же решение подобных систем сложностей не представляет.

Пример 3

Решим систему уравнений 

Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство  Получим:  Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим  Теперь имеем систему уравнений  Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем:  или  Запишем решения этой простейшей системы:  Складывая и     вычитая эти линейные уравнения, находим: 

3. Системы вида 

Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.

Пример 4

Решим систему уравнений 

Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим:  Используя второе уравнение, имеем:  откуда  Выпишем решения этого уравнения:  С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений  Из этой системы находим  Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем:  для нижних знаков – 

4. Системы вида 

Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого – cos у.

Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение.

Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.

Пример 5

Решим систему уравнений 

Запишем систему в виде    Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим:  Сложим уравнения этой системы:  или  Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде  или   Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда                                                  ),    где n, k ∈ Z.

Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x, получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; дляcos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней.

Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.

С учетом этого получим решения данной системы уравнений  и  где n, m, k, l ∈ Z. При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.

В частном случае  система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.

Пример 6

Решим систему уравнений 

В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим:  Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим:  откуда  Подставим найденное значение  например, в первое уравнение:  Учтем, что  Тогда  откуда 

Получили систему линейных уравнений   Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем  и  где n,k  ∈ Z.

5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных

Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 7

Решим систему уравнений 

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у.

Получим систему алгебраических уравнений  Из первого уравнения выразим                      а = b + 3 и подставим во второе:  или  Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и   b2= -4.

Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а)  ее решение  где n, k ∈ Z.

б)   решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

Пример 8

Решим систему уравнений 

Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sinх и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим:  (откуда ) и   (тогда ).

Второе уравнение системы имеет вид:  или  Получили систему тригонометрических уравнений  Введем новые переменные a = sin х и b= cos у. Имеем симметричную систему уравнений  единственное решение которой a = b = 1/2.

Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений  решение которой  где n, k ∈ Z.

6. Системы, для которых важны особенности уравнений

Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы – тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.

Пример 9

Решим систему 

Обратим внимание на левые части уравнений, например на  Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х.

Получим:  Тогда система уравнений имеет вид:  Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим:  или 1 = sin3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим  и  Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n.

Для четных n (n = 2k, где k ∈ Z)  Тогда из первого уравнения данной системы получим:  где m ∈ Z. Для нечетных  Тогда из первого уравнения имеем:  Итак, данная система имеет решения 

Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.

Пример 10

Решим систему уравнений 

Прежде всего преобразуем первое уравнение системы:  или  или  или  или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin2 2х = 1 и sin2 у = 1.

Второе уравнение системы запишем в виде sin2 у = 1 – cos2 z или sin2 у = sin2 z, и тогда sin2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений  Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде  или  тогда  

Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Источник: https://tak-to-ent.net/load/625-1-0-16999

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы. Теория. урок. Алгебра 11 Класс

Тригонометрические уравнения. Как решать систему тригонометрических уравнений по математике

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

Теория

Конспект урока

Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности.

Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е.

мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.

На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.

Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

– область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

– периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

Рассмотрим функцию:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная ;

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

5) Функция периодична с периодом .

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции.

Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что  Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

Теперь рассмотрим функцию:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция четная  Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

5) Функция периодична с периодом .

Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции.

Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что  С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т.е. на .

Перейдем к функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения  кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;

5) Функция периодична с периодом 

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д.

Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на  вдоль оси абсцисс.

И завершаем рассмотрением функции:

Основные свойства этой функции:

1) Область определения  кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;

2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены;

3) Функция нечетная ;

4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;

5) Функция периодична с периодом 

Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д.

Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает.

Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:

У них период равен . И о функциях:

У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.

Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике.

Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.

 

Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:

Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут  и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.

Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:

1)

2)

3)

4)

Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует. 

Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо  по очереди все целые числа.

Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.

Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:

 и

.

К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.

Например, решением уравнения  является . Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.

Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:

1) Простейшие, например, ;

2) Частные случаи простейших уравнений, например, ;

3) Уравнения со сложным аргументом, например, ;

4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя, например, ;

5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций, например, ;

6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены, например, ;

7) Однородные уравнения, например, ;

8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций, например, . Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;

А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.

Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.

Наиболее часто встречаются системы следующих типов:

1) В которых одно из уравнений степенное, например, ;

2) Системы из простейших тригонометрических уравнений, например, .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений.

Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:

 и

имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла  попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т.к.

мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение .

Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.

Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:

, , , …и выписать формулу для всех корней:

Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.

Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.

Полезные ссылки:

1)  Алгебра 9 класс: “Функция y=sinx, её свойства и график” 

2)  Алгебра 9 класс: “Функция y=cosx. Её свойства и график” 

3)  Алгебра 9 класс: “Функция y=cos t, её свойства и график” 

4)  Алгебра 9 класс: “Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи” 

5)  Алгебра 9 класс: “Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx” 

6)  Алгебра 9 класс: “Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx” 

7)  Алгебра 10 класс: “Функция y=sinx, ее основные свойства и график” 

8)  Алгебра 10 класс: “Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи” 

9)  Алгебра 10 класс: “Функция y=cos t, её основные свойства и график” 

10) Алгебра 10 класс: “Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи” 

11) Алгебра 10 класс: “Периодичность функций y=sin t, y=cos t” 

12) Алгебра 10 класс: “Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)” 

13) Алгебра 10 класс: “Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)” 

14) Алгебра 10 класс: “Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения” 

15) Алгебра 10 класс: “График гармонического колебания” 

16) Алгебра 10 класс: “Функция y=tgx, ее свойства и график” 

17) Алгебра 10 класс: “Функция y=сtgx, ее свойства и график” 

18) Алгебра 10 класс: “Первые представления о решении тригонометрических уравнений” 

19) Алгебра 10 класс: “Простейшие тригонометрические уравнения” 

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-10-trigonometricheskie-funktsii-trigonometricheskie-uravneniya-i-ih-sistemy-teoriya

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения. Как решать систему тригонометрических уравнений по математике

Справочник по математикеТригонометрия

      Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin x = a

Обычная формазаписи решения
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aВ случае, когда ,уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

УравнениеРешение
sin x = – 1
sin x = 0
sin x = 1
Уравнение:sin x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:>
Уравнение:sin x = 0Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:sin x = 1Решение:

Решение уравнения   cos x = a

Обычная формазаписи решения
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aВ случае, когда ,уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

УравнениеРешение
cos x = – 1
cos x = 0
cos x = 1
Уравнение:cos x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:cos x = 0Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:cos x = 1Решение:

Решение уравнения   tg x = a

Обычная формазаписи решения:
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aОграничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

      Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

УравнениеРешение
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1
Уравнение:Решение:
Уравнение:tg x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:tg x = 0Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:tg x = 1Решение:
Уравнение:Решение:

Решение уравнения   ctg x = a

Обычная формазаписи решения
Более удобная формазаписи решения
Ограниченияна число aОграничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

УравнениеРешение
ctg x = – 1
ctg x = 0
ctg x = 1
Уравнение:Решение:
Уравнение:ctg x = – 1Решение:
Уравнение:Решение:
Уравнение:ctg x = 0Решение:
Решение:
Уравнение:ctg x = 1Решение:
Уравнение:Решение:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/equation.htm

Методы решения тригонометрических уравнений –

Тригонометрические уравнения. Как решать систему тригонометрических уравнений по математике

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. 

Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. 

Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, есливсе его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

   а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

        cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 

    П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

                             корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда

                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида:

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь – так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму

Здесь используются соответствующие формулы.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = p / 2 + pk ,

                                                 x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка.

Рассмотрим этот метод на примере.

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

Источник: https://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий