Возвращающая сила в различных колебательных системах. Колебательное движение. Динамика свободных колебаний

Колебательное движение. Свободные колебания — урок. Физика, 9 класс

Возвращающая сила в различных колебательных системах. Колебательное движение. Динамика свободных колебаний

Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, качелей, маятника часов, крыльев насекомых во время полёта и многих других тел.

В движении этих тел можно найти много различий. Например, качели движутся криволинейно, а игла швейной машины — прямолинейно; маятник часов колеблется с большим размахом, чем крылья стрекозы.

За одно и то же время одни тела могут совершать большее число колебаний, чем другие.

Но при всём разнообразии этих движений у них есть важная общая черта: через определённый промежуток времени движение любого тела повторяется.

Действительно, если шарик отвести от положения равновесия и отпустить, то он, пройдя через положение равновесия, отклонится в противоположную сторону, остановится, а затем вернётся к месту начала движения. За этим колебанием последует второе, третье и т. д., похожие на первое.

Промежуток времени, через который движение повторяется, называется периодом колебаний.

Поэтому говорят, что колебательное движение периодично.

В движении колеблющихся тел кроме периодичности есть ещё одна общая черта.

Обрати внимание!

За промежуток времени, равный периоду колебаний, любое тело дважды проходит через положение равновесия (двигаясь в противоположных направлениях).

Повторяющиеся через равные промежутки времени движения, при которых тело многократно и в разных направлениях проходит положение равновесия, называются механическими колебаниями.

Под действием сил, возвращающих тело в положение равновесия, тело может совершать колебания как бы само по себе. Первоначально эти силы возникают благодаря совершению над телом некоторой работы (растяжению пружины, поднятию на высоту и т. п.), что приводит к сообщению телу некоторого запаса энергии. За счёт этой энергии и происходят колебания.

Пример:

чтобы заставить качели совершать колебательные движения, нужно сначала вывести их из положения равновесия, оттолкнувшись ногами, либо сделать это руками.

Колебания, происходящие благодаря только начальному запасу энергии колеблющегося тела при отсутствии внешних воздействий на него, называются свободными колебаниями.

Пример:

примером свободных колебаний тела являются колебания груза, подвешенного на пружине. Первоначально выведенный из равновесия внешними силами груз в дальнейшем будет колебаться только за счёт внутренних сил системы «груз-пружина» — силы тяжести и силы упругости.

Условия возникновения свободных колебаний в системе:

а) система должна находиться в положении устойчивого равновесия: при отклонении системы от положения равновесия должна возникать сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия — возвращающая сила;б) наличие у системы избыточной механической энергии по сравнению с её энергией в положении равновесия;

в) избыточная энергия, полученная системой при смещении её из положения равновесия, не должна быть полностью израсходована на преодоление сил трения при возвращении в положение равновесия, т. е. силы трения в системе должны быть достаточно малы.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая получила название колебательной системы.

Системы тел, которые способны совершать свободные колебания, называются колебательными системами.

Одно из основных общих свойств всех колебательных систем заключается в возникновении в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия.

Пример:

в случае колебаний шарика на нити шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити. Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Колебательные системы — довольно широкое понятие, применимое к разнообразным явлениям.

Частным случаем колебательных систем являются маятники.

Маятником называется твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил

колебания около неподвижной точки или вокруг оси.

Пример:

груз, подвешенный на пружине и совершающий колебательные движения по вертикали под действием сил упругости, называется пружинным маятником.

Источники:

Физика. 9 кл.: учебник / Перышкин А. В., Гутник Е. М. — М.: Дрофа, 2014. — 319 с.
www.fizmat.by, сайт «Подготовка к ЦТ (ЕГЭ), задачи по физике и математике»

www.gavewrites.com

www.netnado.ru

www.astersoft.net, сайт «Умные программы для умных детей»

www.m.gifmania.ru

www.playcast.ru

www.litsait.ru

www.ru.solverbook.com

Источник: https://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/mekhanicheskie-kolebaniia-i-volny-zvuk-18755/kolebatelnoe-dvizhenie-svobodnye-kolebaniia-amplituda-chastota-period-ko_-127400/re-4d32ef35-7403-478c-98fc-a24eb20c96fe

Свободные колебания

Возвращающая сила в различных колебательных системах. Колебательное движение. Динамика свободных колебаний

Свободные колебания (или собственные колебания) — это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинети­ческой) при отсутствии внешних воздействий.

Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними обра­зуют систему тел, которая называется колебательной системой.

Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины (см. рис. ниже), входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы).

Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.

Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник (см. рис. ниже). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами. Внешними силами называют­ся силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свобод­ные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.

Условиями возникновения свободных колебаний являются:

1)  возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;

2)  отсутствие трения в системе.

Динамика свободных колебаний.

Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости F (см. рис.

) может быть получено с учетом второго закона Ньютона (F = mа) и закона Гука (Fупр = -kx), где m — масса шарика, а — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, k — коэффициент жесткости пружины, х — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось Ох). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение а — это вторая производная от координаты х (смещения), получим:

.

Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: вторая производная координаты по времени (ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника (рисунок) необходимо разложить силу тяжести FT = mg на нормальную Fn (направлен­ную вдоль нити) и тангенциальную Fτ (касательную к траектории движения шарика — окружности) составляющие.

Нормальная составляющая силы тяжести Fn и сила упругости нити Fynp в сумме сооб­щают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меня­ющее ее направление, а тангенциальная составляющая Fτ является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения.

Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения maτ = Fτ  и учитывая, что Fτ = -mg sinα, получим:

aτ = -g sinα,

Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия α име­ют противоположные знаки. Для малых углов отклонения sin α ≈ α. В свою очередь, α = s/l, где s — дуга OA, I — длина нити. Учитывая, что аτ = s”, окончательно получим:

.

Вид уравнения аналогичен уравнению . Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жесткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).

Таким образом, свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.

Решением уравнений и является функция вида:

x = xm cos ω0 t (или x = xm sin ω0 t).

То есть координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими:

В уравнении x = xm cos ω0 t (или x = xm sin ω0 t), хm — амплитуда колебания, ω0 — собственная циклическая (круговая) частота колебаний.

Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикрепленного к пружине, справедливы соотношения:

.

Собственная частота тем больше, чем больше жесткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.

Для математического маятника выполняются равенства:

.

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Гюйгенсом (современником Ньютона).

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.

Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т. к.

подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятни­ка, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания.

Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.

Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции (x = xm cos ω0 t (или x = xm sin ω0 t)), получим выражение для скорости:

v = -vm sin ω0 t = -vm xm cos (ω0 t + π/2),

где vm = ω0 xm  — амплитуда скорости.

Аналогично выражение для ускорения а получим, дифференцируя (v = -vm sin ω0 t = -vm xm cos (ω0 t + π/2)):

a = -am cos ω0 t,

где am = ω20 xm — амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических коле­баний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.

Источник: https://www.calc.ru/Svobodnyye-Kolebaniya.html

Механические колебания и волны – FIZI4KA

Возвращающая сила в различных колебательных системах. Колебательное движение. Динамика свободных колебаний

ЕГЭ 2018 по физике ›

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

  • повторяемость движения;
  • возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

  • наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
  • наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

  • Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

  • Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​\( x \)​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​\( A \)​ – амплитуда колебаний; ​\( \omega t+\varphi_0 \)​ – фаза колебаний; ​\( \omega \)​ – циклическая частота; ​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​\( v \)​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​\( a \)​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​\( F \)​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​\( W_k \)​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

  • потенциальная энергия равна нулю;
  • кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

  • кинетическая энергия равна нулю;
  • потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​\( A\, (X_{max}) \)​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​\( \varphi \)​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза колебаний.

Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​\( T \)​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​\( u \)​, единицы времени – с-1 или Гц (Герц).

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​\( \omega \)​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​\( h \)​, определяется по формуле:

где ​\( l \)​ – длина нити, ​\( \alpha \)​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

Условие резонанса:

​\( v_0 \)​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​\( \lambda \)​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

  • наличие источника звука;
  • наличие упругой среды между источником и приемником звука;
  • наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
  • мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

  • инфразвук (​\( u \)​ < 16 Гц);
  • звуковой диапазон (16 Гц < \( u \) < 20 000 Гц);
  • ультразвук (\( u \) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

  • от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

  • Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
  • Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
  • Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/mehanicheskie-kolebanija-i-volny-2.html

Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы (Ерюткин Е.С.). урок. Физика 9 Класс

Возвращающая сила в различных колебательных системах. Колебательное движение. Динамика свободных колебаний

Тема данного урока: «Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы». Вначале дадим определение нового вида движения, который мы начинаем изучать, – колебательного движения.

Рассмотрим в качестве примера колебания пружинного маятника и определим понятие свободных колебаний.

Также изучим, что такое колебательные системы, и обсудим условия, необходимые для существования колебаний.

Колебание – это периодическое изменение любой физической величины: колебания температуры, колебания цвета светофора и т. д. (рис. 1).

Рис. 1. Примеры колебаний

Колебания – самый распространенный вид движения в природе. Если касаться вопросов, связанных с механическим движением, то это самый распространенный вид механического движения.

Обычно говорят так: движение, которое с течением времени полностью или частично повторяется, называется колебанием.

Механические колебания – это периодические изменение физических величин, характеризующих механическое движение: положения тела, скорости, ускорения.

Примеры колебаний: колебание качелей, шевеление листьев и качание деревьев под воздействием ветра, маятник в часах, движение человеческого тела.

Рис. 2. Примеры колебаний

Наиболее распространенными механическими колебательными системами являются:

  • Грузик, закрепленный на пружине – пружинный маятник. Сообщая маятнику начальную скорость, его выводят из состояния равновесия. Маятник совершает колебания вверх-вниз. Для совершения колебаний в пружинном маятнике имеет значение количество пружин и их жесткость.

Рис. 3. Пружинный маятник

  • Математический маятник – твердое тело, подвешенное на длинной нити, совершающее колебание в поле тяготения Земли.

Рис. 4. Математический маятник

Условия существования колебаний

  • Наличие колебательной системы. Колебательная система – это система, в которой могут существовать колебания.

Рис. 5. Примеры колебательных систем

  • Точка устойчивого равновесия. Именно вокруг этой точки и совершаются колебания.

Рис. 6. Точка равновесия

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Устойчивое: когда система стремится вернуться в первоначальное положение при малом внешнем воздействии. Именно наличие устойчивого равновесия является важным условием того, что в системе могут происходить колебания.

  • Запасы энергии, которые приводят к тому, что совершаются колебания. Ведь колебания сами по себе не могут совершаться, мы должны вывести систему из равновесия, чтобы происходили эти колебания. То есть сообщить энергию этой системе, чтобы потом колебательная энергия превращалась в то движение, которое мы рассматриваем.

Рис. 7 Запасы энергии

  • Малое значение сил трения. Если эти силы будут большими, то о колебаниях речи идти не может.

Решение главной задачи механики в случае колебаний

Механические колебания – это один из видов механического движения. задача механики – это определение положения тела в любой момент времени. Получим закон зависимости  для механических колебаний.

Закон, который необходимо найти, мы постараемся угадать, а не вывести математически, потому что уровня знаний девятого класса недостаточно для строгих математических выкладок. В физике очень часто пользуются таким методом. Сначала пытаются предсказать справедливое решение, а потом его доказывают.

Колебания – это периодический или почти периодический процесс. Это значит, что закон  – периодическая функция. В математике периодическими функциями являются  или .

Закон  не будет являться решением главной задачи механики, так как  – безразмерная величина, а единицы измерения  – метры. Усовершенствуем формулу, добавив перед синусом множитель, соответствующий максимальному отклонению от положения равновесия – амплитудное значение: .

Обратите внимание, что единицами измерения времени  являются секунды. Подумайте, что значит, например, ? Данное выражение не имеет смысла. Выражение под синусом должно измеряться в градусах или радианах.

В радианах измеряется такая физическая величина, как фаза колебания  – произведение циклической частоты и времени.

Свободные гармонические колебания описывает закон:

Используя это уравнение, можно найти положение колеблющегося тела в любой момент времени.

Энергия и равновесие

Исследуя механические колебания, особый интерес следует уделять понятию положения равновесия – необходимому условию наличия колебаний.

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

На рисунке 8 изображен шарик, который находится в сферическом желобе.

Если вывести шарик из положения равновесия, на него будут действовать следующие силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила реакции опоры , направленная перпендикулярно касательной по радиусу.

Векторная сумма этих двух сил будет равнодействующей, которая направлена обратно к положению равновесия. То есть шарик будет стремится вернуться в положение равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым.

Рис. 8. Устойчивое равновесие

Положим шарик на выпуклый сферический желоб и немного выведем его из положения равновесия (рис. 9).

Сила тяжести  по-прежнему направлена вертикально вниз, сила реакции опоры  по-прежнему перпендикулярна касательной.

Но теперь равнодействующая сила направлена в сторону, противоположную начальному положению тела. Шарик будет стремится скатиться вниз. Такое положение равновесия называется неустойчивым.

Рис. 9. Неустойчивое равновесие

На рисунке 10 шарик находится на горизонтальной плоскости. Равнодействующая двух сил в любой точке на плоскости будет одинаковой. Такое положение равновесия называется безразличным.

Рис. 10. Безразличное равновесие

При устойчивом и неустойчивом равновесии шарик стремится занять такое положение, в котором его потенциальная энергия будет минимальной.

Всякая механическая система стремится самопроизвольно занять такое положение, в котором ее потенциальная энергия будет минимальной. Например, нам комфортнее лежать, чем стоять.

Итак, необходимо дополнить условие существования колебаний тем, что равновесие обязательно должно быть устойчивым.

Если данному маятнику, колебательной системе сообщили энергию, то колебания, происходящие в результате такого действия, будут называться свободными. Более распространенное определение: свободными называют колебания, которые происходят только под действием внутренних сил системы.

Свободные колебания еще называют собственными колебаниями данной колебательной системы, данного маятника. Свободные колебания являются затухающими. Они рано или поздно затухают, так как действует сила трения. В данном случае она хоть и малая величина, но не нулевая. Если никакая дополнительная сила не вынуждает двигаться тело, колебания прекращаются.

Уравнение зависимости скорости и ускорения от времени

Для того чтобы понять, меняются ли скорость и ускорение при колебаниях, обратимся к математическому маятнику.

Маятник вывели из положения равновесия, и он начинает совершать колебания. В крайних точках колебания скорость меняет свое направление, причем в точке равновесия скорость максимальная. Если меняется скорость, значит, у тела есть ускорение.

Будет ли такое движение равноускоренным? Конечно, нет, так по мере увеличения (уменьшения) скорости меняется и ее направление. Это значит, что ускорение также будет меняться.

Наша задача – получить законы, по которым будут меняться проекция скорости и проекция ускорения со временем.

Координата со временем меняется по гармоническому закону, по закону синуса или косинуса. Логично предположить, что скорость и ускорение также будут меняться по гармоническому закону.

Закон изменения координаты:

Закон, по которому будет меняться проекция скорости со временем:

Данный закон также является гармоническим, но если координата меняется со временем по закону синуса, то проекция скорости – по закону косинуса. Координата в положении равновесия равна нулю, скорость же в положении равновесия максимальная. И наоборот, там, где координата максимальная, скорость равна нулю.

Закон, по которому будет меняться проекция ускорения со временем:

Знак минус появляется, поскольку при приращении координаты возвращающая сила направлена в противоположную сторону. По второму закону Ньютона, ускорение направлено туда же, куда и результирующая сила. Итак, если координата растет, ускорение растет по модулю, но противоположно по направлению, и наоборот, о чем и говорит знак минус в уравнении.

Список литературы

  1. Кикоин А.К. О законе колебательного движения // Квант. – 1983. – № 9. – С. 30-31.
  2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.
  3. Черноуцан А.И. Гармонические колебания – обычные и удивительные // Квант. – 1991. – № 9. – С. 36-38.
  4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «.com» (Источник)
  2. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)
  3. Интернет-портал «physics.ru» (Источник)
  4. Интернет-портал «its-physics.org» (Источник)

Домашнее задание

  1. Что такое свободные колебания? Приведите несколько примеров таких колебаний.
  2. Вычислите частоту свободных колебаний маятника, если длина его нити 2 м. Определите, сколько времени будут длиться 5 колебаний такого маятника.
  3. Чему равен период свободных колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины 50 Н/м, а масса груза 100 г?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/kolebatelnoe-dvizhenie-svobodnye-kolebaniya-kolebatelnye-sistemy-eryutkin-e-s

Колебательное движение. Свободные колебания

Возвращающая сила в различных колебательных системах. Колебательное движение. Динамика свободных колебаний

Окружающий нас мир наполнен разнообразными колебательнымидвижениями и процессами: колеблется поплавок на поверхности воды и кузов проезжающегоавтобуса, колеблются крылья пролетающих мимо бабочек и птиц.

Работу большинстваэлектрических бытовых приборов обеспечивает переменный ток, то естьколебательное движение электронов в проводниках.

Кроме того, многие важнейшиепроцессы внутри организма человека являются колебательными: так сердце человекав спокойном состоянии совершает около одного колебательного движения в секунду,а процесс дыхания обеспечивается колебательными движениями лёгких и так далее.

Колебательные процессы изучаются и используются во многихсферах деятельности человека: в радиотехнике и связи, автомобиле- и самолётостроении,медицине, биологии и химии.

Но при всём разнообразии этих движений у них есть одна общаяи очень важная черта: через определённый промежуток времени движение любогоиз этих тел повторяется.

Процесс, при котором какая-либо физическая величина,характеризующая этот процесс, последовательно изменяется то в одну, то в другуюсторону около некоторого своего среднего значения мы с вами будем называтьколебаниями.

Подчеркнём, что по своей природе колебания могут быть нетолько механическими, но и электромагнитными (соответствуют изменениямнапряжения и силы тока в электрической цепи), термодинамическими (соответствуютпериодическим изменениям температуры системы с течением времени) и так далее.

Совокупность тел, в которой могут происходитьколебательные процессы, мы с вами будем называть механической колебательнойсистемой.

Давайте с вами вспомним, что силы, действующие междутелами системы называются внутренними силами. А силы, действующие на теласистемы со стороны сторонних тел, называются внешними силами.

Самым простым видом колебательным движением являются свободныеколебания, то есть колебания, происходящие в системе только под действиемвнутренних сил, после того как система выведена из положения равновесия ипредоставленная затем самой себе.

Результаты экспериментов показывают, что для возникновения исуществования свободных колебаний необходимо выполнение определённых условий.

 Прежде всего, в системе необходимо наличие положенияустойчивого равновесия системы. Так, свободные колебания возникнут в системе,изображённой на верхнем левом рисунке. В двух других случаях они не возникнут.

Во-вторых, тело (или материальная точка) должно обладать избыточноймеханической энергии по сравнению с его энергией в положении устойчивогоравновесия.

В-третьих, при выведении тела из положения равновесия всистеме должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело вположение равновесия (в нашем примере таковой является равнодействующая силтяжести и нормальной реакции опоры).

Кроме того, в колебательной системе не должно быть большоготрения (в идеале, конечно, его не должно быть вовсе), поскольку в этом случаеколебания быстро затухнут (вследствие потери энергии) или не возникнут.

Вообще, понятие колебательной системы довольно обширное и оноприменимо к разнообразным явлениям. Вы знаете, что для упрощённого рассмотрениятех или иных явлений в науке часто пользуются идеальными моделями. Дляколебательных систем такими моделями являются маятники.

В общем случае маятником называется твёрдое тело,совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки иливокруг оси.

Существует несколько видов маятников. Но наиболее частовстречающиеся, это пружинный маятник, представляющий собой груз,прикреплённый к пружине, и способный совершать колебания вдоль горизонтальнойили вертикальной оси.

И нитяной маятник — это шарик, подвешенный на нити,способный совершать колебательное движение.

Колебания — это особая форма движения в том смысле, чторазличные по своей природе физические процессы описываются одинаковымиматематическими зависимостями физических величин от времени.

Рассмотрим процесс колебаний горизонтального пружинного маятника,в котором груз продет через тонкий металлический стержень, расположенный вдольоси пружины. Для простоты, будем считать, что что сила трения между грузом истержнем пренебрежимо мала. Вся система находится в равновесии, а внешние силы— сила тяжести и сила нормальной реакции стержня, уравновешивают друг друга.

Направим координатную ось параллельно стержню, а за началоотсчёта примем центр тяжести тела в положении равновесия.

Приложив внешнюю силу, выведем маятник из равновесия, немногорастянув пружину. В пружине возникнет сила упругости, которая будет стремитьсявернуть маятник в положение равновесия.

Если мы уберём воздействие внешней силы, то система придёт вдвижение и груз начнёт двигаться влево с некоторым ускорением, а сила упругостибудет уменьшаться. Дойдя до положения равновесия сила упругости исчезнет, как и(согласно второму закону Ньютона), ускорение маятника.

Но к этому моменту егоскорость достигнет максимума и не останавливаясь по инерции груз продолжитдвижение вправо. Пружина начнёт сжиматься и в ней вновь возникнет силаупругости, но направленная уже вправо. Следовательно, возникнет и ускорение,направленное туда же, куда и сила упругости — против скорости движениямаятника.

Поэтому со временем маятник остановится в крайнем левом положении. Здесьдействующая на маятник сила упругости принимает своё максимальное значение,как, впрочем, и ускорение. Поэтому маятник вновь придёт в движение и будетдвигаться вправо, пройдя в обратном направлении через те же промежуточные положения.

Дойдя до крайнего правого положения маятник совершит одно полное колебание. Еслибы в нашей системе отсутствовали силы сопротивления, то такое движение маятникапродолжалось бы бесконечно долго.

Получим уравнение движения нашего маятника. Для этого запишемуравнение движение груза под действием силы упругости вдоль оси икс:

Из механики мы с вами знаем, что проекция силы упругостипрямо пропорциональна смещению тела:

Перепишем второй закон Ньютона с учётом последней формулы:

Выразив из полученного равенства ускорение груза, тем самыммы получим уравнение, описывающее колебание тела под действием силы упругости:

Данное выражение называют динамическим уравнением движенияпружинного маятника.

И давайте ещё получим уравнение движение математическогомаятника — физической модели обычного нитяного маятника.

И так, пусть в момент началанаблюдения маятник находится в положении равновесия. В этой точке на негодействуют всего две силы — сила упругости нити и сила тяжести точки, которые уравновешиваютдруг друга.

Приложив внешнюю силу, выведеммаятник из равновесия и отпустим его. Теперь сила тяжести не может уравновеситьсилу упругости нити и в системе возникнет возвращающая сила, являющаясятангенциальной составляющей силы тяжести. А её нормальная составляющая будетнаправлена вдоль нити против силы упругости. Она будет менять направлениевектора скорости материальной точки.

Возвращающая сила будетсообщать материальной точке тангенциальное ускорение, и маятник начнётдвигаться по дуге окружности к положению равновесия с возрастающей по модулюскоростью. Чем ближе материальная точка подходит к положению равновесия, темменьше становиться значение возвращающей силы и модуля ускорения.

Однако приэтом возрастает скорость точки. Дойдя до положения равновесия, возвращающаясила, а, следовательно, и тангенциальное ускорение точки обращаются в ноль. Но вотеё скорость достигает максимума. Поэтому, не останавливаясь, маятник продолжаетсвоё движение по дуге вверх по инерции.

При этом вновь возникает возвращающаясила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник. Но теперьэта сила направлена против движения маятника и постепенно уменьшает егоскорость.

Достигнув крайнего левого положения скорость маятника становитсяравной нулю, а возвращающая сила и ускорение достигают своего максимальногозначения.

Маятник на мгновение замирает,а затем начинает двигаться в обратном направлении, пройдя через те же промежуточныеположения пока не достигнет исходной точки. А так как силы сопротивленияотсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описаннойпоследовательности

Теперь предположим, что внекоторый момент времени маятник находится в некоторой точке В, а егосмещение от положения равновесия равно длине дуги ОВ. Пусть длина нитиподвеса маятника равна l, а его масса m. Изрисунка видно, что значение возвращающей силы, можно найти как произведениемодуля силы тяжести на синус угла альфа:

где α — это уголотклонения маятника от положения равновесия, равный отношению смещения маятникак длине нити подвеса:

Ранее предполагалось, что углыотклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем же мыбудем считать их малыми. А при малых углах, если угол измерен в радианах, синусэтого угла можно заменить его градусной мерой:

Перепишем уравнение длятангенциальной составляющей силы тяжести с учётом последнего равенства:

Обратите внимание на знак«минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальнаясоставляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещениеотсчитывают от положения равновесия.

Запишем второй закон Ньютонадля нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории его движения:

Теперь приравняем правые частипоследних двух равенств:

Сократив полученное выражениена массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорениематематического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено кположению равновесия:

Эту формулу называют динамическим уравнением движенияматематического маятника. Оно имеет такой же вид, что и для пружинногомаятника. Это означает, что движения обоих маятников происходят одинаковымобразом и изменяются со временем по одному и тому же закону несмотря на то, чтосилы, вызывающие колебания, имеют разную физическую природу.

Источник: https://videouroki.net/video/07-kolebatelnoe-dvizhenie-svobodnye-kolebaniya.html

WikiMedForum.Ru
Добавить комментарий